Kepler's Packing Problem: Optimal Sphere Packing

1. Keplerov problem pakiranja kugli Karolina Brdar

2. Davne 1611.g. • problem nastao kao problem primjene, tj. vojni problem • Sir Walter Raleigh je tražio formulu za izračunavanje broja topničkih kugli u hrpi na palubi svog broda • njegov prijatelj, Thomass Harriot, dao mu je formulu, ali nije znao jesu li topničke kugle skupljene u hrpi na najučinkovitiji način • problem je predao • Kepleru • 1994. riješava ga Thomas • Hales sa Sveučilišta u • Michiganu

3. Što je problem? Kako upakirati jednake kugle na najučinkovitiji način? Tri načina rešetkastog pakiranja: • kubična rešetka • šesterokutna • rešetka • plošno centrirana • kubična rešetka Općenito, koji je od svih načina pakiranja najučinkovitiji?

4. Kepler je problem promatrao u obliku ispitivanja gustoće pakiranja: Vkugli / Vspremnika • ispitavši sva tri modela, zaključio je da je plošno centrirani razmještaj kugli (“FCC”) najbolji razmještaj “ Keplerova slutnja “ • kako je predmet interesa model pakiranja, problem je generaliziran definiranjem gustoće pakiranja kao lim gustoće pojedinačnih pakiranja volumen kutije → ∞

5. Keplerov teorem i njegov dokaz Teorem: Gustoća bilo kojeg pakiranja kugli je najviše π/ √18, što je upravo gustoća Keplerovog “FCC” pakiranja. Dokaz: • nikada nije dostigao opću slavu izvan matematike kao Fermatov posljednji teorem, koji je 1994.g. dokazao britanski matematičar Andrew Wiles 350 godina nakon što je postavljen • Keplerova slutnja pakiranja kugli je bila vrlo slična, tako što je apsurdno lako razumijeti problem, ali se činilo vraški teško riješiti ga

6. Povijesni prikaz dokaza • 19.st. Karl Friedrich Gauss uspjeva dokazati da je “FCC” najbolji od svih razmještaja • 1953.g. mađarski matematičar Laszlo • Fejes-Toth uspio reducirati problem na niz • proračuna koje uključuje mnogo • specifičnih slučajeva

7. Toth je radio particiju prostora = Voronoi dekompozicija • Voronoi stanica je skup točaka koje su bliže određenoj kugli već bilo kojoj drugoj u pakiranju • svaka stanica ima kuglu za jezgru • Voronoi stanica za “FCC” je dodekaedar čije su strane rombovi, a njegova gustoća iznosi π/ √18

8. 1990.g. Wu-Yi Hsiang sa Sveučilišta Berkleyu je izradio složen i tradicionalan dokaz Keplerove slutnje, za koji su nakon više mjeseci raspravljanja, većina matematičara odlučila da je netočan • 1994.g. Thomas Hales zajedno sa svojim diplomiranim studentom Samuelom Fergusonom, započinje rad na svojem programu u pet koraka • u rujnu 1998.g. stavio je cijeli dokaz na Internet (sastoji se od 250 stranica teksta i oko 3 gigabajta programa i podataka)

9. Primjena Keplerovog problema • jednostavno se proširuje na ostale dimenzije • analogan je problemu konstruiranja optimalnih kodova • pronalaženje i ispravljanje grešaka prilikom spremanja podataka i njihove kompresije • dokaz može pomoći fizičarima u razumjevanju strukture kristala

10. Literatura • Matematika i škola, 4/2000. • http://www.maa.org/devlin/devlin_9_98.html • http://plus.maths.org/issue3/xfile/index.html • http://www.uz.ac.zw/science/maths/zimaths/71/kepler.html