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  1. CT57 (année scolaire 2001/2002) RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX Contraintes - Déformations Dimensionnement de structures simples JM CHATEL

  2. Résistance des matériaux 1 - Les états limites 2 - Loi de comportement de l ’acier 3 - Dimensionnement d ’une barre soumise à de la traction 4 - Dimensionnement d ’une barre soumise à de la compression 5 - Dimensionnement d ’une poutre soumise à de la flexion simple 6 - Dimensionnement d ’une poutre soumise à de la flexion déviée 7 - Dimensionnement d ’une poutre soumise à de la flexion composée 8 - Équation de la déformée - Théorie du flambement

  3. 1 - ÉTATS LIMITES 1.1 Convention de notation Les charges fixes (permanentes) seront désignées par la lettre : G (charge répartie en kN/m²) g (charge linéïque en kN/ml) Les charges variables seront désignées par la lettre : Q (charge répartie en kN/m²) q (charge linéïque en kN/ml)

  4. 1 - ÉTATS LIMITES 1.2 État limite ultime (ELU ) CAPACITÉ RÉSISTANTE > EFFORTS INTERNES Majoration des charges Combinaison (ELU) : Il met en cause la sécurité des personnes (limite avant rupture de la structure) Pu = 1,35 . G + 1,5 . Q pu = 1,35 . g + 1,5 . q

  5. 1 - ÉTATS LIMITES 1.3 État limite de service (ELS ) Combinaison (ELS) : Il est lié aux conditions normales d ’exploitation et de durabilité (limite avant arrêt d ’exploitation) Exemple : limitation de la flèche prise par une poutre supportant un pont roulant Pserv = G + Q pserv = g + q

  6. 2 - LOI DE COMPORTEMENT DE L ’ACIER L ’essai de traction (1/3) Surface : A=.R² L F F [MN/m² = MPa] [MN] L L [m²] = F / A (appelée contrainte) = L / L (allongement relatif ou déformation relative) [exprimé eno/oo] [m] [m] La loi de comportement de l ’acier est obtenue par la réalisation d ’un essai de traction sur une éprouvette cylindrique. Au cours de cet essai, il est possible de définir deux grandeurs :

  7. 2 - LOI DE COMPORTEMENT DE L ’ACIER L ’essai de traction (2/3)  en MPA C A B Allongements proportionnels aux efforts appliqués D E  en o\OO O  = E .  E(pente de la droite)module d ’YOUNG pour de l ’acier courantE =210 000 MPa [MPa] [MPa] [o/oo] Tronçon OA : Phase élastique linéaire

  8. 2 - LOI DE COMPORTEMENT DE L ’ACIER L ’essai de traction (3/3)  en MPA C A B e D Allongement sous effort constant E Déformation permanente Relâchement de l ’effort  en o\OO O Déformation permanente e=240 MPa(contrainte limite élastiquepour des aciers courants) Tronçon AB : Palier plastique Le domaine élastique linéaire est délimité par :

  9. 3 -DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA TRACTION (1/3) Nu Mise en évidence d ’une contrainte uniforme : Répartition uniforme de l ’effort sur toute la surface x  = Nu / A Coupe fictive Nu Pondéré ELU Remarque : L ’effort Nu à considérer, correspond à l ’effort normal déterminé à l ’endroit de la coupure.

  10. 3 -DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA TRACTION Équation d ’équarrissage (2/3) Nu  = Nu / A e(traction) x Nu Le matériau devant travailler dans son domaine élastique, le dimensionnement consistera donc à adapter la section de la pièce de façon à ce que : Remarque : Par convention, nous considérerons que les contraintes de traction seront négatives (harmonisation avec le béton armé)

  11. 3 -DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA TRACTION Exemple - Dimensionnement d ’un tirant (3/3) P C La barre B-C est en traction B A La barre B-C sera en acier courant : E = 210 000 Mpa e= 240 MPa Données complémentaires : Effort normal maximum Numax = 0,2 MN(20 tonnes) Question : Dimensionner la barre B-C

  12. 4-DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA COMPRESSION 4.0 - Remarque préliminaire En faisant subir à une éprouvette d ’acier un effort croissant de compression, nous obtenons une courbe inverse à celle observée avec l ’essai de traction (sans tenir compte des problèmes de flambement). TRACTION e (traction) E  en o\OO E e (compression) COMPRESSION  en MPA e (compression)= e (traction) = 240 ou 360 MPa (aciers classiques en CM)

  13. 4-DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA COMPRESSION 4.1 - Principales étapes Pour des éléments de structure soumis à de la compression (Nu0, Mu=0 et Vu=0), il y a lieu de mener deux calculs : 1 - Dimensionnement fonction de la contrainte limite (en adoptant les coefficients de majoration sur les charges définies aux ELU). 2 - Vérification au flambement (en adoptant les coefficients de majoration sur les charges définies aux ELU).

  14. 4-DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA COMPRESSION 4.2 - Dimensionnement à la contrainte limite  = Nu / A e(compression) Démarche identique à celle suivie dans le cas de la traction (au signe prêt travailler en valeur absolue)

  15. 4-DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA COMPRESSION 4.3 - Vérification au flambement (1/2) ² . E . Imini = Nu < Nk ² . E . A (Lf)² avec Nk = (maxi)² E : module d ’YOUNG (Mpa) A : surface de la pièce (m²) maxi : élancement mécanique maximum (sans dimension) avec L ’effort normal (N) doit être inférieur à l ’effort normal critique défini par EULER, à savoir :

  16. 4-DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA COMPRESSION 4.3 - Vérification au flambement (2/2) longueur de flambement(fonction des conditions aux appuis) Lf maxi= i mini Imini A Lo : longueur libre Lo Lo Lo Lo Lf = Lo Lf = 0,7 Lo Lf = 0,5 Lo Lf = 2 Lo Élancement mécanique : Rayon de giration minimum = Longueur de flambement :

  17. 4-DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA COMPRESSION 4.4 - Exemple Données complémentaires : Effort normal maximum Numax = 0,2 MN(20 tonnes) P La barre B-C sera en acier courant : E = 210 000 Mpa e= 240 MPa B A h = 4,00 m C Questions : 1 - Dimensionner à la contrainte limite la barre B-C 2 - Vérifier au flambement l ’élément calculé 3 - Proposer un autre choix de profilé si le premier n ’est pas satisfaisant

  18. 5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE 5.1 - Principales étapes Pour des éléments de structure soumis à de la flexion simple (Nu= 0, Mu  0, Vu  0, Nserv= 0, Mserv  0 et Vserv  0), il y a lieu de mener deux calculs : 1 - Dimensionnement fonction de la contrainte limite (en adoptant les coefficients de majoration sur les charges définies aux ELU). 2 - Vérification des flèches limites (aux ELS c ’est à dire sans majoration des charges).

  19. 5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE 5.2 - Dimensionnement à la contrainte limite aux ELU (1/4) (Pour les zones tendues) min(traction) e(traction) max(compression) e(compression) (Pour les zones comprimées) La première étape consiste donc à connaître : - la min(traction) -la max(compression) Le principe de vérification est toujours le même, à savoir :

  20. 5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE 5.2 - Dimensionnement à la contrainte limite aux ELU (2/4) Nu Nu Coupure fictive Répartition uniforme des contraintes  = Nu / A Rappel :Répartition des contraintes dans une section droite soumise à un effort normal de compression Les sections droites se « rapprochent », la déformation ()est identique quelque soit le point considéré de la section.

  21. 5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE 5.2 - Dimensionnement à la contrainte limite aux ELU (3/4) P Coupure fictive Répartition bi-triangulaire des contraintes Répartition des contraintes dans uns section droite soumise à de la flexion simple (Mu 0, Vu  0 et N = 0) : Les sections droites « pivotent », la déformation ()varie linéairement dans le sens de la hauteur de la poutre.

  22. 5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE 5.2 - Dimensionnement à la contrainte limite aux ELU (4/4) Mu (z) = . z y ’y z zmin= - h/2 zmax= h/2 > 0 En compression h Mu Mu y ’ max = min = y . zmax . zmin y ’y y ’y < 0 En traction z ’ Répartition des contraintes dans uns section droite soumise à de la flexion simple (Mu 0, Vu  0 et N = 0) : Par définition, la contrainte existante pour la fibre d ’altitude z est égale à :

  23. 5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE 5.3 - Vérification des flèches limites aux ELS Permet de s ’assurer que le bâtiment pourra être utilisé sans problème dans le cas d ’un chargement habituel (sans pondération des charges). f < f f : flèches calculées aux ELS en utilisant les formules de la RDM f : flèches admissibles définies par la réglementation La vérification de la structure étudiée vis à vis de la flèche est une étape primordiale. Condition à vérifier :

  24. 5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE 5.4 - Exemple d ’application Schéma mécanique : 2/3 L q = 100 daN/m g = 20 daN/m B A F = 100 daN 3 - Calculer la flèche maximum au point B et la comparer avec la flèche limite ( f = L/200) L = 3,00 m Étude d ’une poutre console supportant un auvent de gare : Questions : 1 - Calculer le moment fléchissant et l ’effort tranchant maxi en A 2 - Dimensionner aux ELU la poutre A-B (contrainte limite = 240 Mpa) 4 - Proposer un nouveau profilé si cela est nécessaire

  25. 6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE 6.1 - Définition(1/2) La poutre est chargée suivant deux directions z z pz py pZ x y py Coupe verticale de la poutre Flexion déviée

  26. 6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE 6.1 - Définition(2/2) z z pz py pZ x Flèche suivant l ’axe z Moment fléchissant My (mobilise l ’inertie Iy) Répartition bi-triangulaire des contraintes dans le sens de la hauteur de la poutre y py Compression Flèche suivant l ’axe y Moment fléchissant Mz (mobilise l ’inertie Iz) Répartition bi-triangulaire des contraintes dans le sens de la largeur de la poutre Traction Charge pz Charge py

  27. 6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE 6.2 - Principales étapes du dimensionnement ou de la vérification(1/2) z z z Fibre étant la plus sollicitée en compression pz Compression Traction y y y py Fibre étant la plus sollicitée en traction Compression Traction Composition des diagrammes de contraintes :

  28. 6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE 6.2 - Principales étapes du dimensionnement ou de la vérification(2/2) 1 - Dimensionnement ou vérification fonction de la contrainte limite (en adoptant les coefficients de majoration sur les charges définies aux ELU). 2 - Dimensionnement ou vérification en fonction des flèches limites (aux ELS c ’est à dire sans majoration des charges). Le principe de dimensionnement est le même que celui adopté dans le cas de la flexion simple. La difficulté réside dans le fait qu ’il faut raisonner dans les deux directions y et z du profilé (N= 0, My  0, Vy  0, Mz  0 et Vz  0).

  29. 6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE 6.3 - Dimensionnement ou vérification à la contrainte limite aux ELU (1/2) min(traction) =max(compression) < e Muy Muz max = . zmax . ymax z + Compression y  z pz Muy Muz max = max < e + y Wy Wz py Traction Soit Cas particulier :Section possédant deux axes de symétrie Cette condition se traduit de la façon suivante : Rappel : Wy et Wz correspondent aux modules d ’inertie de la section considérée ( Wy = Iy / | zmax | et Wz = Iz / | ymax | )

  30. 6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE 6.3 - Dimensionnement ou vérification à la contrainte limite aux ELU(2/2) < e Muy Muz + Wy Wz Remarque : 1 - Les grandeurs Wy et Wz étant indépendantes mathématiquement l ’une de l ’autre, le dimensionnement du profilé passe obligatoirement par une phase itérative (sauf cas particuliers). 2 - Si les caractéristiques Wy et Wz du profilé sont connues (dimensionnement préalable fonction de la flèche limite), la vérification à la contrainte est immédiate.

  31. 6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE 6.4 - Vérification ou dimensionnement fonction des flèches limites aux ELS(1/2) Permet de s ’assurer que le bâtiment pourra être utilisé sans problème dans le cas d ’un chargement habituel (sans pondération des charges). ftotale < f z p pz avec f totale = fy² + fz² py y fy fz ftotale Cette étape est dans la majorité des cas la plus contraignante Condition à vérifier : Les valeurs fy et fz étant obtenues à partir des formulations RdM

  32. 6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE 6.4 - Vérification ou dimensionnement fonction des flèches limites aux ELS(2/2) Déformations maximum des éléments fléchis : (poutres de chemins de roulement misent à part)

  33. 6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE 6.5 - Exemple (dimensionnement d ’une panne) Acier : E = 210 000 Mpa e = 240 MPa 5,00 m 5,00 m e = 2,50 m Pente de la toiture = 20 % Données complémentaires : Poids couverture 36 daN/m² Charge de neige 45 daN/m² Question : Proposer un dimensionnement économique pour les pannes

  34. 7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE 7.1 - Définition (1/2) L ’élément est soumis à : - un moment fléchissant(flexion), - un effort normal(compression). z z pz x y Coupe verticale de la poutre pZ N N N Flexion composée

  35. 7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE 7.1 - Définition (2/2) max = My / Wy z z pz Compression My N Traction y y max(compression) = + Wy A Diagramme des contraintes  Diagramme des déformations  My N max(traction) = - Wy A Compression N max = N / A Composition des diagrammes de contraintes :

  36. 7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE 7.2 - Méthode de vérification K1 . N + K2 . F < e La vérification de ce type d ’élément de structure peut être obtenu directement par lecture directe sur abaques (résultats d ’essais). Méthode : 1 - Calcul de N (contrainte générée par l ’effort normal Nu), 2 - Calcul de F (contrainte générée par Mu), 3 - Calcul de l ’élancement mécanique , 4 - Vérification sur l ’abaque par lecture directe. Cette vérification revient également à résoudre l ’inéquation suivante :

  37. 7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE 7.3 - Exemple d ’application P B v A h = 4,00 m C v = 5,25 kN/m Un premier dimensionnement du poteau B-C (sous l ’effet unique d ’un effort normal Numax = 0,2 MN)nous a conduit à retenir un HE 100 B. Ce profilé est-il toujours correctement dimensionné, si l ’on considère qu ’il reprend également une charge horizontale de vent ?

  38. 7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE 7.4 - Noyau central d ’une section (1/3) - un effort normal N - un moment fléchissant M Soit une section droite soumise à : M N e (excentricité) N XG Avec (e) tel que : e = M / N Ce schéma peut être remplacé par

  39. 7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE 7.4 - Noyau central d ’une section (2/3) N .e N max(compression) = + Wy A N e (excentricité) Diagramme de contraintes XG Axe neutre N . e N = 0 max(traction) = - Wy A Le noyau central d ’un section correspond à la zone dans laquelle l ’effort N (excentré par rapport au centre de gravité) ne génère pas de contrainte de traction.

  40. 7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE 7.4 - Noyau central d ’une section (3/3) e Nu h X G G Coupe verticale dans le sens de la largeur b b Exemple : Cas d ’un fondation rectangulaire soumise à un effort vertical excentré A partir de quelle valeur (e), le sol n ’est-il plus entièrement comprimé sous l ’assise de la fondation ?

  41. 8 - ÉQUATION DE LA DÉFORMÉE - THÉORIE DU FLAMBEMENT 8.1 - Équation de la déformée (1/3) z z pz x y Coupe verticale de la poutre Apparition : - d ’une flèchedans le sens de l ’axe z - d ’un moment fléchissant My(x) Les sections droites pivotent autour de l ’axe y, en mobilisant l ’inertie Iy Considérons cette poutre isostatique : Charge appliquée suivant l’axe z

  42. 8 - ÉQUATION DE LA DÉFORMÉE - THÉORIE DU FLAMBEMENT 8.1 - Équation de la déformée (2/3) z z pz z(x) x y Coupe verticale de la poutre Par définition, l ’équation de la déformée est obtenue à partir de la formulation suivante : E . Iy . z’’(x) = My(x)

  43. 8 - ÉQUATION DE LA DÉFORMÉE - THÉORIE DU FLAMBEMENT 8.1 - Équation de la déformée (3/3) z z pz z(x) x y Coupe verticale de la poutre Exemple : 1 - Déterminer l ’expression de la déformée de cette poutre 2 - Déterminer l ’expression de la flèche maximum

  44. 8 - ÉQUATION DE LA DÉFORMÉE - THÉORIE DU FLAMBEMENT 8.2 - Théorie du flambement

  45. 2 - Étapes suivies par un projeteur pour élaborer les plans d ’exécution d ’un ouvrage ? QUESTIONS 1 - Pratique du calcul de structure ?

  46. 1 - PRISE EN COMPTE ET ETUDE DE L ’ESQUISSE

  47. Coupes 2 - VALIDATION DU SYSTEME PORTEUR A CHAQUE ÉTAGE Vues en plan

  48. NEIGE (RÈGLE N84) VENT (RÈGLE NV65) Type de fondations ? Étude de sol obligatoire SÉISME RECOMMANDATIONS AFPS90 3 - RECUEIL DES CONTRAINTES EXTÉRIEURES

  49. 4 - RECUEIL DES CONTRAINTES INTERNES (1/2) Poids propre des éléments composant le bâtiment isolation+ étanchéité béton Poids des équipements fixes Ex : machine outil A) Prise en compte des charges fixes Régi par la normeNFP 06.001

  50. 4 - RECUEIL DES CONTRAINTES INTERNES (2/2) Fonction de l ’utilisation des locaux (ex : bureau, archives,…) BOUM! C) Prise en compte des contraintes réglementaires (acoustique, incendie,…) B) Prise en compte des charges variables Régi par la normeNFP 06.004 Nouvelle réglementation acoustique Règlements de sécurité incendie(ERP, habitation,…)