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Progetto di Formazione e Ricerca “Oggetti, Forme, Misure”. Geometria nel primo ciclo: ricerche in didattica della matematica. Samuele Antonini, Mirko Maracci Dipartimento di Matematica Università di Pavia. Fermo, 28 febbraio 2014. Struttura del seminario. 3 parti: Le ombre del sole

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Presentation Transcript
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Progetto di Formazione e Ricerca

“Oggetti, Forme, Misure”

Geometria nel primo ciclo:

ricerche in didattica della matematica

Samuele Antonini, Mirko Maracci

Dipartimento di Matematica

Università di Pavia

Fermo, 28 febbraio 2014

struttura del seminario
Struttura del seminario
  • 3 parti:
  • Le ombre del sole
  • Visualizzazione in geometria: il caso dei poliedri
  • La geometria del piano attraverso un Ambiente di Geometria Dinamica
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PARTE I

Le ombre del sole

Ricerca e sperimentazione hanno coinvolto, a partire dagli anni 70, decine di ricercatori (guidati da Paolo Boero, gruppo di ricerca dell’Università di Genova) e insegnanti (in particolare Ezio Scali e Rossella Garuti), migliaia di alunni provenienti dall’Italia, Spagna, Ungheria, Romania, Eritrea.

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Ombre del Sole

Caratteristiche salienti

Insegnamento «contestualizzato» della matematica (dal «contesto» al lavoro sui concetti e sulle tecniche costruite, che da «strumenti risolutivi di problemi» diventano «oggetti di studio»)

Sviluppo integrato e coordinato di abilità in ambiti diversi (matematico, scientifico-tecnologico, linguistico)

Centralità del compito dell’insegnante come «mediatore culturale»

Collaborazione ricercatori-insegnanti

Con «matematica» non si intende soltanto i contenuti matematici (il sapere) ma anche «le attività basate (in modo più o meno esplicito e consapevole a seconda di chi le svolge e delle circostanze in cui sono svolte) su elementi del sapere matematico: quindi, per noi la matematica comprende non solo i concetti e gli algoritmi matematici, ma anche le attività di matematizzazione, di problem solving, di produzione e di dimostrazione di congetture, ecc. da chiunque effettuate.» (Boero et al., 1995)

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Ombre del Sole

Caratteristiche salienti

Ruolo del contesto: motivare, costruire e applicare conoscenze matematiche

Insegnamento «contestualizzato» della matematica (dal «contesto» al lavoro sui concetti e sulle tecniche costruite, che da «strumenti risolutivi di problemi» diventano «oggetti di studio»)

Attuare processi di modellizzazione (descrizione, spiegazione, previsione di fenomeni con strumenti matematici)

Sviluppo integrato e coordinato di abilità in ambiti diversi (matematico, scientifico-tecnologico, linguistico)

Lavoro prolungato e continuo. Il contesto non è occasionale né limitato nel tempo

Centralità del compito dell’insegnante come «mediatore culturale»

Collaborazione ricercatori-insegnanti

Con «matematica» non si intende soltanto i contenuti matematici (il sapere) ma anche «le attività basate (in modo più o meno esplicito e consapevole a seconda di chi le svolge e delle circostanze in cui sono svolte) su elementi del sapere matematico: quindi, per noi la matematica comprende non solo i concetti e gli algoritmi matematici, ma anche le attività di matematizzazione, di problem solving, di produzione e di dimostrazione di congetture, ecc. da chiunque effettuate.» (Boero et al., 1995)

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Quanto a […] (rapporto tra la matematica come strumento per agire nei contesti reali extrascolastici e la matematica come scienza autonoma), riteniamo che ci sia continuità tra talune abilità e taluni concetti che possono essere costruiti nel lavoro nei contesti reali e utilizzati nel lavoro interno alla matematica ma che ci siano anche rotture tra il pensare comune e il pensare con la matematica, e tra il pensare comune e il pensare in matematica. Pensiamo che di tutto ciò ("continuità" e "rotture") debba farsi carico l'insegnamento della matematica. (Boero et. al. 1995)

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Contesti

- contesti reali che nella vita extrascolastica si presentano oggi già fortemente matematizzati (come il contesto delle misure di lunghezza, di tempo e di peso, o il contesto degli scambi economici e dell'uso del denaro) (Boero et al., 1995)

il lavoro dell'insegnante può appoggiarsi all'esperienza extrascolastica per sviluppare concetti e procedure matematiche e per costruire livelli più alti di consapevolezza e di esplicitazione circa gli strumenti e i processi matematici coinvolti

- contesti reali per i quali l'attività di modellizzazione matematica svolta in classe può entrare in conflitto con rappresentazioni mentali e concezioni radicate nel senso comune, o comunque non può basarsi su sufficienti livelli di matematizzazione già presenti nella cultura extrascolastica. (Boero et al., 1995)

mentre nel secondo caso ciò non accade e anzi occorre che a volte l'insegnante operi contro concezioni contrastanti con la modellizzazione matematica. (Boero et al., 1995)

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Attività base per l’approccio alla geometria: «rappresentazione dello spazio fisico»

Rappresentare verbalmente, con un lessico via via più preciso, posizioni, relazioni e situazioni dello spazio fisico

Rappresentazione verbale

Rappresentazione grafica

Rappresentare sul foglio bidimensionale oggetti e situazioni dello spazio fisico tridimensionale

Figure geometriche, relazioni e proprietà oggetto di studio della geometria entrano in gioco nella rappresentazione dello spazio fisico

Rappresentazione dello spazio e geometria

Interpretazione scientifica dei fenomeni naturali

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Fenomeno: ombre del sole

Attività: osservazione, descrizione (grafica e verbale), misurazione, previsione sul fenomeno ombre del sole

Rappresentazioni spontanee degli alunni

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Fenomeno: ombre del sole

Attività: osservazione, descrizione (grafica e verbale), misurazione, previsione sul fenomeno ombre del sole

Progettazione. In particolare la scoperta che l’angolazione, oltre alla lunghezza, del chiodo influiscono sulla lunghezza dell’ombra. Scelta del chiodo «dritto». Come verificare che è «dritto»?

Strumento per l’osservazione: tavoletta con un chiodo (di diverse lunghezze) piantato perpendicolarmente. Un foglio di carta viene di volta in volta fissato per le rilevazioni.

Osservazione e misurazione in diverse ore del giorno («ventaglio delle ombre»), periodi dell’anno, posizioni della tavoletta.

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Problema: riduzione in scala

Proporzionalità

Concetto di angolo

Osservazione e misurazione in diverse ore del giorno («ventaglio delle ombre»), periodi dell’anno, posizioni della tavoletta.

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Studio delle relazioni tra «altezza del sole» e lunghezza dell’ombra, tra altezza degli oggetti e lunghezza della loro ombra

Presenza di concezioni che possono guidare ma anche ostacolare la modellizzazione matematica del fenomeno

Sembra che «un precoce o malaccorto intervento sulle concezioni e sui principi degli alunni possa minare le radici del loro pensiero e in particolare limitare lo sviluppo delle loro capacità di ideazione e di argomentazione.» (Boero et al., 1995)

Messa in atto di situazioni

per far emergere le concezioni

Tipica concezione: "sole più alto, sole più forte- ombra più lunga"

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Importanza dei sistemi di segni al fine di realizzare il passaggio ad una concezione scientifica dei fenomeni

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Sviluppo di competenze linguistiche nella descrizione delle attività, nella formulazione di congetture, nella produzione (orale e scritta) di argomentazioni

la mattina il sole è basso e le ombre sono lunghe

La mattina le ombre sono lunghe perché il sole è basso (causale)

Se il sole è basso le ombre sono lunghe (condizionale)

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Controargomentazione all’enunciato:

se cambia la posizione del sole nel disegno cambia anche la lunghezza dell’ombra

La richiesta di produrre un disegno può essere utilizzata efficacemente per favorire la presa di coscienza del processo di modellizzazione che ha come obiettivo la costruzione di concetti geometrici (Mariotti, 2005, p. 91)

Verso l’indipendenza dell’inclinazione dalla posizione del sole lungo il raggio

MODELLO GEOMETRICO

«mediatore» di un modo di pensare il fenomeno delle ombre focalizzato alla relazione tra inclinazione del raggio e lunghezza dell’ombra

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Angolo, parallelismo

Problema della (misurazione della) altezza del sole

Verso l’indipendenza dell’inclinazione dalla posizione del sole lungo il raggio

MODELLO GEOMETRICO

«mediatore» di un modo di pensare il fenomeno delle ombre focalizzato alla relazione tra inclinazione del raggio e lunghezza dell’ombra

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Enunciato

Argomentazione (Dimostrazione)

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Beatrice (III media)

Formulazione della congettura

Dimostrazione

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Sara (III media)

Formulazione della congettura

Dimostrazione

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Alcune conclusioni

In presenza di […] dati di natura storica e di […] importanti indagini in campo epistemologico e cognitivo appare legittimo un insegnamento della geometria nella scuola elementare che apertamente ricorre ad oggetti concreti, a metafore fisiche, a relazioni di natura geometrica esperite con il corpo:

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Alcune conclusioni

non si tratta di un punto di partenza da abbandonare al più presto (appena i bambini dimostrano di saper ragionare in termini di «rette» e non di «raggi di luce»), ma di un «luogo», di un «ambiente di apprendimento» in cui i bambini esperiscono per anni le attività fondamentali della geometria (costruire concetti con una molteplicità di situazioni di riferimento che ne «fissano» il senso e ne garantiscono l’applicabilità, individuare relazioni geometriche, individuare possibili ragioni per cui una certa proprietà geometrica è vera).

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Alcune conclusioni

Il passaggio (a livello lessicale e anche in termini di «astrazione») a segmenti, rette, cerchi, angoli, ecc. deve essere favorito gradualmente dall’insegnante attraverso la mediazione dei termini tecnici della geometria e attraverso la molteplicità delle situazioni problematiche esperite in classe. (Boero, 1998/1999)

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Dalle Indicazioni Nazionali

SCUOLA DI INFANZIA

Acquisire competenze significa giocare, muoversi, manipolare, curiosare, domandare, imparare a riflettere sull’esperienza attraverso l’esplorazione, l’osservazione e il confronto tra proprietà, quantità, caratteristiche, fatti: significa ascoltare, e comprendere, narrazioni e discorsi, raccontare e rievocare azioni ed esperienze e tradurle in tracce personali e condivise; essere in grado di descrivere, rappresentare e immaginare, «ripetere», con simulazioni e giochi di ruolo, situazioni ed eventi con linguaggi diversi. (p. 16)

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La scuola del I ciclo. Ambiente di apprendimento. Principi metodologici

Favorire l’esplorazione e la scoperta, al fine di promuovere il gusto per la ricerca di nuove conoscenze. In questa prospettiva, la problematizzazione svolge una funzione insostituibile: sollecita gli alunni a individuare problemi, a sollevare domande, a mettere in discussione le conoscenze già elaborate, a trovare appropriate piste d’indagine, a cercare soluzioni originali (p. 27)

[…]

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Realizzare attività didattiche in forma di laboratorio, per favorire l’operatività e allo stesso tempo il dialogo e la riflessione su quello che si fa. Il laboratorio, se ben organizzato, è la modalità di lavoro che meglio incoraggia la ricerca e la progettualità, coinvolge gli alunni nel pensare, realizzare, valutare attività vissute in modo condiviso e partecipato con altri, e può essere attivata sia nei diversi spazi e occasioni interni alla scuola sia valorizzando il territorio come risorsa per l’apprendimento. (p. 27)

Matematica

In matematica, come nelle altre discipline scientifiche, è elemento fondamentale il laboratorio, inteso sia come luogo fisico sia come momento in cui l’alunno è attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, impara a raccogliere dati, negozia e costruisce significati, porta a conclusioni temporanee e a nuove aperture la costruzione delle conoscenze personali e collettive. […] (p. 49)

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Le conoscenze matematiche contribuiscono alla formazione culturale delle persone e delle comunità, sviluppando le capacità di mettere in stretto rapporto il «pensare» e il «fare» e offrendo strumenti adatti a percepire, interpretare e collegare tra loro fenomeni naturali, concetti e artefatti costruiti dall’uomo, eventi quotidiani.

In particolare, la matematica dà strumenti per la descrizione scientifica del mondo e per affrontare problemi utili nella vita quotidiana; contribuisce a sviluppare la capacità di comunicare e discutere, di argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri. (p. 49)

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Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono essere intesi come questioni autentiche e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una regola. (p. 49)

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Nella scuola secondaria di primo grado si svilupperà un’attività più propriamente di matematizzazione, formalizzazione, generalizzazione. L’alunno analizza le situazioni per tradurle in termini matematici, riconosce schemi ricorrenti, stabilisce analogie con modelli noti, sceglie le azioni da compiere […] e le concatena in modo efficace al fine di produrre una risoluzione del problema. Un’attenzione particolare andrà dedicata allo sviluppo della capacità di esporre e di discutere con i compagni le soluzioni e i procedimenti seguiti […] (p. 49)

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Di estrema importanza è lo sviluppo di un’adeguata visione della matematica, non ridotta a un insieme di regole da memorizzare e applicare, ma riconosciuta e apprezzata come contesto per affrontare e porsi problemi significativi e per esplorare e percepire relazioni e struttura che si ritrovano e ricorrono in natura e nelle creazioni dell’uomo. (p. 49)

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PARTE II

Visualizzazione in geometria:

il caso dei poliedri

dalle indicazioni 2012 i traguardi
Dalle indicazioni 2012: i traguardi
  • Riconosce e rappresenta forme del piano e dello spazio, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall’uomo.
  • Descrive, denomina e classifica figure in base a caratteristiche geometriche, ne determina misure, progetta e costruisce modelli concreti di vario tipo.
  • Riconosce e utilizza rappresentazioni diverse di oggetti matematici.
  • Riconosce e denomina le forme del piano e dello spazio, le loro rappresentazioni e ne coglie le relazioni tra gli elementi.
  • Riconosce e risolve problemi in contesti diversi valutando le informazioni e la loro coerenza
  • Produce argomentazioni in base alle conoscenze teoriche acquisite
dalle indicazioni 2012 i traguardi1
Dalle indicazioni 2012: i traguardi

Raggiungimento di questi traguardi

  • Riconosce e rappresenta forme del piano e dello spazio, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall’uomo.
  • Descrive, denomina e classifica figure in base a caratteristiche geometriche, ne determina misure, progetta e costruisce modelli concreti di vario tipo.
  • Riconosce e utilizza rappresentazioni diverse di oggetti matematici.
  • Riconosce e denomina le forme del piano e dello spazio, le loro rappresentazioni e ne coglie le relazioni tra gli elementi.
  • Riconosce e risolve problemi in contesti diversi valutando le informazioni e la loro coerenza
  • Produce argomentazioni in base alle conoscenze teoriche acquisite

Cosa si intende per visualizzazione?

È innata? È educabile?

Sviluppo di abilità di visualizzazione geometrica

cosa si intende per visualizzazione
Cosa si intende per visualizzazione?
  • Da un punto di vista cognitivo, i concetti geometrici sono entità mentali che partecipano di una componente concettuale e di una componente figurale che deriva dal loro legame originale con la realtà, e caratterizza il loro essere concetti spaziali.

Visualizzazione: Processo cognitivo di produzione ed elaborazione di rappresentazioni mentali di oggetti e relazioni geometriche caratterizzato dall'interazione tra componente figurale e componente concettuale.

educare alla visualizzazione spunti
Educare alla visualizzazione: spunti
  • Costruire una scatola chiusa usando i triangoli equilateri (usandone il minor numero possibile).
  • Disegnate il tetraedro come lo vedete
  • Contate quante facce, quanti spigoli, quanti vertici ha.

Costruzione di un polidero (es. tetraedro).

A piccoli gruppi. 6/7 (di più?) triangoli equilateri di cartoncino tutti uguali.

costruire poliedri
Costruire poliedri

Supporto per una definizione di faccia, spigolo e vertice

Costruire (a partire da un modello?) poliedri usando:

  • Diversi poligoni di cartoncino,
  • Geomag,
  • Stuzzicadenti e plastilina,cannucce ...

Quali poliedri si possono costruire? Quali no?

Es: un poliedro che ha come facce esagoni regolari?

costruire poliedri1
Costruire poliedri

Costruire poliedri usando:

A piccoli gruppi. Cartoncini di diverse forme: triangoli equilateri e quadrati con i lati della stessa misura (o diversi elementi del geomag).

Un bambino ha costruito un solido usando quadrati e triangoli equilateri, non si sa quanti, ma si sa che questa figura ha 5 facce, 5 vertici e 8 spigoli. Che solido può essere?

Oppure

Un bambino ha costruito un solido usando quadrati e triangoli equilateri, non si sa quanti, ma si sa che questa figura ha 5 facce. Che solido può essere?

Cosa chiederesti al bambino per sapere quale solido ha costruito

Costruzione di poliedri

Analisi di poliedri

contare gli elementi di un poliedro facce spigoli e vertici
Contare gli elementi di un poliedro: facce, spigoli e vertici
  • Mancanza di organizzazione del conteggio.
  • La possibilità di manipolazione diretta fornisce una ricchezza di informazioni.
  • Ostacola l'intervento di un'organizzazione concettuale del processo mentale

Con un modello concreto

Senza un modello concreto

Il processo di conteggio organizzato mentalmente.

Organizzazione dell'immagine mentale in modo che aspetto figurale e aspetto concettuale interagiscono.

Conteggio:

Episodico?

o

Sistematico?

contare gli elementi di un poliedro
Contare gli elementi di un poliedro

Contiamo facce spigoli e vertici di una piramide

contare gli elementi di un poliedro1
Contare gli elementi di un poliedro

Contiamo facce spigoli e vertici di una piramide

contare gli elementi di un poliedro2
Contare gli elementi di un poliedro

Contiamo facce spigoli e vertici di una piramide

contare gli elementi di un poliedro3
Contare gli elementi di un poliedro

Contiamo facce spigoli e vertici di una piramide

Contiamo facce spigoli e vertici di un prisma

contare gli elementi di un poliedro4
Contare gli elementi di un poliedro

Contiamo facce spigoli e vertici di una piramide

Contiamo facce spigoli e vertici di un prisma

contare gli elementi di un poliedro5
Contare gli elementi di un poliedro

Contiamo facce spigoli e vertici di una piramide

Contiamo facce spigoli e vertici di un prisma

N° Spigoli

=

N° Vertici + N° Facce - 2

rappresentare un poliedro nel piano
Rappresentare un poliedro nel piano

Riprendiamo l'esempio iniziale:

Disegnare il tetraedro (o un cubo):

  • come lo si vede.
  • in modo “canonico”.
  • in modo da evidenziarne le proprietà geometriche.
  • Un altro tipo di rappresentazione piana: lo sviluppo.
  • Immaginate di togliere lo scotch da alcuni spigoli e di aprire il tetraedro lasciando ogni faccia unita ad una o più altre. Cosa ottenete?

Immaginare o realizzare?

lo sviluppo piano di un poliedro
Lo sviluppo piano di un poliedro

Disegna lo sviluppo di un polidero (tetraedro, cubo, prisma,...)

Confronta lo sviluppo con un modello concreto del poliedro (senza aprirlo)

Ne sapresti trovare altri?

lo sviluppo piano di un poliedro1
Lo sviluppo piano di un poliedro

Quali tra quelli dati è lo sviluppo di un cubo?

Immagina di ricostruire un cubo a partire da un suo sviluppo dato (disegnato su un foglio), colora con colori uguali i lati che devono essere incollati insieme.

Pierino vuole costruire un cubo. Ha già attaccato 5 quadratini e ha ottenuto questa figura. Dove deve attaccare il sesto quadratino?

lo sviluppo piano di un poliedro2
Lo sviluppo piano di un poliedro

Da uno studio di Mariotti (2005)

lo sviluppo piano di un poliedro3
Lo sviluppo piano di un poliedro

Da uno studio di Mariotti (2005)

lo sviluppo piano di un poliedro4
Lo sviluppo piano di un poliedro

Da uno studio di Mariotti (2005)

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PARTE III

La geometria del piano attraverso

un Ambiente di Geometria Dinamica

disegno su carta e in un agd principali analogie e differenze
Disegno su carta e in un AGD: principali analogie e differenze ?

Riflettiamo su un esempio molto semplice:

Tracciamo prima su un foglio di carta e poi sulla finestra di Geogebra due rette tra loro perpendicolari.

Cosa facciamo quando disegniamo? In cosa consiste il disegnare?

  • La produzione di un disegno può essere descritta come una sequenza di azioni organizzate secondo relazioni temporali, spaziali e logiche.
  • Una costruzione in un AGD richiede l'esplicitazione di tale sequenza, che non è più “solo” realizzata ma è comunicata al sistema attraverso l’uso di comandi.
  • Alcuni elementi di un disegno in un AGD, non tutti, possono essere trascinati.

Esplicitazione: primo passo per la presa di consapevolezza delle relazioni in gioco

trascinamento e movimento
Trascinamento e movimento

Costruire un quadrilatero, i punti medi dei suoi lati, e il quadrilatero che ha questi punti come vertici.

Alcuni degli elementi del disegno in Geogebra possono essere “trascinati” (selezioniamoli premendo il tasto sinistro del mouse e, tenendo il tasto premuto, spostiamo il mouse).

La figura si “muove”.

Il movimento è percepito nel contrasto tra

  • cosa (relazioni spaziali) varia, e
  • cosa (relazioni spaziali) resta invariato.
trascinamento e movimento1
Trascinamento e movimento

Alcuni elementi di una costruzione in AGD possono essere trascinati, ma non tutti.

Il trascinamento modifica il disegno preservandoalcune relazioni spaziali. Quali?

Vengono preservate le relazioni spaziali tra gli elementi del disegno definite nella costruzione attraversol'uso dei comandi dell' ADG.

Invarianti di costruzione

Vengono preservate le relazioni spaziali che sono conseguenza di quelle definite nella costruzione.

Invarianti derivati

costruzione di una figura e sua definizione
Costruzione di una figura e sua definizione

Passaggio dal procedimento di costruzione di una figura geometrica piana alla formulazione di una sua possibile definizione.

Disegnare un rettangolo in Geogebra.

Procedura di costruzione da comunicare al software

Insieme di proprietà disponibili all'allievo

costruzione di una figura e sua definizione1
Costruzione di una figura e sua definizione

Passaggio dal procedimento di costruzione di una figura geometrica piana alla formulazione di una sua possibile definizione.

Disegnare un rettangolo in Geogebra.

Diverse possibili strategie:

  • Ad occhio...
  • Usando i comandi del software

(classe V):

  • Segmento AB
  • punto D
  • retta parallela ad AB per D: r
  • retta perpendicolare ad AB per B: t
  • segmento AD
  • intersezione tra r e t: C
costruzione di una figura e sua definizione2
Costruzione di una figura e sua definizione

Vogliamo una costruzione stabile

Possiamo trascinare qualcosa?

Cosa?

Cosa succede se trasciniamo?

Passaggio dal procedimento di costruzione di una figura geometrica piana alla formulazione di una sua possibile definizione.

Disegnare un rettangolo in Geogebra.

Diverse possibili strategie:

  • Ad occhio...
  • Usando i comandi del software

AB e CD paralleli

(classe V):

  • Segmento AB
  • punto D
  • retta parallela ad AB per D: r
  • retta perpendicolare ad AB per B: t
  • segmento AD
  • intersezione tra r e t: C

B angolo retto

ABCD è un trapezio rettangolo

costruzione di una figura e sua definizione3
Costruzione di una figura e sua definizione

Passaggio dal procedimento di costruzione di una figura geometrica piana alla formulazione di una sua possibile definizione.

Disegnare un rettangolo in Geogebra.

Procedura di costruzione da comunicare al software

Insieme di proprietà disponibili all'allievo

costruzione di una figura e sua definizione4
Costruzione di una figura e sua definizione

Passaggio dal procedimento di costruzione di una figura geometrica piana alla formulazione di una sua possibile definizione.

Disegnare un rettangolo in Geogebra.

Procedura di costruzione da comunicare al software

  • Lati opposti uguali
  • Lati opposti paralleli
  • 4 angoli retti
  • Diagonali uguali
  • Diagonali si bisecano
costruzione di una figura e sua definizione5
Costruzione di una figura e sua definizione

Passaggio dal procedimento di costruzione di una figura geometrica piana alla formulazione di una sua possibile definizione.

Disegnare un rettangolo in Geogebra.

Procedura di costruzione da comunicare al software

Quali proprietà possono essere “tradotte” in comandi per il software?

  • Lati opposti uguali
  • Lati opposti paralleli
  • 4 angoli retti
  • Diagonali uguali
  • Diagonali si bisecano

Quali proprietà mi “garantiscono” un rettangolo?

costruzione di una figura e sua definizione6
Costruzione di una figura e sua definizione
  • Disegniamo un rettangolo in Geogebra avendo in mente la proprietà “il rettangolo è un quadrilatero con 4 angoli retti”:

A angolo retto

Segmento AB

Retta r per A perpendicolare ad AB

Retta s per B perpendicolare ad AB

Punto C su s

Retta t per C perpendicolare a BC

D punto di intersezione tra t e r

ABCD è percettivamente

un rettangolo

B angolo retto

Trascinando A, B o C, si osserva che ABCD resta percettivamente un rettangolo

C angolo retto

Definizione:

Chiamiamo rettangolo

qualsiasi quadrilatero con 3 angoli retti

costruzione di una figura e sua definizione7
Costruzione di una figura e sua definizione
  • Disegniamo un rettangolo in Geogebra avendo in mente la proprietà “il rettangolo è un quadrilatero con i lati opposti paralleli”:

AB e CD paralleli

Segmento AB

Punto C

Retta r per C parallela ad AB

Retta s per A parallella a BC

D punto di intersezione tra s e r

ABCD NON è un rettangolo

AC e BD paralleli

Trascinando A, B o C, si osserva che ABCD può essere un rettangolo ma non lo è sempre

il rettangolo è un quadrilatero con la proprietà dei avere i lati opposti paralleli, ma non è l'unico

costruzione di una figura e sua definizione8
Costruzione di una figura e sua definizione
  • Disegniamo un rettangolo in Geogebra avendo in mente la proprietà “il rettangolo è un quadrilatero con i lati opposti paralleli”:

La condizione “due coppie di lati paralleli” è necessaria ma non sufficiente.

Occorre “aggiungere” altre condizioni. Quali?

AB e CD paralleli

Segmento AB

Punto C

Retta r per C parallela ad AB

Retta s per A parallella a BC

D punto di intersezione tra s e r

ABCD NON è un rettangolo

AC e BD paralleli

Trascinando A, B o C, si osserva che ABCD può essere un rettangolo ma non lo è sempre

il rettangolo è un quadrilatero con la proprietà dei avere i lati opposti paralleli, ma non è l'unico

Il rettangolo è un particolare parallelogramma

in sintesi
In sintesi
  • Passaggio dal procedimento di costruzione di una figura geometrica piana alla formulazione di una sua possibile definizione.
  • Constatazione dell’esistenza di definizioni equivalenti di una stessa figura.
  • Constatazione della presenza di proprietà geometriche non imposte esplicitamente.
  • Inoltre...

Costruire un triangolo ABC, le altezze relative ai lati BC e AC e una retta passante per C e per il punto di intersezione, H, tra le due altezze. Cosa sai dire della retta CH appena tracciata? Trascina i punti base, cosa osservi della retta CH?

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Problemi aperti di congettura

Una consegna che pone una domanda senza rivelare o suggerire una risposta attesa, e che richiedeesplicitamente una congettura e la sua prova …

Dato un quadrilatero cosa si può dire del quadrilatero che ha come vertici i punti medi dei suoi lati?

Quale figura formano le bisettrici degli angoli di un parallelogramma?

Dato un quadrilatero, costruire i punti medi delle sue diagonali. Sotto quali condizioni sul quadrilatero i punti medi coincidono?

bibliografia
Bibliografia
  • A.A.V.V. (2001). Matematica 2001. La matematica per il cittadino. Attività didattiche e prove di verifica per un nuovo curricolo di matematica. MIUR, UMI, SIS, Liceo Scientifico Statale "A. Vallisneri", Lucca. http://www.umi-ciim.it/wp-content/uploads/2013/10/mat2001.zip
  • Boero, P.; Dapueto, C.; Ferrari, P.; Ferrero, E.; Garuti, R.; Lemut, E.; Parenti, L.; Scali, E. (1995). Alcuni aspetti del rapporto tra matematica e cultura nell'insegnamento-apprendimento della matematica nella scuola dell'obbligo, (traduzione italiana del report presentato al International conference "Psychology of Mathematics Education”, 1995). http://macosa.dima.unige.it/pub/pme/pmeit.htm
  • Boero, P. (1998/1999). Esperienze nella didattica della geometria. In: Geometria e multimedialità. Quinto corso MPI-UMI in didattica della matematica per docenti Istruzione Elementare. Ministero della Pubblica Istruzione.
  • Mariotti, M.A. (2005). La geometria in classe. Riflessioni sull’insegnamento e apprendimento della geometria. Pitagora Editrice, Bologna.
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