* 第一节 线性规划问题及其数学模型 *第二节 线性规划问题的图解法 *第三节 单纯形法 * 第四节 线性规划的对偶问题 * 第五节 线性规划在卫生管理中的应用

1. 第二章线性规划 *第一节  线性规划问题及其数学模型 *第二节 线性规划问题的图解法 *第三节 单纯形法 *第四节 线性规划的对偶问题 *第五节 线性规划在卫生管理中的应用

2. a11 x1+ a12 x2+ … + a1n xn+ xn+1= b1 a21 x1+ a22 x2+ … + a2n xn + xn+2= b2 ... ... am1 x1+ am2 x2+ … + amn xn + xn+m= bm x1, x2 ...xn , xn+1, …, xn+m≥0 上次课内容复习 标准的线性规划模型不含有明显的单位基 ——人工变量法 引入人工变量 xn+i≥ 0，i = 1,…, m；

3. 上次课内容复习 大 M 法： 引入充分大正数M，改造目标函数 Max Z = c1 x1 + c2 x2 + cn xn -M xn+1 - … -M xn+m a11x1 + a12x2 + … + a1nxn + xn+1= b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn + xn+2= b2 . . . am1x1 + am2x2 + … + amnxn + xn+m= bm x1 ,x2 ，…，xn，xn+1 ，…，xn+m≥0

4. 注意 在用大法求解时，如果得到人工变量不为零的最优解，则说明原问题不可行，即原问题无解．另外，若极小比值相等，则人工变量先出基． 返回

5. *线性规划对偶问题的概念 线性规划的对偶单纯形法 线性规划的灵敏度分析 第四节 线性规划的对偶问题

6. 一、 线性规划对偶问题的概念 （一）对偶问题的提出 （二）对偶规划的形式 1. 对称形式的对偶问题 2. 非对称形式的对偶问题 3. 一般形式对偶问题 （三）对偶规划的基本性质 小结

7. （一）对偶问题的提出 线性规划 （研究资源最优利用） 在一定资源条件下 完成最多的任务 完成给定的任务 使用的资源最小 对偶性 任何一个求极大值的规划问题 必存在一个与其匹配的求极小值的规划问题 对偶性 原问题 对偶问题

8. 例1某医院营养科用糖、蛋白质和脂肪生产四种食品A、B、C、D,一个人每月各种营养成分的最低需求量、不同食品的营养成分含量及其单价如表1-8所示。问某人每月怎样购买这些食品，才能既满足营养要求，又可以花钱最少？例1某医院营养科用糖、蛋白质和脂肪生产四种食品A、B、C、D,一个人每月各种营养成分的最低需求量、不同食品的营养成分含量及其单价如表1-8所示。问某人每月怎样购买这些食品，才能既满足营养要求，又可以花钱最少？ 表1-8 食品营养成分含量及单价

9. 解：设某人每月购买食品A、B、C、D各为 x1、 x2、x3、x4 公斤，共花费 Z 元，于是它的 数学模型为：

10. 现在从另一个角度来讨论该问题。 例2假设营养科不安排生产食品A、B、C、D，而出售单一营养成分的糖、蛋白质和脂肪。仍用例1中的数据，问该营养科如何确定糖、蛋白质和脂肪的单价，才能在市场竟争中立于不败之地，并可获得利润最多？

11. 解：设糖、蛋白质和脂肪的单价分别为y1元/单位、解：设糖、蛋白质和脂肪的单价分别为y1元/单位、 y2 元/单位和y3 元/单位，某人每月购买单一营养 成分食品共花费 W元。 同理有： 2y1 + 2y2 + y3 ≤ 0.7 4y1 + y2 + 2y3 ≤ 0.9 2y1 + 4y2 + 5y3 ≤ 1.2 W = 60y1 + 40y2 + 35y3 达到最大值 以单一营养成分合成食品 A 单价不得超过1.5元/公斤，即 5y1 + 3y2 + 3y3 ≤ 1.5

12. 例1是例2的对偶问题 这里 y1，y2 和 y3 称为单一营养成分食品的影子价格，影子价格并不是单一营养成分食品的实际成本或价格，而是从生产活动的反面来分析问题，即从出售合成食品的收益来估计所利用的单一营养成分食品的价值。

13. 例1与例2互为对偶线性规划

14. 我们应用单纯形法求解例1和例2，将会发现原规划的最后单纯形表不仅给出了原规划的最优解，而且它的对应的检验行Cj-Zj也给出了对应的对偶规划的最优解（符号相反）。我们应用单纯形法求解例1和例2，将会发现原规划的最后单纯形表不仅给出了原规划的最优解，而且它的对应的检验行Cj-Zj也给出了对应的对偶规划的最优解（符号相反）。 所以两个规划问题，互相对偶时，只要解一个就够了。对偶规划的解，就是原规划中的影子价格，也就是资源的拥有者宁愿停止生产活动而将资源转让出去的最低价格。 返回

15. (二) 对偶规划的形式 对于一般的线性规划模型可以直接给出其对偶规划模型，并不需要像上面那样经过一番讨论。为此，我们需要分析原规划与对偶规划之间的关系。对偶规划的形式分为对称形式和非对称形式。 返回

16. 1. 对称形式的对偶问题 它的对偶规划 称具有下面形式的一对规划是对称形式的对偶规划： y1 ,y2 ,… ,ym称为对偶变量

17. 例1和例2中的一对规划就是对称形式的 系数 矩阵 互为 转置

18. Max，≤，变量皆非负 Min，≥ ，变量皆非负 约束条件 变 量 价值系数 右端常数 系数矩阵为 A A 转置矩阵 AT  一对对称形式的对偶问题的对应关系

19. 一对对称形式的对偶规划之间具有的对应关系 （1）若一个模型目标函数是求“极大”，约束条件为“小于等于”的不等式，则对偶模型的目标函数是求“极小”，约束是“大于等于”的不等式 ； 即 “Max，≤”⇔“Min， ≥” （2）若一个模型有n个变量， m个约束条件,则对偶模型有n个约束条件；m个变量； （3）一个模型目标函数中价值系数等于对偶模型中相应约束条件的右端常数；一个模型约束条件中的右端常数等于对偶模型目标函数中相应的价值系数； （4）若一个模型约束条件中的系数矩阵为 A，则对偶模型约束条件中的系数矩阵为A转置矩阵 AT； （5）两个规划模型中的变量皆非负。

20. 原变量 xj 对偶变量 y¡ 产品类别 资源类别 ≤ b1 ≤ b2 ≤ bm 资源价格 产品价值 \∨ \∨ \∨ Мin W Мax Z 表1-10 线性规划原问题与对偶问题间变换关系

21. y1 y2 y3 对偶变量 y1 y2 y3 例3求下列线性规划的对偶规划（书中例15）

22. x1 x2 x3 对偶变量 x1 x2 解：这两个模型都是对称形式的规划模型，它们的对偶规划分别为： 返回

23. 2. 非对称形式的对偶问题 一般称不具有对称形式的一对线性规划为非对称形式的对偶规划。 对于非对称形式的规划，可以按照下面的对应关系直接给出其对偶规划。 （1）将模型统一为“max，≤”或“min，≥” 的形式，对于其中的等式约束按下面（2）、（3）中的方法处理； （2）若原规划的某个约束条件为等式约束，则在对偶规划中与此约束对应的那个变量取值没有非负限制； 含有等式约束和变量无符号限制

24. 例如：设原规划中第一个约束为等式 （3）若原规划某个变量的值没有非负限制，则在对偶问题中与此变量对应的那个约束为等式。 a11x1+ … + a1nxn= b1 那么，这个等式与下面两个不等式等价 统一成≤

25. 对偶变量 这样，原规划模型可以写成

26. 这里，把 y1看作是 此时已转化为对称形式，直接写出对偶规划 于是 y1没有非负限制，即

27. a11x1+ … + a1nxn= b1

28. 例4写出下面线性规划的对偶规划模型

29. y1 y2 y3 y4 y5 对偶变量 解 先将约束条件变形为“≤”形式

30. x1 x2 x3 x4 对偶变量 再根据非对称形式的对应关系，直接写出对偶规划

31. 对偶变量 y1 y2 例5设有线性规划问题（书中例16） 试写出它的对偶问题。 解：对偶规划为：

32. 对偶变量 例6设有线性规划问题（书中例17） y1 y2 试写出它的对偶问题。 解：所求的对偶问题是： 返回

33. 3. 一般形式的对偶关系 对于一般形式的对偶问题,也可以不考虑对称形式的转化,而直接遵循如下对偶关系进行转化。 见下表所示 

34. 返回

35. 约束条件 变 量 Max，≤，变量皆非负 Min，≥ ，变量皆非负 价值系数 右端常数 系数矩阵为 A A 转置矩阵 AT 小 结  对偶问题的对应关系  对称形式的对偶问题

36. 等式约束 变量无符号限制 小 结  非对称形式 含有等式约束和变量无符号限制  非对称形式的对偶规划的对应关系  一般形式的对偶关系 见下表所示 

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38. 作 业 规划教材 P51 7