第 11 章边界层理论（ Boundary Layer ~ ）

第11章边界层理论（Boundary Layer ~） 课堂提问：高尔夫球表面粗糙还是光滑一杆打的远？为什么龙舟的形状是细长体？本章内容： 1.边界层基本概念 2.边界层基本微分方程 3.边界层动量方程 4.边界层排挤厚度和动量损失厚度 5.平板层流边界层

6.平板湍流边界层 7.平板混合边界层 8. 船体摩擦阻力计算 9.曲面边界层分离现象形状阻力 10. 绕流物体的阻力 11.减少粘性阻力的方法

§11-1 边界层的概念 N-S方程理论上完备但求解困难。解决(求解)工程实际问题大多局限于小雷诺数流动问题。高Re时(量级在10６～10９的范围),粘性力与惯性力相比是很小的。 1904年，L.Prandtl指出，对于粘性很小的流体(如空气、水），粘性对流动的影响仅限于贴近固体表面的一个薄层内，这一薄层以外，粘性完全可以忽略。

在固体壁面附近，显著地受到粘性 影响的这一薄层。边界层：从边界层厚度很小这个前提出发，Prandtl率先建立了边界层内粘性流体运动的简化方程，开创了近代流体力学的一个分支——边界层理论。均匀来流绕一薄平板流动，微型批托管测得沿平板垂直方向的速度分布如下图：

与来流速度相同的量级,U99％ 均匀来流速度这一薄层内速度梯度很大边界层内粘性力不可忽略平板上u=0

边界层外边界 U99％外边界上流速达到U99％的点到物面的法向距离。边界层名义厚度

边界层厚度

边界层外部粘性影响很小，μ可以忽略不计， 可认为边界层外部的流动是理想流体无旋势流。这一薄层内速度梯度很大。边界层内的流动是有旋流动根据速度分布的特点，可将流场分为两个区域：一、边界层二、边界层外部区域

P P1 P2 x 重要推论：（1）边界层内各截面上压力等于同一截面上边界层外边界上的压力：即：P1=P2=P

（2）势流的近似计算中，可略去边界层的厚度，（2）势流的近似计算中，可略去边界层的厚度，解出沿物体表面的流速和压力分布，并认为就是边界层边界上的速度和压力分布，据此来计算边界层。（3）根据边界层厚度极薄的基本假设，可将N-S 方程化简，获得边界层的基本微分方程。

边界层内的流动状态： 层流边界层，湍流边界层均存在粘性底层（层流底层），其厚度与Re有关。

雷诺数 （11－1）层流边界层转变为湍流边界层的判别准则：ｘ为离平板前缘点的距离对于平板，层流转变为湍流的临界雷诺数为：层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置坐标

§11-2 边界层基本微分方程 粘性不可压缩流体,不计质量力，定常流过小曲率物体，物体表面可近似当作平面。取物面法线为ｙ轴。在大Re数情况下的边界层流动有下面两个主要性质： 1)边界层厚度较物体特征长度小得多，即 2)边界层内粘性力和惯性力具有相同的数量级

以此作为基本假定，将N-S方程（二维）化简： 连续性方程引进特征长度Ｌ、特征速度Ｕ，将方程中的各物理量无量纲化：将其代入N-S方程，整理后得：

因为～，所以Re ～δ′2

因为0≤x≤L ，所以x’= ～1 所以所以因为y’= ,0≤y≤δ，所以y’～ =δ’ 因为0≤vx≤U ，所以v’x= ～1

化简后为 （11－4）边界条件：ｙ＝０，Vｘ＝Vｙ＝０；ｙ＝δ，Vｘ＝Ｕ（ｘ）。上式为边界层基本微分方程（Prandtl方程）。

Prandtl边界层方程中第二个方程： p0 p1 p2 p3 讨论：说明了什么？ p1= p2 =p3 =p0

即平板极薄且无曲度，边界层外缘处速度为来流速度Ｕ。沿边界层外缘上各点上压力相同， Prandtl边界层方程的求解 Blasius解----顺流放置无限长平板上的层流边界层流动。均匀来流平行于平板，ｘ轴平行于板面，原点在平板前缘，

（11－5） 上述边界层方程简化为：边界条件：ｙ＝０，Vｘ＝０，Vy＝０；ｙ→∞，Vｘ＝Ｕ。严格上，速度从零增至Ｕ须经过无限远距离，近似认为ｙ＝δ，Vｘ＝U。

（11－6） （11－7）边界条件：引入流函数ψ，与速度的关系为：将其代入简化后的边界层方程第一式有：

：y的比例尺， 若求出了流函数ψ，便可求出速度， ψ应是ｘ，ｙ的函数，且ψ中包含ν和Ｕ（起参数作用），ν和Ｕ不同时，同一空间点上ψ的值不同。现设法将方程和边界条件中各个物理量无量纲化，不再出现ν和Ｕ。选特征量：Ｌ：ｘ的比例尺， Ψ: ψ的比例尺，Ψ为常数

(11－8) 于是（11－9） (11-10) 或（11－11）若用表示ψ，ｘ及ｙ的无量纲值，则有将（11-9）代入（11-7）式，得

（11－12） 若令 ,则方程和边界条件都将变成无量纲的形式,并且其中不再显含ν和Ｕ。边界条件化为：

（11－13） 即（11-14）这就是无量纲运动方程及边界条件,可见不再显含ν及Ｕ，其解也应该不包含ν及Ｕ。

求出，则ψ为： (11-16) (11-15) 注意：平板为半无限长即没有任何特征长度，故其解不应包含Ｌ(只是任选的长度比例尺)，而只应该包含ν和Ｕ。（11-14）式应采取如下形式：

(11-18) （11－17）返回为有量纲解时，不出现Ｌ，即通过以上分析，来求解下列形式的ψ。将ψ代入（11-17）式求解

(11-19)

(11-20) 将上式代入方程（11-7），有 φ满足的是三阶非线性常微分方程边界条件为： η＝０， φ＝０， φ′＝０ η→∞， φ′＝２非线性的微分方程，得不到解析解。

表11-1给出问题的数值解，其中就 是边界层内无量纲的速度分布采用级数展开办法，或者直接进行数值积分。由于φ和η均为无量纲量，且在方程及边界条件中只有纯数而不显含ν及Ｕ，故所得结果可以一劳永逸地应用。

可将ｘ及ｙ的值代入中得出η值，由 此值从上表中找出相应的则例11.1 本例说明上表11-1的用法。 (1) 欲求边界层内点（x,y）的速度Vx（x,y）设 U=25 km/h，ν=0.15cm2/s, x=3m,ｙ=5mm，求：Vx＝？

解：U=25×1000/3600=6.95m/s, ν=0.0015m2/s, x=3m, y=0.005m, 代入η中得：  从表11-1中，用内插法，查得所以 Vx＝0.619Ｕ＝403ｍ/ｓ

查表11－1，找出时，η＝2.5, 由可得（2）按上例条件，求ｘ＝３ｍ处的边界层厚度δ 解: 按定义边界层外边界上速度 Vx=99％Ｕ

（3)求板面上的切应力0 解：由牛顿内摩擦定律按照表11－1，φ″（0）可近似表达为：

上式可看出平板层流边界层局部摩擦切应力 与ｘ坐标的平方根成反比的规律随着ｘ的增加而减小。现计算整个平板上总摩擦阻力。设板长为Ｌ，板宽为ｂ，则平板单面总摩擦阻力是：

（11－21) 式中为按平板板长计算的雷诺数。算出摩擦阻力系数后，可确定平板层流边界层情况下的摩擦阻力为： (11-22) 总摩擦阻力系数Ｃｆ由下式确定：

虽然边界层基本微分方程比N-S方程要简单 得多，但求解问题仍有很大困难尚且如此之大，因此,发展求解边界层问题的近似方法便具有很大的理论与实际意义。 Karman动量积分方程方程，就是一种近似求解边界层问题的方法。

§11-3 边界层动量积分方程 应用动量定理来研究边界层内单位时间内沿ｘ方向的动量变化和外力之间的关系。设流动定常控制体边界ABCD

单位时间内经过ＡＢ面流入的质量和带入的 动量分别为：

单位时间内流出ＣＤ面的质量和动量分别为： 对不可压缩流体必然有质量：从边界层外边界ＡＣ面流入，并带入动量：

AB面: CD面: AC面: 单位时间内控制体内沿ｘ方向动量变化：作用在该控制体上沿ｘ方向外力：

A,C 两点的平均压力

ＢＤ面上作用在流体上的总切应力为：  FBD＝－τ0dx 该控制体上沿ｘ方向诸外力之和为：式中略去了二阶小量

（11－23） 可得到定常流动条件下卡门动量积分方程式：在边界层内：ｐ=ｐ(x)，ｖｘ=ｖｘ(y) δ=δ(x) 方程两个积分都只是ｘ的函数，则有这就是边界层动量积分方程，对层流和湍流边界层都能适用。

式中未知数有ｖｘ，τ0和δ三个。求解方程要补充两个关系式：式中未知数有ｖｘ，τ0和δ三个。求解方程要补充两个关系式： (1)边界层内的速度分布uｘ＝uｘ(y）一般由经验确定，与实际符合越好，计算结果就越精确,这是求解边界层问题的关键。（2）切应力与边界层厚度δ的关系即τ＝τ（δ）

两个厚度: 动量损失厚度，排挤厚度 因为拉格朗日积分改写为：将这些结果代入（11－23）式得：

即或可写成

（11－24） 卡门动量积分方程为动量损失厚度排挤厚度（11－25）两边除以ρＵ２，稍加整理后得

一、排挤厚度的物理意义 因边界层的存在，通过单位宽度、厚度为δ的截面上的质量流量亏损为： §11-4 边界层排挤厚度和动量损失厚度理想流动中δ处的流线应平行于平板

为补偿这一流量亏损，使得流线向 外排挤一个距离以获得补偿流量代表理想流体的流线在边界层外边界上由于粘性的作用向外偏移的距离连续方程：亏损流量=补偿流量

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