1 / 22

Aktsiahindade mudel

Aktsiahindade mudel. Browni liikumine. Robert Brown (1773-1858), botaanik Uuris läbi mikroskoobi terakest veepinnal… …ja avastas väga ebakorrapärase liikumise Robert Kitt proovis seda liikumist järgi teha. Viskasin 2*100 000 korda kulli-kirja

kimberly-woods
Download Presentation

Aktsiahindade mudel

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Aktsiahindade mudel

  2. Browni liikumine • Robert Brown (1773-1858), botaanik • Uuris läbi mikroskoobi terakest veepinnal… • …ja avastas väga ebakorrapärase liikumise Robert Kitt proovis seda liikumist järgi teha. Viskasin 2*100 000 korda kulli-kirja Kui tuli kull, liikusin paremale, kui kiri vasakule… märkisin oma asukoha üles ja…

  3. …sain näiteks sellise pildi

  4. Browni liikumine ajas

  5. Juhuslikud protsessid • … on sellised protsessid, kus objekti käitumine on kirjeldatav mingi tõenäosusfunktsiooniga • Näiteks on kulli-kirja viskamine juhuslik protsess • Protsessidel võib olla mälu • Edasine käitumine sõltub eelnevast

  6. Random walk • Random walk on juhuslik protsess • Oodatav tulemus on null: E(x) = ½ x (+1) + ½ x (-1) = 0 • Ilmselt aga ükski ekslemine reaalselt nulli ei jõua… • …ta hajub ning teda saab kirjeldada standardhälbega: keskmine erinevus keskmisest • Kaugus x-teljest on võrdeline ruutjuurega ajast

  7. 12 juhuslikku ekslemist

  8. Normaaljaotus

  9. Standardhälve ja normaaljaotus

  10. Aktsiate hinnad • Aktsiate hinnad on lühikeses perspektiivis juhuslikud • Võivad liikuda nii üles, kui alla • Hindade modelleerimiseks kasutatakse juhuslikku ekslemist • Black-Scholes’i analüüs välistab aegrea mälu

  11. Wieneri protsess • Asukoha muutus ajaühikus on võrdne Δz = ε • ε on normeeritud muutuja • Suvalise ajavahemiku ΔT jaoks on Δz väärtused sõltumatud • Δz väärtused on normaajaotusega (z0=0) Δz ~ N (0, )

  12. Üldistatud Wieneri protsess • Asukoha muutus ajaühikus on võrdne: Δx = aΔt + bΔz • Juhuslikule protsessile on lisatud kasvumäär • XT väärtused on normaajaotusega XT~ N (z0+ aΔt, b )

  13. Ito protsess • Üldistatud Wieneri protsess; parameetrite väärtused sõltuvad ajast ja süsteemi olekust • Kasv = a(t, XT) • Hälve = b(t, XT) Δx = a(t,Xt)Δt + b(t,Xt)Δz • Selliseid protsesse eriti palju ei ole

  14. Aktsiahindade mudel • r – aktsia tulusus => r x S x Δt = aktsia hinnatõus lühikeses ajaperioodis • σ – aktsia volatiilsus => σ2 x S2 x Δt = aktsia hinnamuutuse dispersioon lühikeses ajaperioodis • Kuna a ja b (r ja σ) sõltuvad aktsia hinnast, siis on Aktsiate hinnad kirjeldatavad Ito protsessiga

  15. Riski mõõtmine - standardhälve Aastatootluste jaotus Keskmine Aastatootlus Risk standardhälve Suurettevõtete aktsiad 12.2% 20.5% Väikeettevõtete aktsiad 16.9% 33.2% USA valitsuse võlakirjad 5.8% 9.4% USA valitsuse <1a võlakirjad 3.2% 3.8% Inflatsioon 4.4% 3.1% Allikas: Ibbotson Associates, 2003

  16. Standardhälve ja normaaljaotus Näide: Suurettevõtete aktsiad Keskmine tootlus 12.2% Kolme-Sigma reegel: 99.74% juhtudest jääb tootlus kolme standardhälbe sisse

  17. Aktsiahindade üldvalem • dS= rSdt+σSdz dS/S = r dt + σdz • Näide • Olgu: r = 15%; σ = 25%; S=140; t=1 nädal • ΔS = 140 (0,15*0,0192 + 0,25*ε*0,1387) • ΔS = 140 (0,00288 + ε*0,03468) • ΔS = 0,4032 + ε*4,8552 • Tõenäosusega 99,72% on aktsia hind nädala pärast: 125,84<S<154,97

  18. Ito lemma • Olgu funktsioon G argumentidega t, Xt • Ito lemma väidab, et kui X(t,Xt) on Ito protsess ja kehtib valem…: • …siis on ka G(t,Xt) Ito protsess

  19. Aktsiate hinnad ja Ito lemma • Ito lemma aktsiahindade mudeli kohta: • Selgub, et nii funktsioon G kui ka aktsia hind S sõltuvad ühest ja samast juhuslikust muutujast z!

  20. Aktsiate hindade log-normaalne omadus • Ito lemmast tuleneb, et aktsiate hindade muutused on jaotunud log-normaalselt • G = ln S => • G’=1/S; G’’=-1/S2 • dG = [(1/S)rS+0+½(-1/S2)σ2S2]dt + (1/S) σSdz • dG = (r - σ2/2)dt + σdz => ln St~Φ(ln S + (r - σ2/2)t,σ )

  21. Black-Scholesi analüüs • Ito funktsioon G ja aktsiahindade mudel S sõltusid ühest ja samast juhuslikust muutujast z. Koostame aktsiale derivaadi f • Koostame portfelli, kus on: • -1 derivatiivi f • df/dS aktsiat S • P = -f + (df/dS)S • Portfelli muutus aktsia hinna muutudes: ΔP = -Δf + ΔS(df/dS)

  22. Black-Scholesi valem • Portfelli hind ei sõltu juhuslikust muutujast. Seega peaks portfell olema riskivaba – täpsemalt teenima intressi rf • Saadakse Black-Scholesi teist järku osatuletistega diferentsiaalvõrrand, mille lahendamisel saadakse Euroopa tüüpi optsiooni hindamise valemid

More Related