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线性规划. 一、问题 求线性规划与非线性规划问题。. 二、实验目的 1 、学会由实际问题建立（非）线性规划模型； 2 、掌握用 Matlab 软件求解线性规划问题。. 三、预备知识 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支 ------ 数学规划。. 线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。线性规划（ Linear Programming ，简记为 LP ）是数学规划的一个重要分支。. s.t. （约束条件）. （ 2 ）.
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一、问题 求线性规划与非线性规划问题。 • 二、实验目的 1、学会由实际问题建立（非）线性规划模型； 2、掌握用Matlab软件求解线性规划问题。
三、预备知识 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支------数学规划。 线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。线性规划（Linear Programming，简记为LP）是数学规划的一个重要分支。
s.t.（约束条件） （2） • 例1：（生产计划问题）某机床厂生产甲、乙两种机床，每种机床的利润分别为4000元和3000元。生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各1小时。若每天可用于加工的机器小时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 解：上述问题可抽象成数学模型：设该厂生产x1台甲机床和x2台乙机床时总利润最大，则x1,x2应满足： （目标函数）max z=4000x1+3000x2 （1）
s.t. • 这里变量x1，x2称为决策变量，式（1）称为问题的目标函数，式（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.（即 subject to）。上述即为一规划问题数学模型的三个要素。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故称为线性规划问题。 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab中规定线性规划的标准形式为： 其中c 和x为n维列向量，b为m维列向量，A为 m*n 矩阵。
s.t. • 例如线性规划： s.t. 的Matlab标准型为：
线性规划模型的解法 • 一般线性规划问题的标准型为： min s.t.
Matlab 7.0解决的线性规划问题的标准形式为： min s.t. 为向量， 为矩阵。 其中 其他形式的线性规划问题都可经过适当变化为此标准形式。
在Matlab 7.0中，解线性规划问题的函数为linprog，其使用格式如下： 函数 linprog 格式 x=linprog(c,A,b) %求min c’*x s.t Ax<=b最优解； x=linprog(c,A,b,Aeq,beq) %若没有不等式约束，则A=[]，b=[]； x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %若没有等式约束，则Aeq=[]，beq=[]； x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %设置初始值x0； [x,fval]=linprog() %返回目标函数最优值。
非线性规划 • 如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来，解非线性规划比解线性规划问题困难得多。非线性规划目前还没有适用于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。
其中， 称为模型的决策变量， 称为目标函数， 和 称为不等式 称为约束条件， 称为等式约束， • 非线性规划问题（简记为NP），可概括为一般形式： min s.t. 约束。
由于线性规划的目标函数为线性函数，可行域为凸集，因而求出的最优解就是整个可行域上的全局最优解。非线性规划则不然，有时求出的某个解虽是一部分可行域上的极值点，但不一定是整个可行域上的全局最优解。由于线性规划的目标函数为线性函数，可行域为凸集，因而求出的最优解就是整个可行域上的全局最优解。非线性规划则不然，有时求出的某个解虽是一部分可行域上的极值点，但不一定是整个可行域上的全局最优解。 对于非线性规划模型，可以采用迭代方法求它的最优解。
非线性规划的Matlab解法 • Matlab中非线性规划的数学模型可以写成如下形式： min s.t. 其中， 是标量函数， 是相应维数的矩阵和向量， 是非线性向量函数。
函数 fmincon • 格式 x=fmincon(fun,x0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,nonlcon,options) 其中fun是用M文件定义的函数f(x)；x0是x的初始值；A，B，Aeq，Beq定义了线性约束A*X<=B，Aeq*X=Beq。如果没有等式约束，则A=[]，B=[]，Aeq=[]，Beq=[]；LB和UB是变量x的上界和下界。如果上界和下界没有约束，则LB=[]，UB=[]，如果x无下界，则LB=-inf，如果x无上界，则UB=inf；nonlcon是用M文件定义的非线性向量函数C(x)，Ceq(x)；options定义了优化参数，可以使用Matlab默认的参数设置。
例：求解下列非线性规划问题： 解：（1）编写M文件fun1.m function f=fun1(x) f=x(1)^2+x(2)^2+8;
M文件fun2.m function [g,h]=fun2(x) g=-x(1)^2+x(2); h=-x(1)-x(2)^2+2 (2) 在Matlab命令窗口输入： options=optimset; [x,y]=fmincon(‘fun1’,rand(2,1),[],[],[],[],zeros(2,1),[],… ’fun2’,options) 就可以求得当 x1=x2=1,y=10.
s.t. 其中， 为矩阵， 为向量。 二次规划的Matlab解法 • 若某非线性规划的目标函数为自变量x的二次函数，约束条件又全是线性的，就称这种规划为二次规划。二次规划也是非线性规划的一个重要特殊情形。 二次规划问题（quadratic programming ）的标准形式为：
解二次规划的Matlab命令为： 函数： quadprog 格式： x=quadprog(H,c,A,b) x=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq) x=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) %上述字符A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options与线性规划的意义相同。
min • 例：求解下列二次规划问题： 解：写成标准形式：
在Matlab窗口输入： H=[4,-1;-1,2]; c=[-4;-3]; A=[1,1;-1,3]; b=[4;3]; aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0]; vub=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,aeq,beq,vlb,vub) 运行结果： x=1.5000 1.5000 z=-6
练习1 （运输问题）：设有三个工厂A，B，C同时需要某种原料，需要量分别是17万吨，18万吨和15万吨。现有两厂X，Y分别有该原料23万吨，27万吨。每万吨运费如下表所示（单位：元） 问应如何调运才能使总运费最少？
![§1 线性规划 一、应用举例 例 1 ： [ 生产计划问题 ] 某车间计划安排生产 A 、 B 两种产品。它们都需要经过车、铣两个工段完成。已知有关数据如下表所示。](https://cdn2.slideserve.com/4278470/slide1-dt.jpg)
