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Université de Rennes 1 Licence Sciences Technologie Santé L2-PCGI Electromagnétisme Philippe Rabiller 2005. Plan du cours. ch.1 Introduction ch.2 Vecteurs et champs ch.3 Champ et Potentiel électrostatiques ch.4 Champ Magnétique ch.5 Induction électromagnétique

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Université de Rennes 1

Licence Sciences Technologie Santé

L2-PCGI

Electromagnétisme

Philippe Rabiller

2005

Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

slide2

Plan du cours

  • ch.1 Introduction
  • ch.2 Vecteurs et champs
  • ch.3Champ et Potentiel électrostatiques
  • ch.4 Champ Magnétique
  • ch.5Induction électromagnétique
  • ch.6Propagation des ondes électromagnétiques
  • ch.7 Rayonnement électromagnétique

Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005

slide3

Chapitre 6:Propagation des ondes électromagnétiques

6.1 Introduction

6.2Equations de Maxwell

6.3 Equations de propagation dans le vide

6.4Ondes électromagnétiques

6.5Energie transportée par une onde électromagnétique

6.6 Réflexion - Réfraction aux interfaces

6.7 …

6.8 …

6.9 …

6.10 …

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slide4

6.1Introduction

  • E et B dérivent de potentiels :

(2)

(1)

  • Théorème de Gauss :
  • Théorème d’Ampère :
  • Condition de Lorentz :

(L)

Dans les chapitres traitant d’électrostatique et de magnétostatique, nous avons obtenu des équations locales qui régissent les champs électrique et magnétique statiques en fonction des potentiels scalaire et vecteur (statiques) et des densités de charge ou de courant (stationnaires) .

Sur la route du théorème d’Ampère, nous avions entrevu en calculant le rotationnel du champ magnétique (ch.4.4), l’inter-dépendance entre le potentiel vecteur et le potentiel scalaire:

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6.1Introduction

  • Loi de Faraday :

(3)

(3b)

Rappelons également qu’il existe une relation de conservation reliant les densités de courant et de charge.

  • Conservation de la charge :

(C)

Accumulation de charge

Flux de charge sortant

Enfin en abordant l’induction électromagnétique nous avons trouvé une première relation locale liant les comportements dynamiques des champs électrique et magnétique:

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6.2Equations de Maxwell

(L)

(3b)

Les équations locales(1)(2) et (3) sont trois des quatre équations de Maxwell qui unifient la théorie de l’électromagnétisme. La quatrième équation que nous allons démontrer ici donne la dépendance dynamique du rotationnel du champ magnétique.

Calculons à nouveau le rotationnel du champ magnétique en introduisant sa définition à partir du potentiel vecteur, la condition de Lorentz (L) et l’équation de Maxwell (3b).

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6.2Equations de Maxwell

V(r) = 

1

r(r’)d3r’

4peo

|r - r’|

Or nous savons que la définition générale du potentiel est la suivante :

j(r’)

mo

A(r)= d3r’

Est solution de

4p

|r - r’|

De même la définition générale du potentiel vecteur est :

Pour calculer le laplacien du potentiel vecteur - qui est donc un vecteur - nous allons procéder par analogie à partir du laplacien du potentiel scalaire. Injectons l’équation (3b) dans l’équation (1) puis la condition de Lorentz (L).

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6.2Equations de Maxwell

C’est à dire que chacune des composantes du potentiel vecteur Ax, Ay, Az satisfait une relation de la forme :

jx(r’)

mo

Ax(r)= d3r’

4p

|r - r’|

En faisant l’analogie V  Ax , r jx et 1/eo mo on voit que les expressions sont en tous points similaires pour les deux potentiels. La composante Ax du potentiel vecteur est donc également solution de l’équation:

C’est-à-dire que le potentiel vecteur lui-même satisfait une équation du même type :

La quatrième équation de Maxwell est finalement donnée par:

dimension d’une densité de courant

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6.2Equations de Maxwell

Maxwell - Gauss

(1)

(2)

Maxwell - Faraday

(3)

Maxwell - Ampère

(4)

En résumé,les quatre équations de Maxwell dynamiques relient localement les divergences et rotationnels des champs électrique et magnétique aux champs électrique et magnétique eux-mêmes, ainsi qu’aux sources de charges et de courants statiques ou dynamiques.

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6.2Equations de Maxwell

En statique:

(1)

(2)

En l’absence de charge et courant :

(3)

(1)

(2)

(4)

(3)

(4)

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6.3Equations de propagation dans le vide.

Dans le paragraphe précédent, nous avons vu que le potentiel scalaire et les composantes du potentiel vecteur sont solutions d’équation différentielles similaires:

Nous pouvons montrer qu’il en est de même pour les champs électrique et magnétique. Nous utilisons encore ici l’identité mathématique qui relie le rotationnel du rotationnel d’un vecteur au laplacien et au gradient de la divergence de ce même vecteur:

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6.3Equations de propagation dans le vide.

(4)

0

(3)

(3), (4)

(1)

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6.3Equations de propagation dans le vide.

Equation de d’Alembert dans le vide

On voit que ces équations sont toutes les mêmes dans le vide, i.e. en l’absence de charge et de courant.

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6.4Ondes électromagnétiques.

Ces équations admettent des solutions complexes, combinaisons linéaires de fonctions du type qui sont des fonctions représentant une onde plane, c’est à dire une grandeur physique oscillant avec la fréquence n = w/2p et se propageant dans la direction du vecteur d’onde k avec une vitesse de propagationc = w / | k |. La quantité w s’appelle la pulsation de l’onde.

w(k)

La relation entre la pulsation et le vecteur d’onde s’appelle relation de dispersion.

|k|

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6.4Ondes électromagnétiques.

l = 2p / |k |

T=1/n

Une telle onde présente une double périodicité dans le temps et dans l’espace. La période temporelle T (mesurée en secondes) est l’inverse de la fréquence n (mesurée en Hz) T=1/n. La période spatiale ou longueur d’onde lest inversement proportionnelle au module du vecteur d’onde l = 2p / |k |.

temps

espace

Supposons qu’au temps t = 0 et à la position r = 0, la phase initiale j soit nulle, alors à chaque fois que le temps t est un multiple de la période T, ou que la projection du vecteur position r sur la direction de propagation k / |k | est un multiple de la longueur d’onde, l’amplitude de la fonction d’onde |S(r,t)| passe par un maximum |So|.

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6.4Ondes électromagnétiques.

amplitude

polarisation

pulsation

vecteurd’onde

Les grandeurs physiques observables étant réelles, la solution physique S est donc donnée par la partie réelle de la fonction d’onde complexe.

S (r, t) = Re{ S(r, t) } = ½ {S + c.c.}

complexe conjugué

Dans le cas où la grandeur physique est un champ vectoriel, la fonction d’onde est un vecteur. La fonction d’onde est alors définie non seulement par une amplitude, une pulsation, un vecteur d’onde, mais également par une direction particulière appelée polarisation de l’onde, à ne pas confondre avec la direction de propagation (représentée par le vecteur d’onde). Pour une onde sinusoïdale on aura:

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6.4Ondes électromagnétiques.

Ainsi une fonction d’onde réelle s’écrira

S (r, t) = So cos ( wt - k·r + j ) eo

Soit en coordonnées cartésiennes:

Sx (x,y,z, t) = So cos( wt – [kxx+kyy+kzz] + j ) eox

Sy (x,y,z, t) = So cos( wt – [kxx+kyy+kzz] + j ) eoy

Sz (x,y,z, t) = So cos( wt – [kxx+kyy+kzz] + j ) eoz

Par exemple pour une onde de pulsation w polarisée suivant la direction Oy et se propageant à la vitesse c = w/k dans la direction Ox on écrira:

Sy (x, t) = So cos( wt – kx + j )

Un nombre complexe Z peut s’écrire de deux façons:

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6.4Ondes électromagnétiques.

Vérifions à présent que ces fonctions sont bien solutions de l’équation de d’Alembert.

?

Soit S la fonction d’onde définie par S(r,t) = Soej(wt-k·r).

La fonction S satisfait donc bien à l’équation de d ’Alembert si |k|·c = w.

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6.4Ondes électromagnétiques.

Par commodité effectuons les calculs pour une fonction réelle 1D à phase initiale nulle (choix de la direction Ox suivant celle de k et de l’origine telle que S(0,0)=So):

S(x,t) = So cos(wt - kx)

Montrons à présent que c représente bien la vitesse de propagation.

Pour qu’un état donné de S(x,t) se retrouve également en un point x’=x+dx au temps t’=t+dt, il faut que la phase de l’onde "wt - kx" soit conservée:

 = wt - kx = wt’ - kx’.

Pour que cette phase soit constante (on parle alors d’onde stationnaire) il faut que d = 0, soit d =wdt - kdx= 0.

La quantité dx/dt = w /k = c représente une vitesse instantanée. Il s’agit de la vitesse de propagation d’un état de l’onde - correspondant à une phase donnée -, c’est pourquoi on l’appelle vitesse de phase.

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6.4Ondes électromagnétiques.

S(x)

x

Remarque: Nous verrons plus tard que les ondes électromagnétiques véhiculent de l’énergie. Or nous savons qu’au travers de la matière, une partie de cette énergie peut être absorbée et les ondes atténuées. Dans ce cas il faut ajouter un terme d’atténuation dans la fonction d’onde (en r ou en t).

Le terme a s’appelle coefficient d’amortissement (loi de Beer Lambert).

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6.4Ondes électromagnétiques.

Appliquons ces notions d’ondes aux champs électrique et magnétique, qui s’écrivent alors sous la forme:

Calculons les deux membres de l’équation de Maxwell-Faraday (3) à partir de ces expressions.

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6.4Ondes électromagnétiques.

De même, pour tout couple (a,b) et :

D’autre part, on a pour la dérivée par rapport au temps du champ magnétique:

On en déduit donc, la relation suivante pour la propagation des champs électrique et magnétique dans le vide:

 vecteur unitaire dans la direction de propagation

Le champ magnétique se propage perpendiculairement au champ électrique et à la direction de propagation (dans le vide).

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6.4Ondes électromagnétiques.

Le champ électrique se propage perpendiculairement au champ magnétique et à la direction de propagation.

noeud

ventre

B

E

k

En tout point le rapport des modules|E| / |B| dans le vide est constant et égal à la vitesse de la lumièrec.

Par analogie, on trouve le même type de relations à partir de l’équation de Maxwell-Ampère (4) :

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6.5Energie transportée par une onde électromagnétique.

En électrostatique et magnétostatique, nous avons montré qu’on pouvait associer localement dans le vide des densités d’énergie potentielle (i.e. « récupérable » par une charge test au point considéré sous forme de travail de la force de Lorentz):

  • Energie électrostatique :
  • Energie magnétostatique :

Nous allons montrer que la puissance par unité de volume dissipée localement par une onde électromagnétique dans le vide est donnée par la divergence du vecteur de Poynting :

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6.5Energie transportée par une onde électromagnétique.

La divergence du vecteur de Poynting est donc égale à l’opposé du taux de variation de la densité locale d’énergie électromagnétique.

Puissance rayonnée à travers la surface

En utilisant le théorème de la divergence, on trouve que la puissance dissipée à travers une surface est donnée par l’opposé du flux du vecteur de Poynting:

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6.6Réflexion – Réfraction aux interfaces.

  • Discontinuité du champ électrique aux interfaces :

Revenons un peu en arrière et regardons ce qui se passe à une interface entre milieux isolants ou conducteurs parfaits (ie. dans lesquels aucune densité de charge n’existe en volume).

Comme nous nous intéressons à ce qui se passe à l’interface, nous pouvons donc considérer celle-ci comme un plan infini séparant deux milieux (1) et (2), qui peut être chargé avec une densité surfacique de charges s. Nous pouvons appliquer le théorème de Gauss sur une petite surface cylindrique qui est coupée par le plan perpendiculairement au cylindre.

1

2

Uneinterface chargéesuperficiellement donne lieu à unediscontinuitéde la composantenormaledu champ électrique.

N

Nous pouvons rendre le cylindre aussi petit que l’on veut de sorte que le champ soit homogène sur toute la surface de part et d’autre du plan. Nous pouvons décomposer le champ en deux composantes, l’une normale au plan, l’autre tangentielle.

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6.6Réflexion – Réfraction aux interfaces.

1

2

Une interfacemêmechargée superficiellementn’entraîne pas de discontinuité de la composantetangentielledu champ électrique.

G

L

dl

N

et

  • Discontinuité du champ électrique aux interfaces :

Considérons à présent la circulation du champ électrique le long du contour fermé G, que l’on peut également rendre aussi petit que l’on veut.

Appliquons ensuite le théorème de Stokes qui permet de passer d’une intégrale sur un contour fermé à une intégrale sur une surface s’appuyant sur ce contour:

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6.6Réflexion – Réfraction aux interfaces.

  • Discontinuité du champ magnétique aux interfaces :

Nous pouvons appliquer le mêmes considérations au champ magnétique en considérant que le plan est parcouru par une densité de courantl .

  • en calculant le flux du champ magnétique à travers une petite surface cylindrique fermée perpendiculaire au plan.

1

2

l

uneinterface parcourue par une densité de courant superficiellene donne pas lieu à une discontinuité de la composantenormaledu champ magnétique.

1

2

  • en utilisant le théorème d’Ampère sur le contour G

et

G

el

N

L

uneinterface parcourue par une densité de courant superficielle entraîne une discontinuité de la composantetangentielledu champ magnétique.

N

dl

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6.6Réflexion – Réfraction aux interfaces.

  • Discontinuité du champ magnétique aux interfaces :

Pour la discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique, puisque la composante normale est continue on peut mettre la dernière équation trouvée sous la forme:

La normale est dirigée du milieu (1) vers le milieu (2).

!

  • Réflexion - Réfraction :

Lorsqu’une onde incidente rencontre une interface (changement de milieu (1) vers (2)), on observe qu’une partie de l’onde est réfléchie (miroir) et une autre partie est transmise à travers l’interface en étant plus ou moins déviée. On parle dans ce dernier cas de réfraction.

onde réfléchie

onde incidente

Et, Bt

Ei, Bi

Er, Br

onde transmise

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6.6Réflexion – Réfraction aux interfaces.

  • Réflexion - Réfraction :

Il y a donc 4 inconnues vectorielles qu’il faut trouver en utilisant les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday dans les milieux « homogènes » (1) et (2) , et les conditions de continuité à l’interface.

Dans le vide la vitesse de phase d’une onde plane est la vitesse de la lumière c. Par contre dans la matière, cette vitesse est plus lente. On sait que dans le vide la vitesse de la lumière c est liée aux constantes eo et mo par la relation:

Dans la matière la permittivité du vide eo est remplacée par la permittivité du milieu ereo et la perméabilité magnétique mo par m=mrmo. On en déduit donc intuitivement que la vitesse de phase d’une onde plane électromagnétique dans la matière est du type :

Cette relation est vraie s’il n’y a pas d’absorption. Le rapportc/vn’est autre quel’indice de réfraction ndu milieu matériel (que l’on utilise dans leslois de Snell-Descartesen optique géométrique). Dans beaucoup de matériaux la perméabilité relative mr est très proche de 1 et la constante diélectrique d’un matériaux correspond donc approximativement au carré de l’indice de réfraction (si on néglige l’absorption): n = c/v ~ er1/2.

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6.6Réflexion – Réfraction aux interfaces.

  • Réflexion - Réfraction : conditions générales

D’autre part, une onde électromagnétique est générée par des sources de charges électriques, dipôles électriques, dipôles magnétiques oscillant à une fréquence, ou pulsation, donnée. Cela correspond donc à un système d’oscillations forcées pour lequel la pulsation est imposée par le générateur. Les pulsations des ondes électromagnétiques incidente, réfléchie et transmise sont donc toutes les mêmes.

Les ondes incidente, réfléchie et transmise sont donc du type:

Les relations liant, en un point de l’interface, ces différents vecteurs ne doivent pas dépendre de la position choisie dans le plan (p) de l’interface. Faisons apparaître la composante rp du vecteur position r = rp+rn qui est dans le plan p.

rp

Nous pouvons mettre les vecteurs ci dessus sous la forme:

rn

r

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6.6Réflexion – Réfraction aux interfaces.

  • Réflexion - Réfraction : conditions générales

Ecrire que les relations liant ces différents vecteurs en un point de l’interface ne dépendent pas de la position choisie dans le plan de l’interface revient donc à écrire l’équation suivante :

De la première équation ci-dessus on tire :

En notant que |ki|= vi/w où vi est la vitesse de phase de l’onde incidente et en appelant ui le vecteur unitaire dans la direction de ki, cela revient à dire que :

Le vecteur ui - ur est perpendiculaire à l’interface et donc les angles que font les rayons incidents (vecteur d’onde incident) et réfléchis avec la normale N au plan sont égaux. On retrouve la loi de la réflexion.

ur

N

qi

qr

ui - ur

p

ui

Les vecteurs uiur et N définissent le plan d ’incidence.

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6.6Réflexion – Réfraction aux interfaces.

  • Réflexion - Réfraction : conditions générales

Pour interpréter la deuxième partie de l’équation d’invariance le long de l’interface, introduisons les indices de réfraction n1 et n2 des milieux (1) et (2).

On retrouve la loi de réfraction de Snell-Descartes.

qi

(1)

p

ui

(2)

ut

qr

N

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6.6Réflexion – Réfraction aux interfaces.

  • Réflexion - Réfraction : conditions générales

Enfin il reste à écrire les conditions de continuité à l’interface pour les amplitudes des composantes normales et tangentielles des champs électrique et magnétique en présence d’éventuelles densités superficielles de charge ou de courant:

Certaines contraintes supplémentaires viennent de la nature des matériaux. Par exemple dans un conducteur parfait E=0. Dans un matériaux diamagnétique la susceptibilité magnétique  est égale à –1 et B = mo (H+M) = mo (1+ ) H = 0 …

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