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Cálculo combinatório

Cálculo combinatório. Princípios de contagem. Os elementos de um conjunto finito podem ser agrupados de várias formas, de acordo com os critérios utilizados na formação dos agrupamentos.

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Cálculo combinatório

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Presentation Transcript

  1. Cálculo combinatório Prof. Jorge

  2. Princípios de contagem • Os elementos de um conjunto finito podem ser agrupados de várias formas, de acordo com os critérios utilizados na formação dos agrupamentos. • O objetivo do cálculo combinatório é determinar de quantas maneiras diferentes podem ser formados os vários tipos de agrupamentos. • Os processos de contagem se baseiam em dois princípios fundamentais, que passaremos a estudar agora. Prof. Jorge

  3. Princípios de contagem • Princípio Aditivo de contagem; • Princípio multiplicativo de contagem. Prof. Jorge

  4. Princípio aditivo de contagem • Vamos considerar o seguinte problema Suponhamos que para se deslocar de casa até o trabalho, uma pessoa tenha as seguintes alternativas: • Um de seus dois automóveis (A1 e A2); • Uma das três linhas de ônibus que fazem o trajeto (O1, O2 e O3); • O metrô (M). Prof. Jorge

  5. Princípio aditivo de contagem • De quantas maneiras diferentes ela poderia escolher o seu transporte? hipóteses: Automóvel ou Ônibus ou Metrô O1 O2 O3 M opções: A1 A2 1 opção 2 opções 3 opções Portanto, a pessoa pode ir para o trabalho de: 2 + 3 + 1 = 6 maneiras diferentes Prof. Jorge

  6. Princípio aditivo de contagem Suponhamos que existam duas hipóteses para ocorrer um evento. Se houver m opções para a primeira hipótese e n opções para a segunda hipótese, o evento pode ocorrer de m + n maneiras diferentes. Esse princípio se estende para o caso de três ou mais hipóteses. Prof. Jorge

  7. Princípio multiplicativo de contagem • Vamos considerar o seguinte problema Suponhamos que um estudante pretenda escolher um conjunto tênis – calça - camiseta para ir à escola e que ele tenha como alternativas, • Dois pares de tênis (T1 e T2); • Quatro calças jeans (J1, J2, J3 e J4); • Três camisetas (C1, C2 e C3). Prof. Jorge

  8. Princípio multiplicativo de contagem • De quantas maneiras diferentes ela poderia fazer sua escolha? Etapas: Tênis e Jeans e camiseta J1 J2 J3 J4 C1 C2 C3 opções: T1 T2 2 opções 4 opções 3 opções Portanto, a pessoa pode fazer sua escolha de: 2 . 4 . 3 = 24 maneiras diferentes Prof. Jorge

  9. Árvores de possibilidades 1ª etapa: escolha do tênis 2ª etapa: escolha do jeans 3ª etapa: escolha da camiseta Resultado C1 T1J1C1 T1J1C2 C2 J1 T1J1C3 C3 C1 T1J2C1 T1J2C2 C2 J2 T1J2C3 C3 T1 C1 T1J3C1 J3 C2 T1J3C2 T1J3C3 C3 T1J4C1 C1 T1J4C2 C2 J4 C3 T1J4C3 Prof. Jorge

  10. Árvores de possibilidades 1ª etapa: escolha do tênis 2ª etapa: escolha do jeans 3ª etapa: escolha da camiseta Resultado C1 T2J1C1 T2J1C2 C2 J1 T2J1C3 C3 C1 T2J2C1 T2J2C2 C2 J2 T2J2C3 C3 T2 C1 T2J3C1 J3 C2 T1J3C2 T2J3C3 C3 T2J4C1 C1 T2J4C2 C2 J4 C3 T2J4C3 Prof. Jorge

  11. Princípio multiplicativo de contagem Suponhamos que um evento se componha de duas etapas independentes. Se a primeira etapa pode ocorrer de m maneiras e a segunda etapa, de n maneiras, então, o evento pode ocorrer de m . n maneiras diferentes. Esse princípio se estende para o caso de três ou mais etapas. Prof. Jorge

  12. Princípios de contagem • Os princípios aditivo e multiplicativo são a base para resolução de problemas de cálculo combinatório. Por isso, deve ficar muito clara a distinção entre os dois princípios. • A conjunção ou liga duas hipóteses e está associado à adição. • A conjunção e liga duas etapas e está associado à multiplicação. Prof. Jorge

  13. Exemplos • A cantina do meu colégio vende 4 tipos de salgados e 5 marcas de refrigerante. De quantas formas distintas posso escolher meu lanche (um salgado e um refrigerante)? O evento se compõe de duas etapas: 1ª etapa 2ª etapa escolha do salgado e escolha do refrigerante 4 opções 5 opções Pelo, P.M.C., temos 4 . 5 = 20 maneiras diferentes Prof. Jorge

  14. Exemplos • Uma igreja tem 4 portas. Quando vai lá, Marisa sempre entra por uma porta e sai por outra. De quantas formas diferentes ela pode fazer isso? O evento se compõe de duas etapas: 1ª etapa 2ª etapa entrada e saída 4 opções 3 opções Pelo, P.M.C., temos 4 . 3 = 12 maneiras diferentes Prof. Jorge

  15. Exemplos • Valéria mora num país muito desenvolvido. Há várias estradas que ligam sua cidade A a duas cidades vizinhas B e C. Valéria vai muito à cidade B. Às vezes sem passar por C; outras vezes, passando primeiro por C. Quantos trajetos diferentes ela pode fazer? A B C Prof. Jorge

  16. Exemplos • Valéria mora num país muito desenvolvido. Há várias estradas que ligam sua cidade A a duas cidades vizinhas B e C. Valéria vai muito à cidade B. Às vezes sem passar por C; outras vezes, passando primeiro por C. Quantos trajetos diferentes ela pode fazer? O evento se compõe de duas hipóteses: 1ª hipótese 2ª hipótese A → C A → B 3 trajetos ou e 2 . 3 = 6 2 trajetos 4 trajetos C → B Valéria poderá fazer 4 + 6 = 10 trajetos diferentes. Prof. Jorge

  17. Exemplos • Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números podem ser formados, de 3 ou 4 algarismos? O evento se compõe de duas hipóteses: 1ª hipótese 2ª hipótese 3 algarismos 4 algarismos ou 4 etapas 3 etapas Prof. Jorge

  18. Exemplos • Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números podem ser formados, de 3 ou 4 algarismos? Números de 3 algarismos: 1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa 1º alg. 2º alg. 3º alg. 7 opções 7 opções 7 opções Pelo, P.M.C., são 7.7.7 = 343 números de 3 algarismos Prof. Jorge

  19. Exemplos • Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números podem ser formados, de 3 ou 4 algarismos? Números de 4 algarismos: 1ª etapa 4ª etapa 2ª etapa 3ª etapa 4º alg. 1º alg. 2º alg. 3º alg. 7 opções 7 opções 7 opções 7 opções Pelo, P.M.C., são 7.7.7.7 = 2 401 números de 4 algarismos Podemos formar = 343 + 2 401 = 2 744 números Prof. Jorge

  20. Exemplos • Utilizando apenas os algarismos 1, 2, 4, 5, 7, e 9, quantos números naturais maiores que 7 000 e de 4 algarismos distintos podemos formar? O evento se compõe de quatro etapas: 1ª etapa 4ª etapa 2ª etapa 3ª etapa 4º alg. 1º alg. 2º alg. 3º alg. 3 opções 2 opções 5 opções 4 opções Pelo, P.M.C., temos 2.5.4.3 = 120 números Prof. Jorge

  21. Observação • Quando trabalhamos com os elementos de um conjunto, o princípio multiplicativo só é válido quando for importante a ordem de escolha dos elementos. Prof. Jorge

  22. Exemplo • A partir de um grupo de 4 pessoas (A, B, C e D), de quantas maneiras diferentes podemos formar uma comissão de 2 pessoas? O evento se compõe de duas etapas: 1ª etapa 2ª etapa escolha do 1º membro escolha do 2º membro 3 opções 4 opções Pelo, P.M.C., temos 4.3 = 12 comissões (incorreto) Prof. Jorge

  23. Exemplo • A partir de um grupo de 4 pessoas (A, B, C e D), de quantas maneiras diferentes podemos formar uma comissão de 2 pessoas? Veja as hipóteses reais (A, B) 1ª comissão (C, A) igual à 2ª (A, C) (C, B) igual à 4ª 2ª comissão (A, D) (C, D) 6ª comissão 3ª comissão (B, A) (D, A) igual à 3ª igual à 1ª (B, C) (D, B) igual à 5ª 4ª comissão (B, D) (D, C) igual à 6ª 5ª comissão Na verdade, a comissão pode ser formada de 6 maneiras diferentes. Prof. Jorge

  24. Agrupamentos ordenados e não-ordenados Prof. Jorge

  25. Agrupamentos • O objetivo do cálculo combinatório é contar. É descobrir de quantas formas diferentes podem ser agrupados os elementos de um conjunto finito, sob certas condições definidas previamente. Agrupamentos em que é importante a ordem em que seus elementos são dispostos são chamados agrupamentos ordenados.Agrupamentos em que não é importante a ordem em que os elementos são dispostos são chamados agrupamentos não-ordenados. Prof. Jorge

  26. Exemplos • A partir de um grupo de 5 estudantes (A, B, C, D e E), quais são as possíveis maneiras de se formar uma comissão de 3 pessoas? Pretende-se simplesmente escolher 3 pessoas entre as 5 disponíveis, não importando a ordem em que elas são dispostas. {A, B, C} {A, B, D} {A, B, E} {A, C, D} {A, C, E} {A, D, E} {B, C, D} {B, C, E} {B, D, E} {C, D, E} Há 10 maneiras possíveis de se formar a comissão. Cada uma delas é um agrupamento não-ordenado. Prof. Jorge

  27. Exemplos • A partir do mesmo grupo de 5 estudantes (A, B, C, D e E), quais são as possíveis maneiras de se formar a diretoria do grêmio estudantil, composta de presidente (P), vice-presidente (V) e tesoureiro (T)? (A, B, C) (A, C, B) (B, C, A) (C, A, B) (C, B, A) (B, A, C) (A, B, D) (A, D, B) (B, D, A) (D, A, B) (D, B, A) (B, A, D) (A, B, E) (A, E, B) (B, E, A) (E, A, B) (E, B, A) (B, A, E) (A, C, D) (A, D, C) (C, D, A) (D, A, C) (D, C, A) (C, A, D) (A, C, E) (A, E, C) (C, E, A) (E, A, C) (E, C, A) (C, A, E) (A, D, E) (A, E, D) (D, E, A) (E, A, D) (E, D, A) (D, A, E) (B, C, D) (B, D, C) (C, D, B) (D, B, C) (D, C, B) (C, B, D) (B, C, E) (B, E, C) (C, E, B) (E, B, C) (E, C, B) (C, B, E) (B, D, E) (B, E, D) (D, E, B) (E, B, D) (E, D, B) (D, B, E) (C, D, E) (C, E, D) (D, E, C) (E, C, D) (E, D, C) (D, C, E) Prof. Jorge

  28. Exemplos • Um grupo tem 5 pessoas (A, B, C, D, E). A seguir aparecem critérios para agrupá-los. Identifique se cada agrupamento é ordenado ou não-ordenado. NO a) Escolher 3 pessoas para irem a uma festa. b) Definir os 5 primeiros colocados num concurso. O c) Colocar 5 pessoas em fila. O d) Dar um mesmo presente a 4 dessas pessoas. NO e) Dar 4 presentes diferentes a 4 dessas pessoas. O Prof. Jorge

  29. Exemplos • Analise, em cada caso, se os agrupamentos são ordenados ou não-ordenados a) Números de 3 algarismos, formados a partir dos algarismos 3, 4, 7, 8 e 9. Ord. b) Códigos de 4 símbolos, escolhidos entre os elementos do conjunto {1, 3, 7, a, b, c}. Ord. c) Grupos de 5 alunos, escolhidos entre os 40 de uma sala, para participarem de um evento. N-Ord. Prof. Jorge

  30. Exemplos • Analise, em cada caso, se os agrupementos são ordenados ou não-ordenados d) Formas diferentes de colocar 10 livros lado a lado, em uma prateleira. Ord. e) Misturas obtidas juntando-se volumes iguais de 3 líquidos, escolhidos entre 6 disponíveis. N-Ord. f) Retas que podem ser formadas, ligando-se 2 a 2 um conjunto de 5 pontos não-alinhados. N-Ord. Prof. Jorge

  31. Permutação simples Prof. Jorge

  32. Permutação simples • Quantas e quais são as formas diferentes que 4 pessoas (A, B, C, D) podem ser colocadas em fila? Veja as possibilidades ABCD ABDC ACDB ADBC ADCB ACBD BACD BADC BCDA BDAC BDCA BCAD CABD CABD CBDA CDAB CDBA CBAD DABC DACB DBCA DCAB DCBA DBAC No total são 24 maneiras diferentes. ⇒ P4 = 24 • Dizemos que cada um desses agrupamentos ordenados é uma permutação simples de 4 elementos. Prof. Jorge

  33. Permutação simples • Permutação simples dos n elementos de um conjunto A é cada agrupamento ordenado que contém, sem repetição, os n elementos de A. O número de permutações simples de n elementos é indicado por Pn. Prof. Jorge

  34. Cálculo no total de permutação simples • A formação de todas as permutações simples de n elementos envolve n etapas, veja A → n elementos Etapas: E1 E2 E3 ... En Opções: n n – 1 n – 2 ... 1 Pn = n(n – 1)(n – 2). ... . 1 Prof. Jorge

  35. Exemplos • O número de permutações simples de 6 elementos é P6 = 6.5.4.3.2.1 = 720 • O número de permutações simples de 5 elementos é P5 = 5.4.3.2.1 = 120 • O número de permutações simples de 4 elementos é P4 = 24 = 4.3.2.1 • P3 = 3.2.1 = 6 Prof. Jorge

  36. Exemplos • Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. • Qual é o total de anagramas? • Quantos começam por consoante e terminam por vogal? • Quantos têm as letras R, S, O juntas, nesta ordem? • Quantos têm as letras R, S, O juntas, em qualquer ordem? Prof. Jorge

  37. Exemplos • Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. a) Qual é o total de anagramas? P8 = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40 320 anagramas Prof. Jorge

  38. Exemplos • Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. b) Quantos começam por consoante e terminam por vogal? A palavra tem 4 vogais e 4 consoantes. Cons. Vogal 4 opç. 4 opç. P6 = 4 . 4 . 6.5.4.3.2.1 4 . 4 . P6 = 11 520 Prof. Jorge

  39. Exemplos • Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. c) Quantos têm as letras R, S, O juntas, nesta ordem? U N I V E RSO P6 P6 = 6.5.4.3.2.1 = 720 Prof. Jorge

  40. Exemplos • Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra” (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. d) Quantos têm as letras R, S, O juntas, em qualquer ordem? P3 U N I V E RSO P6 P3 . P6 = 6 . 6.5.4.3.2.1 = 4320 Prof. Jorge

  41. Arranjo simples Prof. Jorge

  42. Arranjo simples • Com os algarismos 2, 4, 5 e 8 vamos formar todos os números possíveis de 3 algarismos distintos. Qual o total deles? Para formar cada número temos duas etapas: Escolhemos 3 algarismos Ordenamos os alg. escolhidos 2, 4, 5 245 254 425 452 524 542 2, 4, 8 248 284 428 482 824 842 2, 5, 8 258 285 528 582 825 852 4, 5, 8 458 485 548 584 845 854 • Dizemos que cada um desses números é um arranjo simples de 4 elementos, tomados 3 a 3. Prof. Jorge

  43. Arranjo simples • Arranjo simples dos n elementos de um conjunto A, tomados p a p (p ≤ n), é cada agrupamento ordenado que contém, sem repetição, p elementos de A. O número de arranjos simples de n elementos, tomados p a p, é indicado por An,p. • No nosso exemplo, A4,3 = 24 Prof. Jorge

  44. Cálculo no total de Arranjo simples • A formação de todos os arranjos simples de n elementos, tomados p a p, envolve p etapas, veja A → vamos escolher p entre os n elementos. Etapas: E1 E2 E3 ... Ep Opções: n n – 1 n – 2 ... n – (p – 1) An,p = n(n – 1)(n – 2). ... . (n – p + 1) Prof. Jorge

  45. Cálculo no total de Arranjo simples • No cálculo de An,p é importante perceber os significados de n e p. n → primeiro fator An,p p → número de fatores Prof. Jorge

  46. Exemplos 1.º fator → 4 • A4,3 = 4.3.2 = 24 Número de fatores → 3 1.º fator → 8 • A8,5 = 8.7.6.5.4 = 6 720 Número de fatores → 5 1.º fator → n • An+1,3 = (n + 1)n(n – 1) Número de fatores → 3 • An,p é o produto dos p números naturais consecutivos tomados decrescentemente a partir de n. Prof. Jorge

  47. Exemplos • Formei todos os arranjos simples com os elementos de um conjunto A, tomados 2 a 2. Eram 90 arranjos. Quantos são os elementos de A? An,2 = 90 ⇒ n(n – 1) = 90 ⇒ n = 10 Prof. Jorge

  48. Exemplos • Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar • De 4 algarismos? • Ímpares, de 3 algarismos? • Maiores que 70 000? Prof. Jorge

  49. Exemplos • Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar a) De 4 algarismos? A7,4 = 7.6.5.4 = 840 Prof. Jorge

  50. Exemplos • Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar b) Ímpares, de 3 algarismos? ímpar 5 opções A6,2 = 5 . 6.5 5 . A6,2 = 150 Prof. Jorge

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