1-Campo_Gravitatorio

1. 1. CAMPO GRAVITATORIO 1 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

2. 1. CAMPO GRAVITATORIO • 1.1 Antecedentes Históricos. Leyes de Kepler. • 1.2 Ley de Gravitación Universal. • 1.3 Campo Gravitatorio. • 1.3.1 Campo Gravitatorio Originado por una Masa Puntual. • 1.3.2 Campo Gravitatorio Originado por un Sistema de Masas Discreto. Principio de Superposición. • 1.3.3 Campo Originado por una Distribución Continua de Masa. Ley de Gauss. • 1.4 Potencial Gravitatorio. Superficies Equipotenciales. Relación de Campo-Potencial. CONTENIDOS. 2 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

3. 1. CAMPO GRAVITATORIO • 1.5 Campos de Fuerzas Conservativos. • 1.6 Energía Potencial Gravitatoria. Conservación de la Energía Mecánica. • 1.7 El Campo Gravitatorio Terrestre. • 1.8 Movimiento de Planetas y Satélites. • 1.8.1 Velocidad Orbital y Período de Revolución. • 1.8.2 Energía Total y Energía de Satelización. • 1.8.3 Escape del Campo Gravitatorio. • 1.8.3.1 Velocidad de Lanzamiento. • 1.8.3.2 Velocidad de Escape. CONTENIDOS. 3 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

4. 1. CAMPO GRAVITATORIO 1.8 Movimiento de Planetas y Satélites. 1.8.1 Velocidad Orbital y Período de Revolución. 1.8.2 Energía Total y Energía de Satelización. 1.8.3 Escape del Campo Gravitatorio. 1.8.4 Cambio de Órbita. 1.9 Conservación del Momento Angular. Leyes de Kepler. CONTENIDOS. 4 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

5. 1.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS. LEYES DE KEPLER. • El Modelo Geocéntrico fue planteado por Aristóteles (384-322 a.C), el cual defendía que la Tierra era el centro del universo, girando los astros a su alrededor. Estos astros debían moverse con un MCU por esferas transparentes. • Posteriormente fue propuesto el Modelo Geocéntrico Ptolemaico (s. II a.C), que corregía el modelo anterior, de tal forma que la Luna, Sol y demás astros, girasen en órbitas circulares o epiciclos alrededor de unos puntos, que a su vez girasen alrededor de la Tierra. • El Modelo Copernicano se basó en el Modelo Heliocéntrico (s. XVI), que propuso, que la Tierra y demás planetas giraban alrededor del Sol; y que la Luna giraba alrededor de la Tierra. Copérnico, todavía creía que los movimientos de los cuerpos del Sistema Solar eran circulares y conservó la idea de los epiciclos. • En 1610, Galileo Galilei construye un telescopio, capaz de enfocar el firmamento, capaz de descubrir estrellas, la superficie lunar, los satélites de Júpiter, las fases de Venus, las manchas solares… • Kepler (1571-1630) heredó un catálogo de años de estudio, del científico Brahe, quien se dio cuenta de que sus teorías no encajaban con un modelo de órbita circular, pero si con un modelo heliocéntrico  Se descubre el comportamiento elíptico de las Órbitas. Kepler enuncia las 3 leyes que llevan su nombre con respecto al movimiento de los planetas. 5 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

6. 1.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS. LEYES DE KEPLER. • Teoría Geocéntrica de Pitágoras: 569 – 500 a.C. Filósofo y matemático griego. • La escuela pitagórica explicó la estructura del universo en • términos matemáticos: El número es el Principio de todo. • El Gran Fuego Central, origen de todo, se relacionaba con el • Uno, Origen de los Números. • La Tierra, el Sol, la Luna y los Planetas giraban alrededor de • ese Fuego Central. • El período de revolución de la Tierra en torno al fuego central • era de 24 horas, a quien le ofrecía siempre su cara oculta. • Los períodos de la Luna y el Sol eran 1 mes y 1 año respectivamente. • El universo concluiría en una esfera celeste de estrellas fijas, y más allá se encontraba el Olimpo. • El número de cuerpos que formaban el universo era de 10 (obsesión por los números). • Como solo se observaban nueve, suponían que el décimo estaba situado entre la Tierra y el Gran Fuego, al que llamaron Antitierra. 6 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

7. 1.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS. LEYES DE KEPLER. • Teoría Geocéntrica de Aristóteles: 384 – 322 a.C. Filósofo griego. • Según las ideas Aristotélicas, la Tierra inmóvil se encuentra en • el centro del Universo, mientras que los restantes cuerpos • celestes, giran con Movimiento Circular Uniforme • alrededor de la Tierra. • El Universo está formado por 4 elementos de la región • terrestre: Tierra, Agua, Aire y Fuego. • Más la Quintaesencia o Éter que forma los cuerpos celestes. • El modelo geocéntrico de Aristóteles defiende una visión • antropocéntrica del universo al situar al hombre, • y con él la Tierra, como el centro del universo. • Las ideas de Aristóteles sobre el Universo predominaron • en el mundo científico cerca de 20 siglos. 7 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

8. 1.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS. LEYES DE KEPLER. • Teoría Geocéntrica de Ptolomeo: 100-170 d.C. Astrónomo griego-egipcio. Vivió en Alejandría (127-145) • Su obra cumbre Megistre (El más Grande), en árabe Almagesto, incluye un catálogo de 1022 estrellas, basado en el catálogo Hiparco. • Defendió el modelo geocéntrico de Aristóteles • (la Tierra es el centro del Universo) que dominó el pensamiento • islámico y occidental durante la edad media, hasta el s. XVI. • (Copérnico). • Ptolomeo observó que los planetas realizaban • movimientos retrógrados volviendo sobre su trayectoria • formando lazos en la esfera celeste. • Postuló que los planetas (salvo el Sol y la Luna) efectuaban • dos tipos de movimientos: orbital (en el epiciclo) y otro que • llevaba a cabo el centro del epiciclo alrededor de la Tierra • en la órbita llamada deferente. • El modelo de los egipcios no daba respuesta a las caprichosas • órbitas de algunos planetas, por lo que hubo que introducir • varios epiciclos, e incluso epiciclos dentro de otros epiciclos. 8 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

9. 1.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS. LEYES DE KEPLER. • Teoría Heliocéntrica de Copérnico: 1473-1543. Astrónomo polaco. • Se basó en escritos de astrónomos griegos, como Aristarco de Samos. • En su obra más importante, RevolutionibusOrbium • Colestium 1543, el Sol está inmóvil y los planetas, • incluida la Tierra, giran en órbitas circulares alrededor • de él: modelo heliocéntrico. • Las estrellas están fijas a gran distancia. • Sus ideas tardaron en tomárselo en serio. • Desde la Tierra, se apreciaba que planetas como • Mercurio y Venus, que están más cercanos al Sol, • tenían un brillo variable a lo largo del año, • parecía indicar que las distancias con respecto a la • Tierravariaban y por tanto no podían girar alrededor de • esta. • Se llegó a la conclusión de que todos los planetas tenían que girar alrededor del Sol. • Nicolás Copérnico establece los periodos orbitales alrededor del Sol (muy aproximados a los que hoy conocemos) y las distancias relativas de los planetas al Sol. 9 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

10. 1.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS. LEYES DE KEPLER. • Teoría Heliocéntrica de Galileo Galilei: 1564-1642. Astrónomo y físico italiano. • En 1609 construyó su primer telescopio con el que observó el cielo. • Hace una defensa del sistema copernicano aportando • pruebas. • Descubrió sus observaciones: • La Vía Láctea • Los Cráteres Lunares • Los Satélites de Júpiter • Las Manchas Solares • Las Fases de Venus • Su obra, Diálogo sobre los dos grandes sistemas del mundo (1632), está escrita en forma de diálogo entre tres personajes: • Salviatique defiende las ideas de Galileo, modelo heliocéntrico. • Sagredoque hace las preguntas y se deja convencer por Salviati. • Simplicio que defiende la teoría de Ptolomeo. • Es uno de los creadores del Método Científico. • Fue profesor de matemáticas de la Universidad de Padua. • La Inquisición le quiso abjurar. • Procesado por el papa Urbano IV y confinado en su casa hasta su muerte. 10 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

11. 1.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS. LEYES DE KEPLER. 11 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

12. 1.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS. LEYES DE KEPLER. • 1ª Ley de Kepler:Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, estando situado este, en 1 de los focos. • 2ª Ley de Kepler:El radio-vector que une el Sol con los planetas, barre áreas iguales en tiempos iguales  Ley de Áreas. La velocidad areolar permanece constante. • 3ª Ley de Kepler: El cuadrado del período de revolución del planeta en su movimiento alrededor del Sol es directamente proporcional al cubo del semieje mayor (radio medio de su órbita). 12 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

13. 1.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS. LEYES DE KEPLER. 13 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

14. 1.2 LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL. • NEWTON • Isaac Newton (1642-1727), es considerado el mayor científico de todos los tiempos, abarcando sus estudios múltiples disciplinas  Mecánica, Óptica, Matemáticas, Astronomía, Acústica…Enunció las leyes de la dinámica y la ley de gravitación universal. • Una importante concepción de Newton, es, que el hecho de que la Luna gire entorno a la Tierra, en vez de salir despedida en línea recta, se debe a una Fuerza de Atracción, que la empuja hacia la Tierra, y la permite girar describiendo una órbita MCU. Llamó a esta fuerza Gravedad, la cual ejerce un papel importante en distintos escenarios posibles de estudio. A partir de estas pautas, enunció la Ley de Gravitación Universal. • Newton pensó que la fuerza centrípeta que mantiene la Luna en su órbita debía ser la que la Tierra ejercía sobre la Luna por atracción gravitatoria: • Según la 3ª Ley de Kepler: 14 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

15. 1.2 LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL. • NEWTON • Según la 3ª Ley de Kepler: • Determinó la aceleración centrípeta de la Luna y la relacionó con la aceleración de la gravedad terrestre. • Por otra parte, tomando el radio terrestre R= se obtiene la relación: 15 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

16. 1.2 LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL. • NEWTON • Es decir, las aceleraciones son inversamente proporcionales al cuadrado de las distancias al centro de la Tierra. • Determinó así que • Se puede establecer la relación: • Adquiriendo la expresión de Newton la siguiente forma: • Siendo la constante de gravitación universal 16 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

17. 1.2 LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL. • NEWTON • Ley de Gravitación Universal. • La ley de gravitación Universal, indica que dos partículas que se atraen directamente, aplican una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. 17 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

18. 1.2 LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL. Experimento de Cavendish • La Constante de Gravitación Universal G, fue determinada por primera vez por Henry Cavendish en 1798. Para ello utilizó una balanza de torsión, instrumento para medir fuerzas con gran precisión. • A causa de la fuerza de atracción entre las esferas de masa m y M, la varilla sufre un momento que la hace girar un ángulo ∅. Este giro produce una torsión en el hilo, el cual, a su vez, hace que el rayo de luz que se refleja en el espejo cambie su dirección un ángulo 2∅. • El momento de torsión es proporcional al ángulo ∅. A partir de la medida de este ángulo, Cavendish obtuvo un valor de G que difiere en un 1% del aceptado actualmente. 18 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

19. 1.2 LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL. • Ya Newton, se planteó una manera filosófica, de responder a una cuestión: ¿Es posible saber qué pasó en el universo si nos vamos a un pasado tan remoto como queramos? ¿Es posible saber que ocurrirá en el universo en un futuro tan lejano como queramos? Es lo que Newton, denominó Física Determinista. El problema es poder conocer todas las causas que pueden influir en un sistema cuando es complejo, sin embargo, conociendo las causas, el futuro físico de un sistema queda determinado. • Einsten, destruyó este principio determinista, imponiendo, que ningún fenómeno físico puede superar la velocidad de la luz (teoría de la relatividad), imposibilitando la predicción completa del futuro del universo. • Algunos ejemplos, que demuestran y cuestionan ambas teorías, son las supernovas y la luz procedente de ellas, el bigbang, el futuro del universo o los agujeros negros. 19 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

20. 1.3 CAMPO GRAVITATORIO. • La Ley de Gravitación Universal, proporciona la información, de la fuerza de atracción entre 2 masas: • Ahora bien, se introduce un nuevo concepto, el de CAMPO GRAVITATORIO, el cual cobra importancia, a la hora de dar una magnitud física al efecto gravitatorio que presenta 1 sola masa Men un espacio que la rodea. El CAMPO GRAVITATORIO, análogamente a la FUERZA GRAVITATORIA, se estudia con respecto a la unidad de masa m. • La masa M, independientemente de la masa mde su proximidad, es la que determina el campo en el espacio de su entorno. 20 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

21. 1.3 CAMPO GRAVITATORIO. • Ejemplo 1. • Determinar el campo gravitatorio originado por una masa M = 10 kg situada en el Origen de Coordenadas, en el punto (2,2). • Determinar la fuerza gravitatoria originada por dicha masa y por otra masa m = 5 kg situada en el punto (3,0). Calcular la fuerza en el mismo punto (2,2). 21 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

22. 1.3 CAMPO GRAVITATORIO. • Ejemplo 1. • Determinar el campo gravitatorio originado por una masa M = 10 kg situada en el Origen de Coordenadas, en el punto (2,2). • Determinar la fuerza gravitatoria originada por dicha masa y por otra masa m = 5 kg situada en dicho punto. • a) 22 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

23. 1.3 CAMPO GRAVITATORIO. 23 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

24. 1.3 CAMPO GRAVITATORIO. Campo Gravitatorio Originado por un Sistema de Masas Discreto. Principio de Superposición. • En el caso en el que existan varias masas puntuales se cumple el principio de superposición: El campo gravitatorio resultante en un punto es igual a la suma de los campos debidos a cada una de las masas en ese punto. • Aplicando el mismo principio, a las Fuerzas generadas por cada Campo, la Fuerza Total ejercida por cierta masa, se puede calcular de la siguiente manera: 24 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

25. 1.3 CAMPO GRAVITATORIO. Campo Gravitatorio Originado por un Sistema de Masas Discreto. Principio de Superposición. • 1º) Calculamos el campo de cada una de las masas del sistema discreto: • 2º) Obtenemos su suma, el campo • N/kg Ejemplo 2. Calcular el campo gravitatorio en el Origen de Coordenadas (0,0) debido a un sistema de 2 masas, una M = 5· kg colocada en el punto (0,30) km, y otra colocada en el punto (60,0) km M’ = 6·. 25 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

26. 1.3 CAMPO GRAVITATORIO. Campo Gravitatorio Originado por un Sistema de Masas Discreto. Principio de Superposición. • 3º) Hallamos la fuerza en su forma vectorial: • 4º) Finalmente hallamos su módulo. Ejemplo 2. Calcular el módulo de la fuerza gravitatoria que actúa sobre una masa m= 0,5 kg colocada en O. 26 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

27. 1.3 CAMPO GRAVITATORIO. Campo Gravitatorio Originado por un Sistema de Masas Discreto. Principio de Superposición. Ejemplo 3. Una masa puntual está situada en el punto (-2,4) m y otra masa puntual está situada en el punto (5,-1). Calcula: a) El vector fuerza con que atrae a b) El vector fuerza con que atrae a . c) El módulo de las fuerzas anteriores. 27 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

28. 1.3 CAMPO GRAVITATORIO. Representación del Campo Gravitatorio • Los campos de fuerza se representan • mediante líneas de campo. • Las líneas de campo, se trazan de modo • que la densidad de líneas de campo • (nº de líneas por unidad de superficie) • es proporcional al módulo del campo gravitatorio. • El vector de la intensidad del campo es • tangente a las líneas de campo, y tiene • el mismo sentido que éstas. • En el caso del campo gravitatorio, las líneas de campo, • no parten de ningún punto definido, carecen de fuentes, • y acaban en los sumideros. • Módulo: se indica mediante la densidad de líneas de campo. • Dirección: es tangente a la línea de campo en dicho punto. Indican la trayectoria que seguiría la unidad de masa, al dejarla libre en el seno del campo. • Sentido: viene indicado por la flecha, y es el que seguiría la unidad de masa colocada en dicha línea por efectos de las fuerzas del campo. Característcas de las líneas de campo 28 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

29. 1.3 CAMPO GRAVITATORIO. Campo Gravitatorio Originado por un Sistema de Masas Discreto. Principio de Superposición. Ejemplo 4. Cuatro masas idénticas puntuales, de 6 kg cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de lado igual a 2 m. Calcular el campo gravitatorio que crean las 4 masas en el centro del lado inferior del cuadrado. 29 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

30. 1.3 CAMPO GRAVITATORIO. Líneas de Campo Gravitatorio Originadas por 4 masas puntuales iguales situadas en el vértice de 1 cuadrado 30 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

31. 1.3 CAMPO GRAVITATORIO. Campo Originado por una Distribución Continua de Masa. Teorema de Gauss. • Muy útil para representar fuerzas cuya • variación es inversamente proporcional • al cuadrado de la distancia. • La densidad de líneas en una región es • una medida de la intensidad del campo • gravitatorio en dicha región. • Por densidad de líneas se entiende el • número de líneas por unidad de superficie. • La densidad de líneas disminuye a medida que aumenta la distancia. Concepto de Flujo, Φ: como vimos en el tema introductorio Introducción al Cálculo Vectorial, el flujo es una herramienta matemática y una magnitud física, que indica la medida del número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie. 31 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

32. 1.3 CAMPO GRAVITATORIO. Campo Originado por una Distribución Continua de Masa. Teorema de Gauss. . Cálculo del Flujo Gravitatorio. a) Según la perpendicularidad del campo. El campo es uniforme perpendicular a la superficie, plana y paralela a las líneas de campo.  El campo es uniforme y paralelo a la superficie, plana y perpendicular a las líneas de campo.  // 32 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

33. 1.3 CAMPO GRAVITATORIO. Campo Originado por una Distribución Continua de Masa. Teorema de Gauss. . Cálculo del Flujo Gravitatorio. a) Según la perpendicularidad del campo. El campo es uniforme formando un ángulo α con la superficie plana. El campo puede ser variable, y la superficie puede ser cualquiera. 33 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

34. 1.3 CAMPO GRAVITATORIO. Campo Originado por una Distribución Continua de Masa. Teorema de Gauss. . Cálculo del Flujo Gravitatorio. b) Según el ángulo de la S con el Campo. 34 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

35. 1.3 CAMPO GRAVITATORIO. Campo Originado por una Distribución Continua de Masa. Teorema de Gauss. . TEOREMA DE GAUSS. El flujo gravitatorio a través de una superficie cerrada S es proporcional a la masa M que encierra dicha superficie. Demostración: 35 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

36. EJEMPLO 5. Aplique el teorema de Gauss para calcular el campo gravitatorio creado por una esfera maciza y homogénea de radio R, con la distancia. EJEMPLO 5. Aplique el teorema de Gauss para calcular el campo gravitatorio creado por una esfera maciza y homogénea de radio R, con la distancia. • .1º) Para puntos interiores a la esfera (r < R): • 2º) Para puntos en la superficie de la esfera (r = R): 36 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

37. EJEMPLO 5. Aplique el teorema de Gauss para calcular el campo gravitatorio creado por una esfera maciza y homogénea de radio R, con la distancia. • .3º) Para puntos exteriores a la esfera (r > R): 37 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

38. 1.4 Potencial Gravitatorio. Superficies Equipotenciales. Relación de Campo-Potencial. • .Se define Potencial Gravitatorio como la Energía Potencial de la Unidad de Masa colocada en un punto del campo gravitatorio. Se trata de otro concepto clave para el estudio del campo gravitatorio. • De alguna forma, el Potencial Gravitatorio es análogo al Campo Gravitatorio, solo que en forma escalar, indicando de este modo la intensidad del campo gravitatorio debida a una masa M. • Se define así, el Potencial Gravitatorio entre 2 puntos como el trabajo realizado para trasladar la unidad de masa entre 2 puntos A y B. • El Potencial Gravitatorio en 1 punto del campo es el trabajo realizado por el campo cuando la unidad de masa se traslada desde dicho punto hasta el infinito, en donde se supone potencial nulo. Representa la Energía Potencial por Unidad de Masa (J/kg) 0 38 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

39. 1.4 Potencial Gravitatorio. Superficies Equipotenciales. Relación de Campo-Potencial. • Así si desarrollamos la anterior expresión para el Potencial Gravitatorio en 1 punto del campo: 0 Para 1 Masa Puntual: Para Varias Masas de un Sistema Discreto: 39 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

40. 1.4 Potencial Gravitatorio. Superficies Equipotenciales. Relación de Campo-Potencial. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES. RELACIÓN DE CAMPO-POTENCIAL. • Se tratan de líneas que unen los puntos que están sometidos al mismo valor de potencial gravitatorio. Es lo que se denomina superficie equipotencial. • Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo en cada punto y su sentido es el de potenciales decrecientes. • Si el campo es originado por una masa puntual, las superficies equipotenciales son esferas concéntricas de radio r. • El campo gravitatorio es un campo conservativo, deriva del gradiente de un potencial. 40 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

41. 1.5 Campos de Fuerzas Conservativos. • Al acercar una masa m a otra fija, las fuerzas del campo gravitatorio realizan un trabajo. Por tratarse de un campo conservativo, el trabajo es independiente del camino seguido por la masa m y tan solo depende de los puntos inicial y final de la trayectoria. • Si en cada se realiza un dW, el W total será la suma de todos los elementos infinitesimales de W en cada . CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVO: Aquel que no depende de la trayectoria recorrida, sino tan solo de sus puntos inicial y final. 41 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

42. En un campo conservativo, el resultado del trabajo, puede expresarse como la variación de la energía potencial cambiada de signo, es decir, desde el punto B al punto A. • Considerando una trayectoria cerrada C, formada por 2 caminos, el C1 que va desde A hasta B por la rama izquierda, y el C2 que va desde A hasta B por la rama derecha. A través del camino C1 Volviendo a A por el camino C2 desde B 42 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

43. Expresado a través de su circulación a lo largo de una línea cerrada, se cumple, que en un seno de un campo conservativo, la circulación a lo largo de una trayectoria cerrada de sus fuerzas, es 0. 43 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

44. 1.6 Energía Potencial Gravitatoria. Conservación de la Energía Mecánica. • Por otra parte, recordemos que, el potencial gravitatorio en 1 punto del espacio se define como el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar la unidad de masa desde dicho punto hasta el infinito. Se trata del trabajo por unidad de masa, por lo que, podemos demostrar fácilmente que, cuando se traslada una masa en lugar de la unidad de masa : • La energía potencial gravitatoria asociada, será: 44 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

45. 1.6 Energía Potencial Gravitatoria. Conservación de la Energía Mecánica. TEOREMA DE LA ENERGÍA POTENCIAL: En un campo conservativo, el trabajo realizado por las fuerzas del campo es igual a la variación de la energía potencial cambiada de signo. TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS: El trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es igual a la variación de energía cinética experimentada por dicha partícula. 45 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

46. 1.6 Energía Potencial Gravitatoria. Conservación de la Energía Mecánica. • Aunando ambos teoremas, se llega al PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA. 46 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

47. 1.7 Campo Gravitatorio Terrestre. • Campo Gravitatorio a una altura h de la superficie: • Campo Gravitatorio justo sobre la superficie: • Relación de Campos. 47 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

48. 1.7 Campo Gravitatorio Terrestre. • Energía Potencial Gravitatoria Terrestre: • La energía potencial, de una masa m situada a una • distancia h de la superficie terrestre, viene dada por: • Variación de Energía Potencial: • Relación de Potenciales. 48 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

49. 1.8 Movimiento de Planetas y Satélites. Velocidad orbital. 3ª Ley de Kepler. Período de Revolución. 49 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

50. 1.8 Movimiento de Planetas y Satélites. Energía Cinética. Energía Mecánica en Órbita. Energía de Satelización. 50 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023