运筹学

1. 运筹学 线性规划与单纯形法

2. 运 筹 学 教师：赵玮 电话：

3. 引言 • 数学要求 • 课程的地位与作用 • 运筹学概要

5. 线性规划(LP) • 问题与建模 • 二维线性规划图解法 • 计算机解法 • 极小化下的求解与大M法 • 灵敏度分析 • 对偶规划 • LP求解步骤与OR软件包操 • 建模与案例分析

6. 线性规划(LP) • 问题与建模 • 二维线性规划图解法 • 计算机解法 • 极小化下的求解与大M法 • 灵敏度分析 • 对偶规划 • LP求解步骤与OR软件包操 • 建模与案例分析 • 例1、例2，基本概念 • 模型的基本化

7. 线性规划(LP) • 问题与建模 • 二维线性规划图解法 • 计算机解法 • 极小化下的求解与大M法 • 灵敏度分析 • 对偶规划 • LP求解步骤与OR软件包操 • 建模与案例分析 • 基本原理 • 图解法步骤 • 最优解的几种类型

8. 线性规划(LP) • 图解法的启示与求解思路 • 需待解决的理论问题 • 基本概念与基本理论 • 算法（单纯形法）与求解 • 退化与循环 • 问题与建模 • 二维线性规划图解法 • 计算机解法 • 极小化下的求解与大M法 • 灵敏度分析 • 对偶规划 • LP求解步骤与OR软件包操 • 建模与案例分析

9. 线性规划(LP) • 图解法的启示与求解思路 • 需待解决的理论问题 • 基本概念与基本理论 • 算法（单纯形法）与求解 • 退化与循环 • 问题与建模 • 二维线性规划图解法 • 计算机解法 • 极小化下的求解与大M法 • 灵敏度分析 • 对偶规划 • LP求解步骤与OR软件包操 • 建模与案例分析 • 三种元素算法的比较 • 单纯形法求解思路 • 最优解的搜索 • 迭代过程与检验数 • 迭代与基变换 • 单纯形表计算 • 单纯形表基变换的进一步认识

10. 线性规划(LP) • 问题与建模 • 二维线性规划图解法 • 计算机解法 • 极小化下的求解与大M法 • 灵敏度分析 • 对偶规划 • LP求解步骤与OR软件包操 • 建模与案例分析 • 图解法的灵敏度分析 • 计算机解法的灵敏度分析

11. 线性规划(LP) • 问题与建模 • 二维线性规划图解法 • 计算机解法 • 极小化下的求解与大M法 • 灵敏度分析 • 对偶规划 • LP求解步骤与OR软件包操 • 建模与案例分析 • 对偶规划及其经济含义 • 对偶规划基本理论 • 对偶单纯形法 • 算法比较 • 影子价格

12. 2. 线性整数规划 • 基本概念 • 定义 • 研究概况 • 分支定界法的理论与算法 • 基本思想 • 算法与判别准则

13. 线性规划 • 人力资源分配的问题 例1. 某昼夜服务的工交公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：

14. xi： 实际安排司乘人员数 设司机和乘务人员分别在各时间段一 开始时上班，并连续工作八小时，问该公 交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满 足工作需要，又配备最少司机和乘务员？ 解：设xi表示第i班次时开始上班的司 机和乘务人员数，这样可以知道在第i班 工作的人数应包括第i-1班次时开始上班的 人员数和第班次时开始上班的人员数，例 如有x1 +x2≥70。又要求这六个班次时开 始上班的所有人员最少，既要求x1 +x2 +x3+x4 +x5 +x6最小，这样建立如下的数 学模型：

15. 目标函数：min z = (x1 +x2 +x3+x4 +x5 +x6) 约束条件：

16. 生产计划决策 • 例2. 某工厂在计划内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A,B两种原材料的消耗，以及资源的限制，如下表所示。

17. 可以用x1和x2的线性函数形式来表示工 厂所要求的最大利润的目标： max z=50x1+100x2 其中max为最大化的符号（最小化符号为 min)；50和100分别为单位产品Ⅰ、Ⅱ的利 润。上式称为目标函数。同样也可以用x1和x2 的线性不等式来表示问题的一些约束条件。 对于台时数方面的限制可以表示为： x1+x2≤300. 同样，原材料的限量可以表示为 2x1+2x2≤400 x2≤250

18. 暂不考虑市场需求。该工厂每生产一单位 产品Ⅰ可获利50元，每生产一单位产品Ⅱ可获 利100元，问工厂应分别生产多少个Ⅰ产品和 Ⅱ产品才能使工厂获利最多？ 这个问题可以用以下的数学模型来加以描 述。工厂目前要决策的问题是生产多少个Ⅰ产 品和Ⅱ产品，把这个要决策的问题用变量x1、 x2来表示，则称x1和x2为决策变量，即决策变 量x1=生产Ⅰ产品的数量，决策变量x2 =生产Ⅱ 产品的数量。

19. 除了上述约束外，显然还应该有x1≥0， x2≥0， 因为Ⅰ产品、Ⅱ产品的产量是不能取负值的。综上 所述，就得到了例1的数学模型如下： 目标函数：max z=50x1+100x2 满足约束条件：

20. 问题与建模 • 模型：对真实系统的结构与行为用图、解析式或方程来描述的合称为模型。 • 预测模型 • 评价模型 • 优化模型 • 仿真模型

21. 例1. 生产计划决策 max z=50x1+100x2 xj生产产品j的数量

22. 例2. 人力资源分配问题决策 min z = (x1 +x2 +x3+x4 +x5 +x6) xj：第j个班次司乘人员数

23. LP四要素 • s.t ：subject约束条件 • z称为目标函数 • xj称为决策变量 • max或min成为优化准则 • LP def1： 若目标函数z为决策变量xj的线性函数，约束条件亦为决策变量xj的线性不等式（或等式），则该数学表达式（模型）称为线性规划。若目标与约束中至少有一为非线性时，则该模型称为非线性模型（NLP）。

24. 模型的标准化 • 标准化LP模型的特点 • 目标函数仅限与极大化（或极小化） • 所有约束条件均由等式表示 • 所有决策变量限于取非负值 • 每一约束不等式（或等式）之右端均为非负值

25. n：决策变量个数 m：约束方程个数

26. 模型的标准化 • 约束方程的标准化（增加变量个数换取求解难度）

28. 模型的标准化 • def2：满足所有约束条件的解x称为LP的可行解，使目标函数z取得最大（小）的可行解x*称为LP的最优解，此时对应的目标函数值z (x *)称为LP的最优值。 • 例1的解

29. 模型的标准化 • 例1 （标准化模型）

30. 模型的标准化 • 例2 （标准化模型）

31. 二维LP图解法 (利用解析式与平面区域对应关系求解) • 基本原理 • 图解法步骤 • 最优解的几种类型

32. 基本原理

33. 400 2x1+x2=400 300 x2=250 B(50,250) C(100,200) 200 D 100 x1+x2=300 0 100 200 300 • def3：满足LP中所有约束条件（不等式或等式约束）的点必在这些约束条件所对应区域所围成的公共区域D内，则称此公共区域D为LP的可行域。 • 例1

34. 当目标函数z取z1，z2，z3……时， 直线 有相同的斜率和不同的截距，这一族平行直线称为等值线族；目标函数按优化准则递增（或递减）的方向称为等值线族的法线方向。 • z=x1+x2=300称为等值线，因直线上的点（0，300），（300，0），（150，150），（100，200）等均具有相等的目标函数值300。

35. 图解法步骤 • 在平面x1ox2上求出LP的可行域 • 利用目标函数作等值线族 • 求出等值线的法线方向 • 等值线沿法线方向（max准则递增方向，min准则递减方向）移动，并使目标函数z到（max, min)时，其与可行域D相交之点即为最优解

36. 最优解的几种类型 • 唯一解 • 无穷多解 • 无界解 • 无最优解

37. 400 2x1+x2=400 300 x2=250 B(50,250) C(100,200) 200 D 100 x1+x2=300 0 100 300 200 例1. 唯一解 max z=50x1+100x2

38. 400 2x1+x2=400 300 x2=250 B(50,250) C(100,200) 200 D 100 x1+x2=300 0 100 300 200 例2.无穷多解 max z=50x1+50x2

39. x2 -3x1+2x2=6 3 D x1-x2=1 2 1 z3=3=x1+x2 0 3 x1 1 2 z1=1=x1+x2 z2=2=x1+x2 例3.无界解 max z=x1+x2

40. 400 2x1+x2=400 300 x2=250 B(50,250) C(100,200) 200 D2 D1 x1+x2=300 100 0 100 300 200 例4. 无最优解 max z=50x1+50x2 350

41. 计算机算法(图解法只对n≤3有效) • 图解法的启示与计算机求解思路 • 需待解决的理论问题 • 基本概念与理论 • 算法与求解 • 退化与循环

42. 图解法的启示与计算机求解思路 • 最优解 在可行域D内（或边界） • 最优解 在D的顶点或边界达到 • 求解思路设想：首先搜索D的顶点，然后通过顶点对应的目标值的比较来求解最优解

43. 图解法（n≤3） 计算机求解 ？ 寻找Ax=b,非基变量=0之解（基本解） 可行点（D内点） 寻找Ax=b, 非基变量=0， x≥0之解 （基本可行解） 顶点 目标函数值比较 寻找max z=Cx ，Ax=b ，x≥0之解（最优解）

44. def4：在 之LP中，若rank (A) = m<n， 则A（或对A作初等行变换）中必有m个线性武官的列向量，他们够成满秩矩阵B ( |B| ≠0 )，使有A=( B, N )（或( N, B )或其它），称B为A的一个基，此中N为A中除B外的子阵，相应的决策变量亦有x=( xB, xN )T，此中称xB中各分量为基变量， xN中各分量为非基变量，B中各列称为基向量，N中各列称为非基向量。 • 满足方程Ax=b，且取非基变量为0时的解称为LP基本解，满足非负条件（x ≥0）的基本解称为基本可行解，对应的基B称为可行基，满足 的解称为可行解。

45. 例1. 求A的基，基向量，非基向量，LP的基变量，非基变量，基本解，基本可行解，最优解，

47. 最优解 基本可行解 × 基本解 可行解 四种解的相互关系 基本解 def4 后述定理 最优解 基本可行解 def4 可行解 ? 为基本解，但非可行解（x ≥0） ? 为可行解，但非基本解xN = 0

48. 搜索算法思路 满足x≥0 基本解（在计算机上易于求得） 逐个比较 目标函数值 最优解 基本可行解

49. 需待解决的理论问题 • 什么条件下LP的可行域非空？可行域D有何特性？ （Th1) • 可行域D是否有顶点？顶点有多少个？顶点的数学含义？ （Th2) • 是否一定能保证最优解在顶点（D内）上达到？ （Th3)， 顶点是什么概念？ • 基本可行解是否存在？如何判断？ （Th4) • 基本可行解是否唯一对应D的一个顶点？ （Th5) • 如何求基本可行解？ （Th6)

50. 基本概念与理论 • def5：设D为Rn中一点集，若对 则称D为凸集。 • 几何意义：凸集D内的任两点联线上的点仍在D内（含边界） • def6：设D为Rn中一点集， 则称z为凸集D的顶点。 • 几何意义：凸集D的任何顶点都不可能在D内任两点的联线上。