De Weibull verdeling

1. De Weibull verdeling • Weibull: • Waloddi Weibull (1887-1979) • A Statistical Distribution Function of Wide Applicability • Journal of Applied Mechanics (1951) • '' ... may sometimes render good service'' • '' ... test it empirically and stick to it as long as none better has been found'' weibull verdeling.ppt

2. Voorbeelden • Verdeling van: • Levensduren • De tijd tot ... • Gebruiksduur consumentenproduct tot vervanging door nieuw • Temperatuur spoelwater • Veel andere variabelen ( >0 ) • Kansmodel bruikbaar: • In bovenstaande gevallen • Bij waarnemingen in de vorm 'is groter dan' • Als het model past weibull verdeling.ppt

3. Levensduur verdeling • Uitvalkans F(t) = P(xt) • x = tijd tot de 1e fout • Overlevingskans R(t) = P(x>t) weibull verdeling.ppt

4. -(t/) F(t)= 1- e Weibull verdelingen • 2-parameters  = karakterstieke levensduur  = vormgetal •  =1 : Negatief exponentiële verdeling •  =2 : Rayleigh verdeling • 3 <  < 3.6 : lijkt op Normale verdeling •  =3.6 : gemiddelde is gelijk aan Mediaan weibull verdeling.ppt

5. Maximum Likelihood schattingen  en  Parameters schatten • 2-parameter Weibull verdeling W(,) • Grafische schattingen graf en graf • de beste (statistische) eigenschappen • basis voor betrouwbaarheidsuitspraken • computerprogramma nodig: weibull-2par.xls • Kleinste kwadraten schattingen ' en ' • d.m.v. regressie van log t op loglog(1/F(t)) • minder goed dan bovenstaande weibull verdeling.ppt

6. Weibull verdeeld? • Probability plot • waarschijnlijkheidspapier • cumulatieve verdeling uitzetten tegen de variabele • voor elke kansverdeling mogelijk • meerdere mogelijkheden • Weibull verdeling • Normale verdeling • rechte lijn? weibull verdeling.ppt

7. i (i-0.3) 1 517 1 x100% (n+0.4) 2 182 2 3 297 3 4 519 4 5 319 5 6 263 6 7 730 7 8 418 8 9 244 9 n=9 trekkingen uit W(,) nr ti F(ti) = nr t 2 182 7.4% 9 244 18.1 6 263 28.7 3 297 39.4 5 319 50.0 8 418 60.6 1 517 71.3 4 519 81.9 7 730 92.6 weibull verdeling.ppt

8. (i-0.3) x 100% (n+0.4) Weibull probability plot (1) • vertikaal: kans • horizontaal: variabele t 1e punt: t=182, F(t)=7.4% • rechte lijn? weibull verdeling.ppt

9. -(t/) F(t)= 1- e Weibull probability plot (2) t = tijd tot fout F(t) = P[ t < t ] graf = 450 graf = 2.4 Onder de 100: F(100) = 1 - exp[-(100/450)2.4] = 0.027 weibull verdeling.ppt

10. ( 1 + n – rangnummer vorige uitvaltijd )  r = ( 1 + aantal units na schorsing nog in test ) Voortgezette schorsingen (1) - 5 uitvallers { 1059, 1093, 1531, 2415, 3042 } - 3 schorsingen { 763, 1161, 2269 } • n=8 units in levensduurtest F(ti) = weibull verdeling.ppt

11. Voortgezette schorsingen (2) • n=8 • 5 uitvallers, • dus 5 punten graf = 2390 graf = 2.4 weibull verdeling.ppt

12. label f cum i F(t) koud lauw handwarm warm heet 2 5 5 2 7 2 7 12 14 21 1.5 5.0 10.0 13.5 18.0 5.6 22.0 45.3 61.7 82.7 (i-0.3) F(t) = x 100% (n+0.4) Plot van frequentieverdeling • temperatuur spoelwater t 12 25 38 50 65 i = gem. rangnummer weibull verdeling.ppt

13. -(t/) F(t)= 1- e Temperatuur Spoelwater (Weibull) t = temperatuur spoelwater graf = 50 graf = 2.0 Evt. normale verdeling: zie volgende blad weibull verdeling.ppt

14. t = 42.6 0 20 40 60 80 100 Temperatuur spoelwater (normaal) • graf= 43 • graf = (64-22)/2 = 21.0 Uit frequentieverdeling: • f.t = 894 f.t2 = 45208 s = 18.91 weibull verdeling.ppt