elemente de calculul pr babilit il r n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
ELEMENTE DE CALCULUL PR ☺ BABILITĂŢIL ☺ R PowerPoint Presentation
Download Presentation
ELEMENTE DE CALCULUL PR ☺ BABILITĂŢIL ☺ R

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 40

ELEMENTE DE CALCULUL PR ☺ BABILITĂŢIL ☺ R - PowerPoint PPT Presentation


  • 65 Views
  • Uploaded on

ELEMENTE DE CALCULUL PR ☺ BABILITĂŢIL ☺ R. Teoria probabilităţilor studiază legile după care evoluează fenomenele aleatoare. Principalele noţiuni matematice care modelează fenomenele aleatoare sunt: * CÂMPUL DE PROBABILITATE ASOCIAT UNUI EXPERIMENT ALEATOR * EVENIMENTELE

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'ELEMENTE DE CALCULUL PR ☺ BABILITĂŢIL ☺ R' - kina


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide2
Teoria probabilităţilor studiază legile după care evoluează fenomenele aleatoare.Principalele noţiuni matematice care modelează fenomenele aleatoare sunt:

*CÂMPUL DE PROBABILITATE ASOCIAT UNUI EXPERIMENT ALEATOR

*EVENIMENTELE

*VARIABILELE ALEATOARE

slide3
Prin experienţa în teoria probabilităţilor se înţelege orice act care poate fi repetat în condiţii date.

Toate situaţiile legate de experienţă şi despre care putem spune, cu certitudine, că s-au produs sau nu, după efectuarea experienţei, poartă numele de eveniment.

slide4
Un experiment aleator este o acţiune ale cărei rezultate nu pot fi pronosticate cu certitudine.

O efectuare a unui experiment,se numeşte probă.

Prin eveniment se înţelege rezultatul unei probe. Evenimentele pot fi clasificate in trei mari categorii:

*evenimente sigure;

* evenimente imposibile;

* evenimente întâmplătoare.

mul imi
MULŢIMI

Fie o mulţime nevidă Ω={ω1, ω2,..., ωn}. Dacă un element ωi, se află în Ω , îl notăm ωi∈ Ω (se citeşte: ωi aparţine mulţimii Ω).

Mulţimea A este o submulţime a lui Ω dacă (∀) x ∈ A implică x ∈ Ω. Se notează A⊆Ω (se citeşte: A este inclusă în Ω). O submulţime a oricărei mulţimi este mulţimea vidă (fără nici un element) pe care o notăm Ø.

Notăm P(Ω) toate submulţimile lui Ω, adică P(Ω) = {A | A⊆ Ω}.

slide6
Dacă A ∈ P(Ω), atunciĀ=CΩA= Ω –A reprezintă complementara lui A în raport cu Ω.
slide7
Dacă A, B ∈ P(Ω), atunci A∩B ={ ω∈Ω | ω∈A şi ω∈B} reprezintă intersecţia mulţimilor A , B.
slide8
Dacă A, B ∈ P(Ω), atunci A∪B ={ ω ∈Ω |

ω∈A sau ω∈B} reprezintă reuniunea mulţimilor A , B.

slide9
Pentru A,B ∈ P(Ω) produsul cartezian al mulţimii A cu mulţimea B se defineşte prin :

A XB={ (a,b) | a ∈ A şi b ∈ B }.

Pentru A ={1,2,3,4} , B= {a,b,c} avem:

A X B = { (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c), (4,a), (4,b), (4,c) }.

slide10
Acest produs poate fi reprezentat :

1)printr-o diagramă;

2)printr-un arbore.

universul probelor
UNIVERSUL PROBELOR

Definiţie: Se numeşte universul probelor mulţimea Ω a tuturor rezultatelor posibile,incompatibile două câte două, care pot avea loc în cazul unei probe a unui experiment aleatoriu.

slide12
EXEMPLE

1.La aruncarea monedei omogene avem

Ω={b,s}, unde b este banul iar s este stema.

2.La aruncarea unui zar omogen avem

Ω={1,2,3,4,5,6} .

slide13
3.O urnă conţine trei bile numerotate 1,2,3.Se extrag succesiv două bile din urnă:

*cu repunerea primei bile extrase în urnă înainte de a doua extragere; Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3) }

*fără repunerea primei bile extrase în urnă înainte de a doua extragere;

Ω={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2) }

evenimente
EVENIMENTE

Definiţie: Fie Ω un univers. Orice submulţime a lui Ω se numeşte eveniment.

EXEMPLE1. Extragerea unei bile albe dintr-o urnă care conţine numai bile albe, este un eveniment sigur.2. Apariţia unui număr de 7 puncte la o probă a aruncării unui zar este un eveniment imposibil.3 Apariţia feţei 1 la aruncarea unui zar este un eveniment întâmplător.

slide15
Evenimentele întâmplătoare se supun unor legităţi, numite legităţi statistice. În acest sens, nu se poate prevedea dacăîntr-o singură aruncare a unui zar se obţine faţa 1; dacăînsă se efectuează un număr suficient de mare de aruncări se poate prevedea cu suficientă precizie numărul de apariţii ale acestei feţe.Evenimentele întâmplătoare pot fi compatibile şi incompatibile. Două evenimente se numesc incompatibile, dacă realizarea unuia exclude realizarea celuilalt.
slide16
EXEMPLE

1.Evenimentele: apariţia feţei 1 la aruncarea unui zar şi respectiv apariţia feţei 2 la aruncarea unui zar, sunt incompatibile.

2. Evenimentele: apariţia feţei 1 la aruncarea unui zar şi respectiv apariţia unei feţe cu un număr impar de puncte la aruncarea unui zar, sunt compatibile.

opera ii cu evenimente
OPERAŢII CU EVENIMENTE

NEGAŢIA

Definiţie: Fie A un eveniment, atunci Ā (se citeşte: non A) este evenimentul care se realizează dacă şi numai dacă nu se realizează A.

Întrucât A aparţine P(Ω),atunci :

Ā = CA = Ω –A ∈ P( Ω )

slide18
EXEMPLU

La aruncarea zarului dacă A ={1,2,3} (care înseamnă că A se realizează dacă la o probă apare una din feţele cu 1, 2 sau 3 puncte), atunci Ā = {4,5,6} (care se realizează dacă nu se realizează A, adică dacă într-o probă apare una din feţele care conţin 4, 5 sau 6puncte).

slide19
REUNIUNEA

Definiţie: Fie A, B douăevenimente.Definim reuniunea evenimentelor A,B evenimentul notat A∪B (se citeşte: A sau B),care se realizează dacă şi numai dacă,

se realizează cel puţin unul dintre evenimentele A, B.

slide20
EXEMPLU

La aruncarea zarului fie evenimentele : A={1,2,3}, B={4,5}, C={1,3}, D={2,3,5}. Atunci A∪B= {1,2,3,4,5} şi C∪D= {1,2,3,5}.Se observă că A∪B este format din două evenimente pentru care A∩B=Ø, ceea ce înseamnă că A∪B are loc dacă are loc fie A ,fie B. În cazul C∪D avem C∩D= {3}, adică apariţia feţei care conţine trei puncte realizează atât evenimentul C cât şi evenimentul D.

slide21
INTERSECŢIA

Definiţie : Fie A,B două evenimente. Definim intersecţia evenimentelor A şi B evenimentul notat A∩B (se citeşte: A şi B), care se realizează dacă şi numai dacă se realizează simultan A şi B.

slide22
EXEMPLU

La aruncarea zarului fie evenimentele

A= {1,2,3,4}, B= {2,4,6}. Atunci

A∩B= {2,4} şi se realizează dacă la aruncarea zarului apare faţa cu două puncte sau faţa cu patru puncte.

evenimente incompatibile
EVENIMENTE INCOMPATIBILE

Definiţie : Două evenimente A,B se numesc incompatibile dacă şi numai dacă A∩B=Ø.

EXEMPLUEvenimentele: apariţia feţei 1 la aruncarea unui zar şi respectiv apariţia feţei 2 la aruncarea unui zar, sunt incompatibile.

evenimente elementare
EVENIMENTE ELEMENTARE

Definiţie : Fie Ω un univers finit Ω={ω1, ω2,...,ωn}.

Evenimentele {ω1},{ω2},…, {ωn} se numesc evenimente elementare.

EXEMPLE

1)La aruncarea monedei Ω= {s,b} când avem evenimentele elementare {s} (apariţia stemei), {b} (apariţia banului).

2)La aruncarea zarului Ω= {1,2,3,4,5,6}, evenimentele elementare sunt : {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.

func ia probabilitate
FUNCŢIA PROBABILITATE

Definiţie : Fie Ω un univers .Se numeşte probabilitate pe P(Ω) ,aplicaţia P: P(Ω)R, dacă au loc axiomele:

A1) P(A) ≥ 0 , (∀) A ∈ P(Ω) (Probabilitatea oricărui eveniment este un nr pozitiv).

A2) P(Ω)=1 (Probabilitatea evenimentului sigur este egală cu unu).

A3) P(A∪B) = P(A) + P(B), dacă A∩B =Ø (Probabilitatea reuniunii a două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităţilor lor).

c mp de probabilitate
CÂMP DE PROBABILITATE

Definiţie : Fie F un fenomen aleatoriu. Se numeşte câmp de probabilitate asociat fenomenului F , tripletul (Ω, P(Ω), P).

Mulţimea tuturor evenimentelor legate de o experienţă împreună cu probabilităţile respective, formează un câmp de probabilitate.

slide27
EXEMPLU

La aruncarea monedei Ω={s,b},

P(Ω)={ Ø, {s}, {b}, {s,b} } iar

P : P(Ω)  [0,∞) , unde P(Ø)=0

P({s})=P({b})=1/2 , P({s,b})=1.

defini ia general a probabilit ii
DEFINIŢIA GENERALĂ A PROBABILITĂŢII

Definiţie : Se numeşte probabilitate o funcţie

P : P(E)  ℝ cu următoarele proprietăţi:

1) P(A)≥0, ∀ A ∈ P(E) ;

2) P(E)=1;

3) P(A∪B)=P(A) + P(B) ,dacă A∩B= Ø.

opera ii cu probabilit i
OPERAŢII CU PROBABILITĂŢI

TEOREMĂ: Fie A, B ∈ P(Ω) ,atunci

P(B∩Ā) = P(B) – P(B∩A).

slide30
COROLAR

1) P(Ø) =0;

2) P(Ā)=1 – P(A);

3) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B);

4) Dacă A⊂B, atunci P(A) ≤ P(B);

5) 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; (∀) A⊂Ω.

slide31
REMARCĂ IMPORTANTĂ !

Axiomele din definiţia probabilităţii şi rezultatele precedente sunt insuficiente pentru a preciza probabilităţile diferitelor evenimente ale unui univers Ω. Alte consideraţii sau experienţe practice sunt indispensabile pentru a da aceste probabilităţi sau cel puţin o parte dintre ele.

evenimente elementare echiprobabile
EVENIMENTE ELEMENTARE ECHIPROBABILE

Definiţie: Fie Ω ={ω1, ω2,…., ωn}. Evenimentele elementare {ω1},{ω2},…,{ωn}se numesc echiprobabile dacă au aceeaşi probabilitate P({ω1})=P({ω2})=…=P({ωn}).

TEOREMĂ: Dacă Ω este un univers format din n evenimente elementare echiprobabile ,iar A este un eveniment format din reuniunea a k evenimente elementare, atunci P(A)=k/n=card(A)/card(Ω ) .

probabilit i condi ionate
PROBABILITĂŢI CONDIŢIONATE

Definiţie: Fie A,B ⊂Ω. Numărul notat PB(A) definit prin:PB(A)=P(A∩B)/P(B)

P(B) ≠ 0, se numeşte probabilitate a evenimentului A condiţionată de evenimentul B.

TEOREMĂ : Fie A,B,C…evenimente ale unui univers Ω.Atunci:

1) P(A∩B)=P(A) PA(B)

2) P(A∩B∩C)=P(A) PA(B) PA∩B(C)

evenimente independente
EVENIMENTE INDEPENDENTE

Definiţie :

1)Fie A,B⊂Ω. Evenimentele A,B sunt

independente dacăP(A∩B) =P(A) P(B).

În caz contrar,evenimentele sunt dependente.

2)Fie A,B,C⊂Ω. Evenimentele A,B,C sunt

independente dacă:

P(A∩B) = P(A) P(B) , P(A∩C) = P(A) P(C),

P(B∩C) = P(B) P(C), P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C).

variabile aleatoare
VARIABILE ALEATOARE

Definiţie : Fie (Ω, P(Ω), P) un câmp de probabilitate. Orice aplicaţie X : Ω  ℝ,

se numeşte variabilă aleatoare relativă la probabilitatea P.

Definiţie : O variabilă aleatoare se numeşte discretă dacă are o mulţime finită, sau numărabilă de valori. O variabilă aleatoare se numeşte continuă dacă are ca mulţime de valori un interval mărginit al dreptei reale.

slide36
Variabilele aleatoare întâlnite în practică sunt de două tipuri: calitative sau cantitative.

Variabilele aleatoare calitative au, de obicei, un număr mic de valori distincte.

Variabilele aleatoare cantitative sunt mărimi măsurabile, cum ar fi numărul de defecţiuni care se identifică la controlul unui aparat electronic, înălţimea unor plante,greutatea corporală a unor oameni, sumele depuse de clienţi la o bancă etc.

slide37
A.Caracteristici de poziţie ale unei variabile aleatoare X, pentru care P(X=xi)=pi, i=1,…,r.

*MEDIA este valoarea numerică asociată variabilei X care se calculează după formula :

M(X) = x1p1 + x2p2+ … + xrpr .

*MEDIANAeste o valoare numerică notată Me(X) , care împarte valorile lui X în două grupe de probabilităţi aproximativ egale. Ea se defineşte astfel : Se consideră valorile variabilei ordonate crescător ,

x1 ≤ x2 ≤ ...≤ xr. Mediana este acea valoare a variabile X care satisface proprietăţile P(X<Me(X)) ≤ 1/2,

P(X ≤ Me(X)) ≥ 1/2.

*MOD-UL (sau dominanta), notat Mo(X) , este valoarea (unică sau nu) care are probabilitatea cea mai mare de apariţie.

slide38
B. Caracteristici de împrăştiere ale unei variabile aleatoare X, pentru care P(X=xi)=pi, i=1,...,r.

*DISPERSIA este valoarea numerică asociată variabilei X care se calculează după formula

DxD(X)=(x1 – M(X))(x1 – M(X))p1+ … + (xr – M(X))(xr – M(X))pr

*ABATEREA MEDIE STANDARD este egală cu rădăcina pătrată pozitivă a dispersiei.

*AMPLITUDINEA este egală cu diferenţa dintre cea mai mare şi cea mai mică dintre valorile variabilei X

A(X) = max{x1,...,xr} - min{x1,...,xr}

scheme clasice de probabilitate
SCHEME CLASICE DE PROBABILITATE

1. SCHEMA LUI POISSON

P(x) = (p1x + q1)(p2x + q2)…(pnx + qn)

2.SCHEMA LUI BERNOULLI

slide40
* PROIECT REALIZAT DE

STANCIU RALUCA

clasa a X a A

*LICEUL “ION NECULCE”

*Profesor coordonator:

CARMEN TAFLARU