1 / 62

Nazwa szkoły: Zespół Szkół Publicznych w Reptowie ID grupy: 98/61_mf_g1

Nazwa szkoły: Zespół Szkół Publicznych w Reptowie ID grupy: 98/61_mf_g1 Opiekun: Maria Szyndlarewicz Kompetencja: Matematyka – Fizyka Temat projektowy: Geometria trójkąta Semestr/rok szkolny: V/2011/2012. Dane informacyjne Skład osobowy grupy 98/61_MF_g1 Wiadomości ogólne o trójkątach

kueng
Download Presentation

Nazwa szkoły: Zespół Szkół Publicznych w Reptowie ID grupy: 98/61_mf_g1

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Nazwa szkoły: Zespół Szkół Publicznych w Reptowie ID grupy: 98/61_mf_g1 Opiekun: Maria Szyndlarewicz Kompetencja: Matematyka – Fizyka Temat projektowy: Geometria trójkąta Semestr/rok szkolny: V/2011/2012

  2. Dane informacyjne Skład osobowy grupy 98/61_MF_g1 Wiadomości ogólne o trójkątach Własności trójkątów Zadania Ciekawostki o trójkątach Wnioski

  3. Prezentację przygotowali: • Dominik Banaszak • Natalia Brzoza • Katarzyna Fierdonek • Tomek Karpiński • Dagmara Rutkowska • Patrycja Siwiec • Emilia Stasiak • Luiza Stateczna • Natalia Wojciukiewicz • Monika Zeplin • Opiekun: Maria Szyndlarewicz

  4. ZADANIE GŁÓWNE Opracowanie multimedialnej prezentacji przedstawiającej różnorakie własności trójkątów i pokazujące w jaki sposób można te własności wykorzystać do wykonywania konstrukcji cyrklem i linijką przy danych elementach trójkąta lub pokazującej niemożliwość wykonania takich konstrukcji

  5. Zadania cząstkowe • Uporządkowanie dotychczasowej wiedzy o trójkątach • Wyszukanie w literaturze i zasobach internetowych różnych własności trójkątów i zbadanie zależności między tymi własnościami • Samodzielne wykonanie i opracowanie konstrukcji, w realizacji których zostaną wykorzystane własności trójkątów

  6. Trójkąt to figura wyznaczona przez trzy punkty nie leżące na jednej prostej. C B A W trójkącie ABC pokazanym powyżej mamy: wierzchołki: A, B, C; boki: AB, BC, CA; kąty: CAB, ABC, ACB

  7. Klasyfikacja trójkątów ze względu na kąty • Trójkąt ostrokątny- wszystkie kąty ostre Trójkąt rozwartokątny-jeden kąt rozwarty Trójkąt prostokątny-jeden kąt prosty

  8. Klasyfikacja trójkątów ze względu na boki c a b b a b a a a Trójkąt różnoboczny-wszystkie boki różnej długości Trójkąt równoramienny-przynajmniej dwaboki tej samej długości Trójkąt równoboczny-wszystkie boki tejsamej długości

  9. Klasyfikacja trójkątów nie istnieje nie istnieje

  10. Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°. Twierdzenie     +  +  = 180 Zobacz dowód

  11. Dowód l C Rysujemy pomocniczą prostą l równoległą do boku AB, prze-chodzącą przez wierzchołek C.    = = są to kąty naprzemianległe   A B Zatem ++=++. Ponieważ ++=180, więc również ++=180.

  12. Kąt zewnętrzny trójkąta Zadanie 1 Znajdź miary kątów zewnętrznych x i y. Kąt zewnętrzny trójkąta, to kąt utworzony przez jeden bok trójkąta i przedłużenie drugiego boku. 103 x y 32 ROZWIĄZANIE

  13. Rozwiązanie Ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi 180°, to brakujący kąt trójkąta ma miarę 45º. y + 32º = 180ºy = 180º - 32ºy = 48º x + 45º = 180º x = 180º - 45ºx = 135º Odpowiedź: Kąty zewnętrzne trójkąta mają miary odpowiednio równe x=135º i y=48º.

  14. Zadanie Znajdź miarę kąta x. c) a) 32º 2x b) x 3x x x 41º 76º x Sprawdź

  15. Rozwiązania a) 41º + x + 32º = 180ºx + 73º = 180ºx = 180º - 73ºx = 107º b) x + x + 76º = 180º2x = 180º - 76º2x = 104ºx = 52º c) x + 2x + 3x = 180º6x = 180ºx = 30º

  16. Dwusieczna kąta Dwusieczną kąta nazywamy półprostą, która dzieli go na dwa przystające kąty (stąd nazwa: dwu-sieczna = krojąca na połowy).    = 

  17. Dwusieczna kąta. Dwusieczna kąta płaskiego to prosta (dla kąta dwuściennego - płaszczyzna) przechodząca przez wierzchołek kąta (dla kąta dwuściennego przez krawędź) i dzielącą go na dwa kąty przystające (stąd nazwa: dwu-sieczna = krojąca na połowy). Dwusieczna jest jedyną osią symetrii kąta. W każdym kącie płaskim dwusieczną można skonstruować cyrklem i linijką.

  18. . . . . . . . Wysokość trójkąta Ortocentrum to punkt przecięcia się wysokości trójkąta. h1 h1 h2 h1 h2 h2 h3 h3 • h3 h1, h2, h3- wysokości trójkąta Wysokość to odcinek łączący wierzchołek trójkąta z podstawą lub jej przedłużeniem pod kątem prostym. Każdy trójkąt ma trzy wysokości. Wysokości lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie.

  19. Zadanie Dany jest trójkąt o kątach przy podstawie 70º i 80º. • Wyznacz kąt pod jakim przecinają się dwusieczne tych kątów. • Wyznacz kąt , pod jakim przecinają się wysokości trójkąta poprowadzone z wierzchołków tych kątów. Uwaga. Podając kąt, pod jakim przecinają się proste nie prostopadłe, będziemy podawać kąt ostry.

  20. C 80º 70º B A Rozwiązanie a) x y 40º 35º x + y = 180ºx = 180º - yx = 180º - 105ºx = 75º 40º + y + 35º = 180ºy + 75º = 180ºy = 180º - 75ºy = 105º Odpowiedź: Dwusieczne kątów przecinają się pod kątem 75º.

  21. C . .   80º  70º B A Rozwiązanie b) Z  ABF70º + 90º +  = 180º160º +  = 180º = 20º Z  ABD80º + 90º +  = 180º170º +  = 180º = 10º Z  ABO +  +  = 180º20º + 10º +  = 180º = 150º F Zatem  + x = 180ºwięc x = 180º - 150ºx = 30º D O x Odp.:Wysokości przecinają się pod kątem 30º.

  22. Własności trójkątów

  23. Nierówność trójkąta Dowolny bok trójkąta ma mniejszą długość od sumy długości pozostałych boków.Przykłady:

  24. Trójkąt równoboczny. Kąty w trójkącie. Wysokość i pole

  25. Wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w jednym punkcie. W trójkącie równobocznym: wysokości , środkowe , dwusieczne kątów przecinają się w jednym punkcie i zawarte są w osiach symetrii trójkąta.Wysokości są równe. Punkt przecięcia dzieli wysokość na odcinki w stosunku 2:1

  26. Trójkąt równoramienny.a – podstawab - ramiona W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.

  27. Wysokość dzieli podstawę i kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego na dwie równe części.

  28. Pole trójkąta i wzory. a – podstawa b - wysokość P=½ah

  29. Pole trójkąta i wzory. Wzór z wykorzystaniem długości boków (wzór Herona) Zadanie Oblicz pole trójkąta o bokach odpowiednio 5cm; 5cm; 6cm Dane : Rozwiązanie: a= 6cm b=5cm c =5cm Pole tego trójkąta wynosi 12 cm²

  30. Twierdzenie Pitagorasa.W każdym trójkącie prostokątnym: PRZYKŁADY :

  31. Zależności między bokami w trójkątach prostokątnych-ekierkach. Przykłady:

  32. Środkowa trójkąta. Środkową boku trójkąta nazywamy odcinek łączący środek boku trójkąta z wierzchołkiem trójkąta nie należącym do tego boku. Każdy trójkąt posiada trzy środkowe Środkowe przecinają się w jednym punkcie. Nazywamy go środkiem ciężkości trójkąta (barycentrum). Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku 2:1

  33. Środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach.

  34. Symetralne boków trójkąta.Symetralna boku trójką to prosta prostopadła do boku i przechodząca przez jego środek. Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie , który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

  35. Dwusieczna.Dwusieczna kąta to półprosta dzieląca go na dwa równe kąty. Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie , który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

  36. Twierdzenie o dwusiecznej Dwusieczne dzieli bok trójkąta na odcinki c i d o długościach spełniających równanie :

  37. Cechy przystawania trójkątów (bbb) b-b-b odpowiednie boki trójkątów są równe. (bkb) b-k-b odpowiednie dwa boki trójkątów są równe. (kbk) k-b-k odpowiednie dwa kąty trójkątów są równe.

  38. Cech podobieństwa trójkątów • (bbb) b-b-b • Jeżeli odpowiednie boki trójkątów są proporcjonalne , to trójkąty są podobne. k- skala podobieństwa. Twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe : Jeżeli trójkąty są podobne,to boki trójkątów są proporcjonalne.

  39. Zadanie • Jak zmieni się pole trójkąta , jeżeli jeden bok i wysokość poprowadzoną do tego boku zwiększymy o 10% ? • Dane: • a 1,1a • h 1,1h • P1= ½a•h P2 = ½•1,1a•1,1h = ½•1,21ah • P2-P1= ½•1,21ah -½•ah= ½•1,21ah-½ah=0,21 =21% • Odp: Pole trójkąta zwiększy się o 21%.

  40. Cech podobieństwa trójkątów • (bkb) b-k-b • Jeżeli trójkąty mają jeden kąt równy,a boki tworzące ramiona kąta są proporcjonalne,to trójkąty,które są podobne. k- skala podobieństwa. Twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe : Jeżeli trójkąty są podobne,to ramiona tych samych kątów są proporcjonalne.

  41. Cech podobieństwa trójkątów • (kkk) k-k-k • Jeżeli kąty trójkątów są równe ,to trójkąty są podobne. W praktyce , jeżeli trójkąty mają dwa kąty równe , to trzeci też musi być równy. Twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe : Jeżeli trójkąty są podobne , to odpowiednie kąty są takie same.

  42. W każdym trójkącie -Obwód trójkąta jest sumą długości jego boków. -Suma miar kątów wewnętrznych jest równa 180 stopni. α+β+γ=180° -Suma długości każdych dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku. a+b>c, a+c>b , b+c>a -Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. R- promień okręgu opisanego.

  43. Zadanie Znajdź promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 9 i 12. Przeciwprostokątna ma długość: C=√ 9² + 12² =√ 81+144 =15 obwód trójkąta jest równy a+b+c=36 , a pole P=½a•b = ½ 9•12 = 54 Przekształcając wzór na pole P=½(a+b+c) r otrzymujemy : r=2P:(a+b+c)=108:36 Skąd r=3

  44. Zadanie Dany jest kwadrat o boku 5 cm . Przez wierzchołek kwadratu przeprowadzono prostą dzielącą kwadrat na trójkąt i trapez. Pole trójkąta wynosi 15/2. Jaką długość mają przekątne trapezu? d1=5 2 √ 2²+5²=d² 4+25=d² 29=d² / √ d=√29 d2 15/2=½a·5 /·2 15=a·5 / : 5 a=3 d1 5 cm a=3 2 5 cm Odp : Przekątne trapezu mają 5√2 ; √29

  45. Konstrukcje

  46. Etapy rozwiązywania zadań konstrukcyjnych • Analiza • Konstrukcja i jej opis • Uzasadnienie poprawności konstrukcji • Dyskusja • - warunki, które trzeba spełnić by zadanie miało rozwiązanie • - liczba rozwiązań

  47. Zadanie Zbuduj trójkąt, mając dane dwa jego boki a i b oraz wysokość h opuszczoną na bok a. I Analiza Przypuśćmy że skonstruowaliśmy żądany trójkąt i że jest nim trójkąt ABC przedstawiony na rysunku zaś danymi odcinkami są AB i AC i CD, przy czym IABI=IaI IACI=IbI ICDI=IhI. C Z treści zadania wynika, że punkt C jest odległy od punktu A o odcinek b, zaś od prostej AB o odcinek h. Możemy go zatem skonstruować. Mając punkty A i C skonstruujemy punkt B i będziemy wtedy mieli wszystkie trójkąta. h A D B

  48. II Konstrukcja i jej opis • Konstrukcje przedstawioną na poprzednim slajdzie opiszemy w tabeli: l C h D A B a h b a

  49. III Uzasadnienie poprawności konstrukcji • AC = b na podstawie konstrukcji • CD AB na podstawie konstrukcji • CD = h na podstawie konstrukcji • AB = a na podstawie konstrukcji

More Related