Základy mechaniky, 8. přednáška

1. Základy mechaniky, 8. přednáška Mechanické vlastnosti materiálů. Obsah přednášky : tahová zkouška, základní mechanické vlastnosti materiálu, prodloužení při tahu nebo tlaku, potenciální energie, řešení staticky neurčitých úloh Doba studia : asi 1 hodina Cíl přednášky : seznámit studenty se základními rysy chování materiálu pod mechanickým zatížením, s využitím těchto vlastností pro provádění technických výpočtů

2. F F Základy mechaniky, 8. přednáška Tahová zkouška Základní mechanické vlastnosti pevných materiálů vyjadřují jejich schopnost odolávat mechanickému zatížení. Zjišťují se tahovou zkouškou. Při tahové zkoušce je vzorek materiálu namáhán tahem. Přitom se snímá : - zatěžující síla F[N], - prodloužení vzorku Dl[m, mm], - popřípadě jeho příčné zúžení. Dl F Dl

3. Základy mechaniky, 8. přednáška Tahová zkouška Aby výsledky tahové zkoušky, prováděné na různých vzorcích, byly navzájem srovnatelné, provádějí se dva přepočty : F s kde je : S - příčná průřezová plocha vzorku [m2, mm2], s - tahové napětí [Pa, MPa] - tato veličina již bezprostředně vypovídá o namáhání materiálu, l0 - původní délka vzorku [m, mm], e - poměrné prodloužení [-]. S Dl l0 s s F poznámka k jednotce napětí : pascal megapascal e

4. Základy mechaniky, 8. přednáška Tahová zkouška Na průběhu závislosti s-e lze pozorovat dva odlišné úseky. V prvním úseku je závislost prakticky lineární, ve druhém úseku výrazně nelineární. Na křivce jsou dva důležité body : Re - mez kluzu - hranice lineárního průběhu [Pa, MPa], ee - poměrná deformace na mezi kluzu [-], Rm - mez pevnosti - maximální možné namáhání materiálu [Pa, MPa], em - poměrná deformace na mezi pevnosti [-]. F s S Dl l0 Hookův zákon Lineární průběh je vyjádřen rovnicí přímky : s s Rm kde : E - modul pružnosti v tahu [Pa, MPa] je směrnicí přímky v lineární části průběhu. Lze jej též vyjádřit jako : Re F E ee em e

5. F F Základy mechaniky, 8. přednáška Tahová zkouška Jak již bylo zmíněno, současně s prodlužováním dochází k příčnému zúžení vzorku. Poměrná deformace tohoto příčného zúžení ep je menší než poměrná deformace podélného prodloužení e. d-Dd d kde : m - Poissonovo číslo [-] s s Rm Re E ee em e

6. Základy mechaniky, 8. přednáška Základní mechanické vlastnosti Na základě tahové zkoušky tedy můžeme definovat pět základních mechanických vlastností : Re - mez kluzu - hranice lineárního průběhu [Pa, MPa], Rm - mez pevnosti - maximální možné namáhání materiálu [Pa, MPa], em - poměrné prodloužení na mezi pevnosti [-], E - modul pružnosti v tahu [Pa, MPa], m - Poissonovo číslo [-]. s Např. pro ocel : E = 210 000 MPa m = 0,3 Re, Rm, em - závisí na druhu oceli. s s Rm Re E ee em e

7. Základy mechaniky, 8. přednáška Poznámka ke tvaru zkušebního vzorku. Aby bylo eliminováno nežádoucí chování materiálu v místě jeho uchycení ve zkušebním stroji, má zkušební vzorek trochu jiný tvar. měřený úsek vzorku

8. Základy mechaniky, 8. přednáška Poznámka k metodice tahové zkoušky. Hodnoty napětí a poměrné deformace, zjištěné při tahové zkoušce, se někdy označují jako tzv. „inženýrské hodnoty“. Toto označení odráží způsob, jak byly zjištěny. F kde je : S - původní (počáteční) průřezová plocha vzorku, l0 - původní (počáteční) délka vzorku. Správný výpočet by však měl být : S l0 l1 kde je : S1 - deformovaná (zúžená) průřezová plocha, l1 - deformovaná (prodloužená) délka vzorku. Dl S1 Např. : Počáteční délka zkušebního vzorku je l0 = 100 mm. Vzorek v průběhu zkoušky prodloužíme na l1 = 110 mm. Při dalším prodloužení o Dl = 1 mm by poměrná deformace měla být určena jako : F Je zřejmé že s*>s a e*<e. Tzv. „inženýrské hodnoty“ s a e se proto používají pro všeobecné informativní potřeby, zatímco např. za účelem počítačového modelování se používají přesné hodnoty s* a e*.

9. Základy mechaniky, 8. přednáška Prodloužení při tahu / tlaku. Z uvedených vztahů je patrné, že prodloužení tělesa, které má charakter tyče, prutu nebo drátu, od tahového nebo tlakového zatížení je : F S l0 Někdy je účelné vyjádřit tzv. „tahovou tuhost“ tyče : Dl Pak platí : F nebo : Poznámka : Tyto vztahy platí samozřejmě pouze pro namáhání v lineární části tahové křivky.

10. F Základy mechaniky, 8. přednáška Potenciální energie napjatosti. S deformací je spojena potenciální (deformační) energie. Ta je rovna práci, vykonané při deformaci. Je-li síla F, nutná k prodloužení tyče o y : S Pak práce (a tedy i potenciální energie) je : l0 [N·m = J] Poznámka : Je třeba si uvědomit, že síla F není konstantní. Pro prodloužení o první mm stačí jen velmi malá síla. Na druhý mm je již síla větší. Teprve na konci prodlužování má síla konečnou hodnotu F = k·Dl. y Je-li dále objem tyče V=S·l0, pak potenciální energie na objemovou jednotku materiálu, tzv. měrná potenciální energie, je : [J/m3]

11. F Základy mechaniky, 8. přednáška Řešení staticky neurčitých úloh. Poznatků o deformaci můžeme využít např. pro řešení staticky neurčitých úloh. Těleso je zavěšeno na dvou nestejných závěsech. E1, E2 - moduly pružnosti materiálů obou závěsů, S1, S2 - průřezové plochy obou závěsů, l1, l2 - délky obou závěsů, (v tomto příkladu jsou obě délky stejné, to však není podmínkou). Těleso je vedeno tak, že se může posunout svisle, nemůže však vybočit do strany ani se naklonit. Na těleso působí zatěžující síla F. Úkolem je stanovit reakce v obou závěsech R1 a R2. V rovnici rovnováhy pro svislý směr : E1, S1, l1 E2, S2, l2 Dl R1 R2 jsou však dvě neznámé, jež z této rovnice nelze jednoznačně určit. Prodloužení obou závěsů je shodné : a tedy : kde : jsou tahové tuhosti závěsů

12. Základy mechaniky, 8. přednáška Řešení staticky neurčitých úloh. Poznatků o deformaci můžeme využít např. pro řešení staticky neurčitých úloh. Rovnici rovnováhy lze pak napsat ve tvaru : E1, S1, l1 E2, S2, l2 odtud pak snadno : Dl R1 R2 hledané reakce pak jsou : neboli : Síla F se tedy rozdělí na oba závěsy v poměru jejich tuhostí k1 a k2. Čím větší tuhost, tím větší díl zatížení závěs přenáší. F Protože primární neznámá v rovnici rovnováhy je deformace Dl, bývá někdy tento postup označován jako deformační metoda.

13. Základy mechaniky, 8. přednáška Řešení staticky neurčitých úloh. Deformační metodou můžeme např. řešit staticky neurčité prutové soustavy. Staticky určitá prutová soustava, zatížená silou F - vyřešte osové síly v prutech 1 a 2. B 2 b C A 1 g F

14. Základy mechaniky, 8. přednáška Řešení staticky neurčitých úloh. Deformační metodou můžeme např. řešit staticky neurčité prutové soustavy. Staticky určitá prutová soustava, zatížená silou F - vyřešte osové síly v prutech 1 a 2. Uvolníme styčník C a sestavíme dvě rovnice rovnováhy. B 2 b R2 Ze dvou rovnic vyřešíme dvě neznámé - osové síly R1 a R2. R1 C A 1 g F

15. Základy mechaniky, 8. přednáška Řešení staticky neurčitých úloh. Deformační metodou můžeme např. řešit staticky neurčité prutové soustavy. Staticky neurčitá prutová soustava, zatížená silou F - vyřešte osové síly v prutech 1 až 5. Uvolníme styčník C a sestavíme dvě rovnice rovnováhy. B 2 b Ve dvou rovnicích rovnováhy je pět neznámých - osové síly R1, R2, R3, R4 a R5. R2 R1 C Toto je základní problém - příliš mnoho neznámých. A 1 g F

16. Základy mechaniky, 8. přednáška Řešení staticky neurčitých úloh. Deformační metodou můžeme např. řešit staticky neurčité prutové soustavy. Staticky neurčitá prutová soustava, zatížená silou F - vyřešte osové síly v prutech 1 až 5. Kromě osových sil uvažujeme také posunutí styčníku C. Dále uvažujeme prodloužení i-tého prutu Dli. i-tý prut B x·cosbi bi x y C x-posunutí A y·sinbi y-posunutí

17. Základy mechaniky, 8. přednáška Řešení staticky neurčitých úloh. Deformační metodou můžeme např. řešit staticky neurčité prutové soustavy. Staticky neurčitá prutová soustava, zatížená silou F - vyřešte osové síly v prutech 1 až 5. Kromě osových sil uvažujeme také posunutí styčníku C. Dále uvažujeme prodloužení i-tého prutu Dli. i-tý prut B x·cosbi bi x y C A y·sinbi Poznámka : Tento zjednodušený vztah pro prodloužení Dl platí je-li posunutí x a y mnohokrát menší než délka prutu l, úhel b se posunutím změní jen zanedbatelně.

18. Základy mechaniky, 8. přednáška Řešení staticky neurčitých úloh. Deformační metodou můžeme např. řešit staticky neurčité prutové soustavy. Staticky neurčitá prutová soustava, zatížená silou F - vyřešte osové síly v prutech 1 až 5. Určíme vztah mezi prodloužením Dl a osovou silou R. F Dl B R F C [N/m], [N/mm] k - tuhost prutu A [Pa], [MPa] E - modul pružnosti v tahu x-posunutí [m2], [mm2] S - průřezová plocha prutu y-posunutí l- délka prutu [m], [mm]

19. Základy mechaniky, 8. přednáška Řešení staticky neurčitých úloh. Deformační metodou můžeme např. řešit staticky neurčité prutové soustavy. Staticky neurčitá prutová soustava, zatížená silou F - vyřešte osové síly v prutech 1 až 5. Vrátíme se k rovnicím rovnováhy v již uvedeném tvaru. B Osové síly Ri jsou přímo úměrné prodloužení Dli. 2 Rovnice rovnováhy tedy po úpravách budou mít tvar : b R2 R1 C A 1 g F Po výpočtu posunutí x a y lze vypočíst osové síly.

20. Základy mechaniky, 8. přednáška Řešení staticky neurčitých úloh. Deformační metodou můžeme např. řešit staticky neurčité prutové soustavy. Staticky neurčitá prutová soustava, zatížená silou F - vyřešte osové síly v prutech 1 až 5. Vrátíme se k rovnicím rovnováhy v již uvedeném tvaru. B Osové síly Ri jsou přímo úměrné prodloužení Dli. 2 Rovnice rovnováhy tedy po úpravách budou mít tvar : b R2 Povšimneme si, že počet rovnic rovnováhy je shodný s počtem neznámých (posunutí x a y), a to nezávisle na počtu prutů. R1 C A 1 g F

21. Základy mechaniky, 8. přednáška Obsah přednášky : tahová zkouška, základní mechanické vlastnosti materiálu, prodloužení při tahu nebo tlaku, potenciální energie, řešení staticky neurčitých úloh