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Técnicas de Modelagem e Controle de Conversores Estáticos

Técnicas de Modelagem e Controle de Conversores Estáticos. Prof.: Seleme I. Seleme Jr DELT - UFMG 12 a 15/10 de 2004 IV INDUSCON – Joinville - SC. Esboço do Curso. Objetivos do Mini-Curso Obtenção de modelos via Average Switching Modelling – ASM Obtenção dos modelos em Espaço de Estado

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Técnicas de Modelagem e Controle de Conversores Estáticos

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  1. Técnicas de Modelagem e Controle de Conversores Estáticos Prof.: Seleme I. Seleme Jr DELT - UFMG 12 a 15/10 de 2004 IV INDUSCON – Joinville - SC

  2. Esboço do Curso • Objetivos do Mini-Curso • Obtenção de modelos via Average Switching Modelling – ASM • Obtenção dos modelos em Espaço de Estado • Considerações sobre os Modelos • Técnicas de Controle • Controle Clássico • Controle Avançado • Conclusões

  3. Objetivos do Mini-Curso • Apresentação de metodologia de modelagem de conversores. • Obtenção e análise de alguns modelos em Espaço de Estado. • Apresentação de panorâmica de técnicas de controle de conversores. • Apresentação de metodologia de projeto de controladores de conversores.

  4. Obtenção de Modelos via Average Switching Modelling • Introdução • Eliminação de ripple de chaveamento • Supressão de harmônicos • O modelo CA do conversor no Espaço de Estados • O modelo vis-à-vis ao controle • Representação matemática dos fenômenos físicos • Modelo simplificado ou “a dinâmica que interessa” • Insight: “quando, onde e porque” • Exemplos

  5. Introdução(Definição de modelo CA) • Objetivos dos modelos • A inclusão da dinâmica dominante • Simplicidade, aproximação e precisão • Modelo orientado ao controle • O que é o Modelo CA ? • Aquele que prediz como variações de baixa freqüência na Razão Cíclica afetam a saída (variável a ser controlada). • Aquele que ignora ripple de chaveamento • Aquele que ignora harmônicos de chaveamento e suas dinâmicas (quando isto não afeta a sua precisão).

  6. O ripple de chaveamento

  7. Espectro da Tensão de Saída com Modulação Senoidal da Razão Cíclica

  8. Modelos CC (Steady-state) e modelo CA Conversor Buck e Filtro LC Tensão de saída em função de D Ripple e Tensão CC Ripple e Tensão CA Média Conversor Buck-Boost

  9. Introdução (Obtenção de modelos) • A técnica de obtenção dos Modelos CA • Eliminação dos harmônicos de chaveamento através da utilização das formas de onda médias em um período de chaveamento (ASM). • Utilização de modelos lineares (modelagem de pequenos sinais) das chaves estáticas operando em torno de um ponto quiescente. • O Modelo CA e os objetivos do controle • Controlar através da Razão Cíclica do conversor a forma de onda de tensão (corrente) de saída e/ou de entrada, seja ela CA ou CC, tal que ela siga a referência.

  10. Porque modelo médio (Averaged)? • A representação média de circuito para um conversor chaveado é útil para a análise, simulação e para se ganhar experiência sobre a operação do conversor. • É desejável que o circuito (médio) obtido seja o mais fiel possível do circuito chaveado que o gerou. • Wester e Middlebrook foram pioneiros na utilização da técnica de síntese de circuitos que eles chamaram de in place ou ainda, de método direto de obtenção de circuito médio. • Ainda mais interessante do que o modelo de circuito médio do conversor, é a sua descrição aproximada (pela média) no Espaço de Estados.

  11. A média num período Em regime permanente Modelo baseado na média para evitar ripple de chaveamento onde Obs.: as correntes e tensões médias são funções não lineares da Razão Cíclica

  12. A variação média da corrente do indutor (Buck – Boost) A variação média no capacitor (corrente e tensão) Avereging e a eliminação do ripple

  13. Exemplo de um conversor Buck CC-CC e seu regulador

  14. Considerações sobre o Modelo CA de um Conversor • A Hipótese fundamental é de que a variação CA (de correntes e tensões) é muito menor do que os valores quiescentes. • As Equações Diferenciais Não Lineares podem, portanto, ser linearizadas. • A linearização é feita desprezando-se os termos de segunda ordem e removendo a componente CC (que soma zero). • O resultado é um modelo linear que descreve a variação CA de pequenos sinais.

  15. Ponto quiescente, linearização e pequenos sinais Linearização em torno do ponto quiescente Conversor Buck-Boost Eqs. Diferenciais da média (não lineares) Ponto quiescente e perturbação

  16. Modelo linearizado de pequenos sinais (Buck-Boost) Equação de Perturbação do Indutor Desenvolvendo a expressão: Linearizando:

  17. Modelo linearizado de pequenos sinais (Buck-Boost) Equação de Perturbação do Capacitor Desenvolvendo a expressão: Linearizando:

  18. Não Linearidades do dispositivo e de harmônicos 1. Exemplo de dispositivo não linear (BJT): Modelo não linear Modelo linearizado 2. Não linearidades advindas de harmônicos: Os harmônicos presentes no conversor são responsáveis pelos termos ≥ 2a. ordem, que aparecem no modelo completo.

  19. O modelo médio no Espaço de Estados • Modelo formal, orientado a aplicações em controle. • Procedimento generalizado na obtenção dos modelos descritos por Equações Diferenciais Lineares Matriciais. • Os modelos de pequenos sinais pela média são sempre possíveis desde que se disponha das Eqs. de Estado do conversor original.

  20. Descrição de Sistemas no Espaço de Estados • Descrição canônica de sistemas dinâmicos por Sistemas de Equações Diferenciais de primeira ordem. • Em sistemas lineares, as derivadas das variáveis de estado podem ser expressas com combinação linear dos estados e das entradas. • As variáveis de estado são tipicamente de elementos armazenadores de energia: corrente em indutor tensão em capacitor, posição e velocidade de elementos móveis, etc.

  21. Equações de Estado Matriciais de um Sistema Linear Forma canônica matricial (sistema linear invariante no tempo) u(t)– variáveis de entrada (fontes independentes de tensão) x(t) – variáveis de estado Y(t) – variáveis de saída (variáveis a serem medidas e controladas) K – matriz contendo tipicamente valores de capacitância, indutância própria e mútua A, B, C e E – matrizes de constantes de proporcionalidade

  22. Exemplo com circuito elétrico Descrição do sistema: Variáveis de Estado Matriz K Vetor de entrada Variáveis de saída desejadas

  23. Exemplo (Eqs. do circuito) Obter iC1via equação nodal: Obter iC2via equação nodal: Obter iC3 via equação de malha:

  24. Exemplo (na forma matricial) As mesmas equações: Expressas na forma matricial:

  25. Exemplo (variáveis de saída) Expresse os elementos do vetor de saída y como combinação linear de x e u Em forma matricial: Como Eqs. isoladas:

  26. Modelo de Estados pela média (averaged) • Considere-se que o conversor esteja em condução contínua, alimentado via Modulação de Largura de Pulsos (PWM) • Existem dois estados e subintervalos associados ao conversor em cada intervalo de chaveamento. • Em cada subintervalo o conversor tem um comportamento contínuo, correspondente ao circuito elétrico que o representa e passível de descrição por Equações de Estado. • As Equações de Estado são lineares por se tratar de modelo linearizado de pequenos sinais. • As Equações de Estado pela Média (Averaged) são obtidas pela média das Matrizes de Estado dos 2 subintervalos.

  27. Durante subintervalo 1 As chaves estão em posição 1 e o conversor se reduz a um circuito passível de ser descrito por Eqs. de Estado Lineares: Durante subintervalo 2 As chaves estão em posição 2 e o conversor se reduz a um circuito passível de ser descrito por Eqs. de Estado Lineares: Equações de Estado pela Média - Hipóteses -

  28. Equações de Estado pela Média - Modelo CC - • SISTEMA EM EQUILÍBRIO (modelo CC) : Na hipótese das freqüências naturais do conversor e dasconstantes de tempo das suas variáveis de entrada serem bem menores do que a freqüência de chaveamento, o modelo médio do conversor em equilíbrio pode ser descrito por: As matrizes médias são dadas como: Os componentes (CC) em equilíbrio são: Vetor de estado (CC) Vetor de Entrada (CC) Vetor de Saída (CC) Razão Cíclica (CC)

  29. Equações de Estado pela Média - A solução média do sistema em equilíbrio - • A SOLUÇÃO DO SISTEMA EM EQUILÍBRIO: Tendo em vista as equações médias do sistema linear em equilíbrio, sua solução é: A solução para X e Y :

  30. Equações de Estado pela Média - Modelo CA de pequenos sinais (1) - • Algumas definições e explicações: Note-se que:

  31. Equações de Estado pela Média - Modelo CA de pequenos sinais (2) - • Dedução - Usando-se as definições apresentadas e os sistemas de equação que representam o sistema dos dois subintervalos, obtém-se:

  32. Equações de Estado pela Média - Modelo CA de pequenos sinais (3) - • Dedução (cont.) - 1a. ordem CA termos CC termos CA de 1a. ordem termos não lineares de 2a. ordem CC + 1a. ordem termos CC termos CA de 1a. ordem termos não lineares de 2a. ordem

  33. Equações de Estado pela Média - Modelo CA de pequenos sinais (4) - • Sempre que for possível descrever os circuitos do conversor nos dois subintervalos, é possível obter o modelo CA médio de pequenos sinais, que é um modelo aproximado, desprezando-se os termos de 2a. ordem. onde: perturbação de pequeno sinal (CA) no vetor de estado perturbação de pequeno sinal (CA) no vetor de entrada perturbação de pequeno sinal (CA) no vetor de saída perturbação de pequeno sinal (CA) na razão cíclica

  34. Equações de Estado pela Média - Modelo CA de pequenos sinais (5) - • Sendo que a matriz K é não singular e inversível, pode-se escrever as Equações de Estado na sua forma mais usual:

  35. Variáveis de estado Variáveis de saída Componentes de baixa freqüência das variáveis de estado e de saída (interpretação gráfica)

  36. Equações de Estado pela Média - Exemplo com Buck-Boost não ideal (1) - • Não idealidades do modelo: • Ron – resistência do MOSFET • conduzindo • VD – queda de tensão no diodo • com polarização direta Vetor de entrada Vetor de saída Vetor de Estados

  37. Equações de Estado pela Média - Exemplo com Buck-Boost não ideal (2) - Subintervalo 1 (DTs)

  38. Equações de Estado pela Média - Exemplo com Buck-Boost não ideal (3) - Subintervalo 2 (D’ Ts)

  39. Equações de Estado pela Média - Exemplo com Buck-Boost não ideal (4) - As matrizes médias de maneira similar:

  40. Equações de Estado pela Média - Exemplo com Buck-Boost não ideal (5) - As Eqs. de Estado CC A solução CC

  41. Exemplo com Buck-Boost não ideal (6) - O circuito equivalente CC - Eqs. de Estado CC : Circuito equivalente correspondente:

  42. Exemplo com Buck-Boost não ideal (7) - O circuito equivalente CA de pequenos sinais - Cálculo das matrizes no modelo de pequenos sinais: Eqs. de Estado CA de pequenos sinais:

  43. Modelagem do Modulador de Largura de Pulso (PWM) – 1 – • Os moduladores PWM convertem o sinal de referência de tensão, vc(t), na Razão Cíclica d(t).

  44. Modelagem do Modulador de Largura de Pulso (PWM) – 2 – • A Razão Cíclica é obtida pela comparação entre a onda dente de serra com a forma de onde analógica vc(t) que se deseja sintetizar.

  45. Modelagem do Modulador de Largura de Pulso (PWM) – 3 – • Os moduladores PWM também introduzem amostragem da forma de onda, embora a referência de tensão, vc(t), seja contínua no tempo. • Existe apenas um valor discreto da Razão Cíclica para cada período de chaveamento. • O PWM amostra a forma de onda de tensão com a freqüência de chaveamento.

  46. Modelagem do Modulador de Largura de Pulso (PWM) – 4 – • Alguns cuidados devem ser tomados com relação ao PWM: • Garantir que a banda passante do controlador seja suficientemente menor do que a freqüência de Nyquist que é fS / 2 . • Evitar que a tensão de referência, vs(t), contenhacomponentes harmônicos em torno da freqüência de chaveamento ou maiores. • Tais componentes harmônicos podem ser introduzidos via realimentação. • Variações de alta freqüência em vs(t) podem alterar o comportamento do PWM, de várias maneiras: • Aparecimento de off-set CC na tensão de saída (em inversores); • Flutuação do tempo de chaveamento com propagação de ruído; • O Fenômeno de aliasing; • Geração de harmônicos indesejáveis; • Ocorrem comportamentos não-lineares não previstos pelo modelo de pequenos sinais.

  47. Modelagem no Espaço de Estado quando de elementos (exceto chaves) não lineares • Veremos em seguida, um método alternativo para contemplar não linearidades no circuito como elementos resistivos não lineares e elementos capacitivos e reativos não lineares. • Tais não linearidades ocorrem com capacitores chaveados, resistores não lineares para descrever conversores operando em modo descontínuo, etc.

  48. Modelagem no Espaço de Estado (Alternativa) 1

  49. Modelagem no Espaço de Estado (Alternativa) 2

  50. Modelagem no Espaço de Estado (Alternativa) 3

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