Baxter Permutations & Bipolar Plane Orientations - Combinatorial Structures and Bijections

ALEA 2008 Permutations de Baxter & Orientations bipolaires planes Nicolas Bonichon, Mireille Bousquet-Mélou & Eric Fusy

Permutations • Une permutation = (1)(2)…(n), est une bijection de [n] sur [n] • Le diagrammed’une permutation , est l’ensemble des points (i, (i)). • On note Sn l’ensemble des permutations de [n]. • Montée, descente, saillants …  = 5 3 4 9 7 8 10 6 1 2

Bn = Sn(25314, 41352) Motifs interdits : Permutation de Baxter[Glen Baxter 64]  est de Baxter ssi :

Orientation bipolaire plane Une orientation bipolaire plane est une carte planaire orientée : • Acyclique • 1 seule source et • 1 seul puits tous 2 sur la face externe. Prop 1 : Prop 2 : Une carte M admet une orientation bipolaire ssi M+(s,t) est 2-connexe. F: V:

Orientation bipolaire plane : applications Dessin de visibilité Dessins orthogonaux Structures transverses …

[Chung et al 79] [Mallows’79] Permutation Bijections [Cori, Dulucq, Viennot, Guibert, Gire] Arbres jumeaux Triplets de chemins de grand Dyck [Rodney Baxter’01] Bipolaires planes Bijections [Fusy, Poulalhon, Schaeffer’07] Triplets de chemins de grand Dyck [Fusy’07] Structures Transverses [Felsner, Fusy, Noy, Ordner’07] permutations. Enumération [MBM’03]

taille n  k descentes  l montées  i saillants sup gauche i’ saillants inf droite  jsaillants sup droite j’ saillants inf gauche  n arêtes k faces internes l+2 sommets Chemin gauche de longueur i Chemin droit de longueur i’ Puits de degréj Source de degré j’ Résultat principal Thm : Une bijection  qui envoie les permutations de Baxter sur les bipolaires :

 : Etape 1

 : Etape 2

Propriétés Lemme 1 : les sommets noirs sont de degré 2. Lemme 2 : Le dessin est planaire. Prop 1 :  est une application des permutations de Baxter vers les orientations bipolaires

Arbre de génération des Baxter • Bn+1 -> Bn : suppression de l’élément n+1. • Bn -> Bn+1 : ajout du n+1 • (a) avant le k-ème saillant sup. gauche • (b) après le k-ème saillant sup droit. • Lemme : l’arbre de génération des Baxter est isomorphe à l’arbre : • (1,1) • (i,j) -> {(k, j+1) : 1 <= k <= i} U {(i+1, k) : 1 <= k <= j} • Rq : Ces paramètres correspondent aux nombres de saillants supérieurs gauches et droits.

On+1 -> On Soit e=(t,v) l’arête la plus à droite du puits. (a) deg-(v) > 1 Supprimer e (b) deg-(v) = 1 Contracter e Arbre de génération des Bipolaires

On -> On+1 : (a) Ajouter une arête vers le k-ème sommet du bord gauche. (b) « déléguer les k premières arêtes » Arbre de génération des Bipolaires • Lemme : l’arbre de génération des bipolaires est isomorphe à l’arbre : • (1,1) • (i,j) -> {(t, j+1) : 1 <= t <= i} U {(i+1, t) : 1 <= t <= j}

 est bien une bijection. Arbres isomorphes  une bijection . Par récurrence sur n on montre que () =()

Symétrie selon la 1ère diagonale

Rotation de 90° et Dualité

Ty Tx -1

Remarque On retrouve l’algorithme de dessin de [di Battista et al. 92]

Treillis des orientations bipolaires • Thm[Ossona de Mendez 94] : l’ensembles des orientations bipolaires d’une carte a une structure de treillis distributif. La relation de couverture est la suivante : • Corollaire : les cartes 2-connexes sont en bijection avec les bipolaires sans LOP • Lemme : les cartes séries-parallèles sont en bijection avec les bipolaires sans LOP ni ROP. LOP ROP

Spécialisations de  • Lemme : • () contient un LOP   contient 41352 • () contient un ROP   contient 25314 • Rq : • Sn(25314,3142) = Sn(25314, 41352 , 41352) • Sn(2413,3142) = Sn(25314, 25314, 41352 , 41352) • Corollaire :  est une bijection de • Sn(25314,3142) vers les cartes 2-connexes à n+1 arêtes • Sn(2413,3142) vers les cartes séries-parallèles à n arêtes

Sn(25314,3142)  Orientations Min Cartes 2-connexes Spécialisations de    Baxter  Sn(2413) Sn(2413,3142) Baxter = = =   Sn(2413,3142) Sn(25314, 41352)     Orientation Min&Max Orientations bipolaires Cartes séries-parallèles [Dulucq Gire West 96] [Gire 93]

Perspectives • Permutations de Baxter alternantes 2n (2n+1) • Enumérées par Cn.Cn (Cn.Cn+1 )[Cori Dulucq Viennot’86] [Dulucq Guibert’98] • Permutations de Baxter doublement alternantes 2n (2n+1) • Enumérées par Cn[Guibert Linusson’00]

Travaux en cours • Orientations mono-source • Involutions de Baxter • Liens avec les cartes Eulériennes

Motif exclu contient le motif si le diagramme de  est obtenu à partir de celui de  en supprimant des lignes et des colonnes. On note Sn() l’ensemble des permutations qui excluent . Ex :  Sn()=213

Arbre de génération Un arbre de génération d’un ensemble E est un arbre tel que : • Chaque objet de En apparaît une fois au niveau n. • Les arêtes reliant les sommets de niveau n à ceux du niveau n+1 correspondent aux règles de génération permettant de construire les objets de En+1 à partir de ceux de En. • Ex : Chemins de Dyck : • En+1 -> En : suppression du dernier pic • En -> En+1 : ajout d’un pic dans la dernière descente. • L’arbre de génération des chemins de Dyck est isomorphe à l’arbre : • (0) • (p) -> (1), (2), …,(p), (p+1) • Rq : Ce paramètre correspond à la longueur de la dernière descente.

Motif barré. Ex : 25314 Une permutation barrée est une permutation avec un élément distingué. On note ’ la permutation sans l’élément barré. Ex :  = 25314 ’ = 2413 On dit qu’une permutation  contient le motif barré, s’il existe une occurrence de ’ qui ne soit pas une sous-occurrence de . Rq :  Sn(25314) ssi toute sous-suite 2413 de  est aussi une sous-suite de 25314.

Définition par factorisation : [Glen Baxter] Permutation de Baxter = Sn(25314, 41352)

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