MÉTODOS PARA EL CÁLCULO APROXIMADO DE Y DE OTRAS SUPERFICIES IRREGULARES

1. MÉTODOS PARA EL CÁLCULO APROXIMADO DE Y DE OTRAS SUPERFICIES IRREGULARES Realizado por: María dávilacabanillas Cristina garcíamotiño

2. DESARROLLAREMOS EL CÁLCULO DE POR DIRERENTES MÉTODOS: BASADO EN APROXIMAR LA SUPERFICIE A UNA POLIGONAL Y CONTAR PUNTOS TEOREMA DE PICK GEOMÉTRICOS BASADO EN LA TRIANGULACIÓN Y PRODUCTO VECTORIALES. MÉTODO DEL AGRIMENSOR BASADO EN LA GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS PARA ESTIMAR PROBABILIDADES PROBABILÍSTICOS MÉTODO DE MONTECARLO • BASADO EN LA SIGUIENTE DEDUCCIÓN: • OBTENCIÓN DEL ÁREA DEL NÚCLEO URBANO DE ZALAMEA DE LA SERENA • CONCLUSIONES Y ERRORES COMETIDOS

3. INTRODUCCIÓN A lo largo de la historia, el cálculo de ha mejorado a medida que se han ido desarrollando herramientas matemáticas más potentes y complejas Una de las referencias más antiguas del valor de  se encuentra en la Biblia. Los trabajos de Arquímedes de Siracusa, marcan un antes y un después en el cálculo de , desarrollando LOS INICIOS Del cálculo integral inscribe y circunscribe sendos hexágonos en una circunferencia 6 < 2 < 4 CON 96 LADOS: 3,14084507 <  < 3,14285714. El holandés Willeford Snell (1580-1626) llegó a calcular 35 cifras decimales exactas utilizando polígonos de 2³ºlados.

4. la invención del cálculo diferencial e integral por Leibniz y Newton cambia el enfoque a la hora de intentar calcular el número • EULErencontró series que permiten calcular el valor de  • LEIBNIZ descubrió la siguiente fórmula

5. Con el uso de los ordenadores, en la segunda mitad del siglo XX se ha podido calcular el valor de  con una exactitud inimaginable hasta el momentoy UTILIZANDO para ello técnicas anteriormente imposibles DE EMPLEAR EJEMPLO: TÉcnicas probabilísticas (MÉTODO DE MONTECARLO) HOY EN DÍA, EL CÁLCULO DE UN VALOR ACEPTABLEMENTE BUENO DE  ESTÁ AL ALCANCE DE UN PAR DE ALUMNAS DE 4º DE ESO

6. TEOREMA DE PICK El teorema de Pick fue descubierto por George pick nacido en Venecia en 1859. I= PUNTOS INTERIORES QUE COINCIDEN CON LOS NODOS DE LA CUADRÍCULA B= PUNTOS DEL BORDE QUE COINCIDEN CON LOS NODOS DE LA CUADRICULA Para ver la utilidad de este método lo hemos aplicado para calcular al área del núcleo urbano de la población de Zalamea de la Serena hemos aproximado la superficie de Zalamea de la Serena por una poligonal cuyos vértices coincidan con los de la cuadrícula. Como cada unidad de superficie es un cuadrado de 100 metros de lado, obtenemos el siguiente valor aproximado del núcleo urbano de Zalamea de la SerenA

7. MÉTODO DEL AGRIMENSOR • superponemos sobre este polígono un sistema de ejes coordenados • Comenzando por un vértice cualquiera numeramos de forma consecutiva, en sentido horario o antihorario : Y aplicando la fórmula:

8. Numeramos los puntos en el eje de coordenadas que hemos elegido y utilizando una hoja de cálculo Excel hallamos el área. 1ª COLUMNA: PUNTOS NUMERADOS APLICANDO LA FÓRMULA obtenemos 100,5 unidades cuadradas, igual RESULTADO que empleando la fórmula de Pick. 2ª Y 3ª COLUMNAS: COORDENADAS X e Y 4ª COLUMNA: 5ª COLUMNA:

9. MÉTODO DE MONTE CARLO • permite resolver problemas físicos y matemáticos mediante la simulación de variables aleatorias Al lanzar un dardo aleatorio sobre el cuadrado, la probabilidad de que éste caiga dentro del círculo debe ser proporcional al área del círculo • MULTIPLICANDO EL ÁREA DEL CUADRADO 2X2 POR LA PROPORCIÓN ANTERIOR OBTENDREMOS NUESTRA APROXIMACIÓN DE

10. área del núcleo urbano de la población de Zalamea de la Serena Al lanzar 200 puntos Al lanzar 100 puntos Al lanzar 400 puntos • cuantos más puntos aleatorios son generados, menor es el error cometido

11. CÁLCULO APROXIMADO DE

12. Hallaremos el área de un cuarto de círculo de radio unidad sobre el que se ha superpuesto una cuadrícula dividiendo su radio 2, 4, 10, 12 y 50 partes iguales radio en 2 partes Como el radio, lo hemos dividido en dos partes de 0,5 cada una, cada unidad cuadrada tendrá un valor de 0,25 FÓRMULA DE PICK

13. radio en 10 partes radio en 4 partes radio en 50 partes radio en 12 partes

14. MÉTODO DEL AGRIMENSOR CUADRANTE DE RADIO UNIDAD EN EJES COORDENADOS Se ha diseñado para ello una hoja de cálculo, TENIENDO EN CUENTA LOS DATOS ANTERIORES

15. Aproximaciones sucesivas: Se han realizado los cálculos escogiendo los puntos formando entre ellos ángulos de 15º, 10º, 5º, 2º, 1º, 0’5º, 0’2º, 0’1º, 0’05º, 0’02º y 0’01º. A continuación se exponen los resultados obtenidos:

16. MÉTODO DE MONTECARLO LANZAMOS una serie de puntos aleatorios sobre un cuadrado de lado 2 en el que se ha inscrito una circunferencia de radio la unidad centrada en el origen de coordenadas. Para aplicar el método de Montecarlo, calcular el valor de  y el error cometido, se ha utilizado una hoja de cálculo como la siguiente:

17. Columna A: los puntos lanzados aleatoriamente; • COLUMNAS B y C:las coordenadas x e y de dichos puntos, obtenidos con la fórmula matemática =ALEATORIO() que nos aporta la hoja de cálculo. • columna D: aplicamos una fórmula (prueba_lógica) como se aprecia en la imagen que nos determina si la distancia del punto lanzado al origen es menor que 1 y por tanto, si el punto está dentro del círculo • columna E: suma el total de puntos que están dentro del círculo • COLUMNA f: se calcula el valor de . Como ya se ha visto con anterioridad cuando fue expuesto el método de Montecarlo

18. Se han realizado cálculos lanzando más de 200 000 puntos La siguiente tabla resume los resultados obtenidos:

19. CONCLUSIONES • MÉTODO DE PICK: FACILIDAD DE APLICACIÓN Y RESULTADO BASTANTE ACEPTABLE TANTO EN EL CÁLCULO DE ÁREA IRREGULARES COMO EL CÁLCULO DE PI, EN EL QUE SE HA LLEGADO A UN VALOR DE 3,1456 CON UN ERROR RELATIVO DE 0,1783 %. • MÉTODO DEL AGRIMENSOR: NECESITA DE CÁLCULO ALGO MÁS ELABORADOS, OBTENIENDO EN EL CÁLCULO DE ÁREAS IRREGULARES EL MISMO RESULTADO QUE EL MÉTODO DE PICK Y DANDONOS UN RESULTADO DE PI DE 3,14159264 CON UN ERROR RELATIVO MUY BAJO, 0’00000050696390561254 % • MÉTODO DE MONTECARLO: NECESITA HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS PARA SU CÁLCULO Y EL LANZAMIENTO DE DEMASIADOS PUNTOS PARA OBTENER UN RESULTADO ACEPTABLE, CONCLUYENDO QUE PARA SUPERFICIES IRREGULARES SÍ SE OBTIENEN RESULTADO SIMILARES QUE EN LOS ANTERIORES. SIN EMBARGO PARA EL CÁLCULO DE CON UN LANZAMIENTO DE 200.000 PUNTOS, LA APROXIMACION OBTENIDA NO ES NADA BUENA CON UN VALOR DE 3,13942. • Como conclusión final, el método del Agrimensor es el que ha resultado ser más eficiente para el cálculo aproximado de áreas en general y deen particular, puesto que se puede aplicar con ayuda de una hoja de cálculo y aproximar cuanto se desee, introduciendo más puntos con coordenadas conocidas como vértices de un polígono que aproxime el área que se pretenda calcular.