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概率论与数理统计讲义. 此幻灯片可在网址 http:://www.appmath.cn 上下载. 第 3 讲. 第三节 条件概率. 一 , 条件概率 对于人寿保险 , 保险公司关心的是参保人群在已经活到某个年龄的条件下在未来的一年内死亡的概率 ; 对于信号传输 , 人们往往关心的是在接收到某个信号的条件下再接收到的仍是该信号的概率有多大 , 等等 . 许多实际问题中 , 往往需要求在某事件 A 发生的条件下 , 事件 B 发生的概率.
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概率论与数理统计讲义 此幻灯片可在网址http:://www.appmath.cn上下载 第3讲
一, 条件概率对于人寿保险, 保险公司关心的是参保人群在已经活到某个年龄的条件下在未来的一年内死亡的概率; 对于信号传输, 人们往往关心的是在接收到某个信号的条件下再接收到的仍是该信号的概率有多大, 等等. 许多实际问题中, 往往需要求在某事件A发生的条件下, 事件B发生的概率.
一般地, 对于A,B两个事件, P(A)>0, 在事件A发生的条件下事件B发生的概率称为条件概率, 记为P(B|A).
例1一个家庭中有两个小孩, 已知其中一个是女孩, 问另一个也是女孩的概率是多少(假定男生女生是等可能的)?解 由题意, 样本空间为W={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}A表示事件"其中一个是女孩", B表示事件"两个都是女孩", 则有A={(男,女),(女,男),(女,女)} B={(女,女)}由于基本事件A已经发生, 所以这时试验的所有可能结果只有三种, 而事件B包含的基本事件只占其中的一种, 所以有P(B|A)=1/3.
样本空间W={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}A={(男,女),(女,男),(女,女)} B={(女,女)}
定义1设A,B是两个事件, 且P(A)>0, 称 为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率.
可以验证,条件概率P(|A)满足概率公理化定义中的三条公理, 即1 对每个事件B, 有P(B|A)0;2 P(W|A)=1;3 设B1,B2,是两两互不相容的事件, 则有
条件概率意味着样本空间的压缩 • 或者可以认为是基本事件的减少而导致的试验. 以事件A为条件的条件概率, 意味着在试验中将A提升为必然事件. W' W A A
从而概率所具有的性质和满足的关系式对条件概率仍适用. 例如:P(|A)=0; 等等.
对于条件概率,有控制论和信息论的两种观点 • 控制论的观点又分两种, 一种是通过控制来改变试验条件, 从而改变某事件的概率. • 例如. 在例1中将所有家庭中两个孩子且至少有一个女孩的那样的家庭抽出来，再在这样的家庭中任抽一个. • 另一种是在试验结果中将某事件C发生的结果保留, 将其它的试验结果剔除, 然后再统计某事件A发生的概率P(A|C)
而信息论的观点涉及到信息传递 • 这时候可以设置试验场地和信息中心两个地方, 在试验场地的试验员将试验的部分或者全部结果向信息中心的信息员报告. 信息中心 试验场所
根据具体情况, 可选用下列两种方法之一来计算条件概率P(B|A):(1) 在缩减后的样本空间WA中计算;(2) 在原来的样本空间W中, 直接由定义计算.
例2 一袋中有10个球, 其中3个黑球, 7个白球, 依次从袋中不放回取两球.(1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率;(2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率.
例2 一袋中有10个球, 其中3个黑球, 7个白球, 依次从袋中不放回取两球.(1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率;解 记Ai={第i次取到黑球} (i=1,2).
袋中10球, 3黑球, 7白球, 不放回取两球.(2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率. 所以
例3人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄段的人在下一年仍然存活的概率. 根据统计资料可知, 某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718, 存活到51岁的概率为0.90135. 问现在已经50岁的人, 能够活到51岁的概率是多少?
例3活到50岁的概率为0.90718, 活到51岁的概率为0.90135. 问现在已经50岁的人, 能够活到51岁的概率是多少?解 记A={活到50岁}, B={活到51岁}. 则BA. 因此, AB=B. 要求P(B|A).因为P(A)=0.90718, P(B)=0.90135, P(AB)=P(B)=0.90135, 从而 由此可知, 该城市的人在50岁到51岁之间死亡的概率约为0.00643. 在平均意义下, 该年龄段中每千个人中约有6.43人死亡.
二, 乘法公式利用条件概率的定义, 可直接得到下述乘法公式定理1(乘法公式) 设P(A)>0, 则有P(AB)=P(A)P(B|A). (4)一般地, 若A1,A2,,An是n(n2)个事件, 且P(A1A2An-1)>0, 则由归纳法可得:P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1) (5)乘法公式可用于求某些积事件的概率.
例4一袋中有a个白球和b个红球. 现依次不放回地从袋中取两球. 试求两次均取到白球的概率.解 记 Ai={第i次取到白球} (i=1,2),要求P(A1A2).显然因此
例5已知某厂家的一批产品共100件, 其中有5件废品. 为慎重起见, 某采购员对产品进行不放回的抽样检查, 如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品, 则他拒绝购买这一产品. 求采购员拒绝购买这批产品的概率.解 设 Ai={被抽查的第i件产品是废品}, i=1,2,3,4,5,A={采购员拒绝购买},则直接求P(A)较困难, 先求
三, 全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式例6某工厂的两个车间生产同型号的家用电器. 据以往的经验, 第1车间的次品率为0.15, 第2车间的次品率为0.12. 两个车间生产的成品混合堆放在一个仓库里且无区分标志, 假设第1,2车间生产的成品比例为2:3.(1) 在仓库中随机地取一件成品, 求它是次品的概率;(2) 在仓库中随机地取一只成品, 若已知取到的是次品, 问此次品分别是由第1,2车间生产的概率为多少?
解(1) 记A={从仓库中随机地取出的一台是次品} Bi={取出的一台是第i车间生产的} (i=1,2).则已知 P(B1)=2/5, P(B2)=3/5,P(A|B1)=0.15, P(A|B2)=0.12因为 W=B1B2, B1B2=, (7)从而 A=AB1AB2, (AB1)(AB2)=, (8)于是
(2) 记A={从仓库中随机地取出的一台是次品} Bi={取出的一台是第i车间生产的} (i=1,2).则已知 P(B1)=2/5, P(B2)=3/5,P(A|B1)=0.15, P(A|B2)=0.12, 前面已求出P(A)=0.132, 则
分析例6的解题过程, 分解式(7)和(8)起到关键作用. W=B1B2, B1B2=, (7)A=AB1AB2, (AB1)(AB2)=, (8)若将事件A看作是结果, 而事件B1,B2看作是产生结果A的两个可能的原因, 那么(7)和(8)正好给出了结果和原因的一种联系方式.
定义2设W为试验E的样本空间, B1,B2,,Bn为E的一组事件, 若(i) BiBj=, ij, i,j=1,2,,n,(ii) B1B2Bn=W,则称B1,B2,,Bn为样本空间W的一个划分.显然, 若B1,B2,,Bn为样本空间W的一个划分, 则对E的任何一个事件A, 有A=AB1AB2ABn, (ABi)(ABj)=, (12)其中ij, i,j=1,2,,n.(12)式也可以看作是"结果"和"可能原因"之间的一种联系方式.
例6中的(1)的求解, 可以看作是已知所有可能"原因"发生的概率, 求"结果"发生的概率, 我们把这一类问题称为所谓的全概率问题, 那么利用(12)式及概率的有限可加性及乘法定理, 就可得到如下的一般情形的全概率公式.
定理2(全概率公式) 设试验E的样本空间为W, A为E的事件, B1,B2,,Bn是W的一个划分, 且P(Bi)>0, (i=1,2,,n). 则
全概率定理解题的思路 • 用全概率定理来解题的思路, 从试验的角度考虑问题, 一定是将试验分为两步做, 将第一步试验的各个结果分为一些完备事件组B1, B2,…,Bn, 然后在这每一事件下计算或给出某个事件A发生的条件概率, 最后用全概率公式综合 B1 试 验 2 试 验 1 B2 A … Bn
贝叶斯定理解题的思路 • 贝叶斯定理解题的题型与全概率定理的题型完全一样, 只是要求的是一个条件概率, 是在信息论中的重要公式, 即在二次试验后, 观察者只能看到最后的结果事件A, 却要根据A来推断第一步试验的哪个事件发生了的条件概率 B1 试 验 1 试 验 2 B2 观察者 A … Bn
例6中问题(2)的求解是与问题(1)的求解的一个相反的问题, 它是由"结果"来推断"原因". 也就是说, 已经观察到一个事件已经发生, 再来研究事件发生的各种原因, 情况或途径的可能性的大小. 通常称这一类问题为逆概率问题. 逆概率问题可以从另外一个角度加以解释. 如在例6中, P(Bi) (i=1,2)是根据以往的经验或数据分析得到的, 叫做先验概率, 而在得到信息(即已知从仓库中随机抽取的一台是次品)之后, 计算出的P(Bi|A) (i=1,2)叫做后验概率. 它是在有了试验结果后, 对先验概率的一种校正.
定理3(贝叶斯(Bayes)公式) 设试验E的样本空间为W, A为E的事件, B1,B2,,Bn是W的一个划分, 且P(A)>0, P(Bi)>0(i=1,2,,n), 则
例7假设在某时期内影响股票价格变化的因素只有银行存款利率的变化. 经分析, 该时期内利率不会上调, 利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%. 根据经验, 在利率下调时某支股票上涨的概率为80%, 在利率不变时, 这支股票上涨的概率为40%. 求这支股票上涨的概率.
例7利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%. 在利率下调时某支股票上涨的概率为80%, 在利率不变时, 这支股票上涨的概率为40%. 求这支股票上涨的概率.解 设B1,B2分别表示"利率下调"和"利率不变"这两个事件, A表示"该支股票上涨", B1,B2是导致A发生的原因, 且B1B2=W, B1B2=,故由全概率公式,P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2) =60%80%+40%40%=64%
例8由医学统计数据分析可知, 人群中患由某种病菌引起的疾病的人数占总人数的0.5%. 一种血液化验以95%的概率将患有此疾病的人检查出呈阳性, 但也以1%的概率误将不患此疾病的人检验出呈阳性. 现设某人检查出呈阳性反应, 问他患有此疾病的概率是多少?
例8患病人数占总人数0.5%. 血液化验以95%的概率将患有此疾病的人检查出呈阳性, 但也以1%的概率误将不患此疾病的人检验出呈阳性. 现设某人检查出呈阳性反应, 问他患有此疾病的概率是多少?解 记 A={检验呈阳性}, B1={被检验者患此疾病}B2={被检验者不患此疾病}显然 B1B2=W, B1B2=,且已知 P(B1)=0.005, P(B2)=0.995,P(A|B1)=0.95, P(A|B2)=0.01,
现设某人检查出呈阳性反应, 问他患有此疾病的概率是多少?解 记 A={检验呈阳性}, B1={被检验者患此疾病}B2={被检验者不患此疾病}显然 B1B2=W, B1B2=,且已知 P(B1)=0.005, P(B2)=0.995,P(A|B1)=0.95, P(A|B2)=0.01,由贝叶斯公式可得
例9玻璃杯成箱出售, 每箱20只, 假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应地为0.8,0.1和0.1. 一顾客欲买一箱玻璃杯, 在购买时, 顾客随机地查看4只,若无残次品, 则买下该箱玻璃杯, 否则退回. 试求:(1) 顾客买下该箱玻璃杯的概率a;(2) 在顾客买下的一箱玻璃杯中, 确实没有残次品的概率b.
例9每箱20只, 假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应地为0.8,0.1和0.1. 顾客随机地查看4只,若无残次品, 则买下该箱玻璃杯. 试求:(1) 顾客买下该箱玻璃杯的概率a;(2) 买下的一箱玻璃杯中没有残次品的概率b.解 记 A={顾客买下该箱玻璃杯},Bi={箱中恰有i件残次品} (i=0,1,2).显然, B0,B1,B2为W的一个划分. 由题意,P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1,
(1) 顾客买下该箱玻璃杯的概率a;解 记 A={顾客买下该箱玻璃杯},Bi={箱中恰有i件残次品} (i=0,1,2).显然, B0,B1,B2为W的一个划分. 由题意,P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1, (1) 由全概率公式
(2) 买下的一箱玻璃杯中没有残次品的概率b.解 记 A={顾客买下该箱玻璃杯},Bi={箱中恰有i件残次品} (i=0,1,2).显然, B0,B1,B2为W的一个划分. 由题意,P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1, (2) 由贝叶斯公式
用excel来解题习题1-3第10题某产品主要由三个厂家供货。甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的15%,80%,5%, 其次品率分别为0.02, 0.01, 0.03。试计算(1) 从这批产品中任取一件是不合格品的概率；(2) 已知从这批产品中随机地取出的一件是不合格品，问这件产品由哪个厂家生产的可能性最大？
解：在excel中建立表格，假设A1,A2,A3为取出的产品由甲、乙、丙厂家生产，因此P(A1)=0.15, P(A2)=0.8, P(A3)=0.05,假设B为取出的产品为次品，则P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,P(B|A3)=0.03。建立excel表格为
在b3单元格键入“=b1*b2”后按Ctrl-Enter键得下图：在b3单元格键入“=b1*b2”后按Ctrl-Enter键得下图： 单击黑点向右拖两格
然后在a4单元格键入行标题“P(Ai|B)”并在b4单元格键入“b3/$b5”,然后在a4单元格键入行标题“P(Ai|B)”并在b4单元格键入“b3/$b5”, 向右拖动两格
