Principi fisici: sforzi

1. principi fisici Principi fisici: sforzi La propagazione di onde elastiche nel sottosuolo è governata dalla relazione fra sforzi e deformazioni. La nozione elementare di sforzo è legata al bilancio delle azioni interne, fra le differenti parti di un corpo, in un determinato punto interno ad esso. Sia ΔS una porzione di superficie, di normale n, attorno al punto P. Si può definire: stress in P sulla superficie F Ft Fn t n S P Lo stress su ΔS ha 2 componenti, una normale ed una tangenziale Si può dimostrare che gli sforzi su qualunque ΔS passante per P sono noti se sono note le componenti di sforzo su tre piani (ortogonali), ovvero sulle facce di un cubo elementare: tensore di sforzo: x y Pyx Pyy Pyz ove per l’equilibrio: pyx=pxy, etc cioè vi sono solo 6 componenti indipendenti z

2. principi fisici Principi fisici: deformazioni Considerando due punti P (x, y, z) e Q (x+dx, y+dy, z+dz) di un solido non deformato, per uno spostamento s (ui, vj, wk) di P in P’ (x+u, y+v, z+w), Q si sposta di s+ds finendo in Q’ (x+dx+u+du, ...), ove ds (du, dv, dw) si può esprimere come: s+ds Q’ Q P P’ s Le nove derivate costituiscono un tensore che può essere scomposto in due componenti, una simmetrica ed una antisimmetrica; solo quella simmetrica corrisponde a deformazione del materiale: tensore di deformazione: (simmetrico exy = eyx)

3. principi fisici x1 u1 Principi fisici: deformazioni Le tre componenti sulla diagonale principale del tensore di deformazione corrispondono a deformazioni longitudinali, cui corrispondono anche variazioni di volume: Infatti la dilatazione cubica, ovvero la variazione relativa di volume, si esprime come: Le tre componenti fuori dalla diagonale corrispondono invece a deformazioni di taglio puro, cui corrisponde una variazione di volume nullo: u1 x1

4. principi fisici Principi fisici: relazioni sforzi-deformazioni, solido elastico lineare Un solido elastico è caratterizzato dalla proprietà che la deformazione in qualsiasi punto è nota conoscendo lo sforzo nello stesso punto. Il caso particolare nel quale le componenti della deformazione sono funzioni lineari omogenee delle componenti dello sforzo è chiamato elasticità perfetta, regolata dalla legge di Hooke. Molte delle proprietà delle onde sismiche sono descritte in maniera soddisfacente dalla legge di Hooke. Per uno stato di tensione monoassiale: pxx exx EE : modulo di Young (pyy = pzz = 0) E eyy  E ezz ν pxx ν : rapporto di Poisson =  e zz / e xx ν exx E Se lo stato di tensione è pluriassiale, vale la seguente equazione (pyy, pzz 0) E eii = (1+  ) pii (pxx + pyy + pzz) ma essendo si ha: ove sono note come costanti di Lamè

5. principi fisici Principi fisici: relazioni sforzi-deformazioni, solido elastico lineare È quindi possibile scrivere la legge di Hooke, in un sistema di riferimento qualsiasi, in forma tensoriale, nel seguente modo: ove ik : delta di Kronecker, ik= 0 (i  k); ik = 1 (i = k). Costanti elastiche • (1)Modulo di Young [Pa]: se tutte le componenti di stress sono nulle salvo quella agente lungo l’asse 1 • E= e11 /P11 P22 = 0 • Rapporto di Poisson [-]: nelle stesse condizioni di carico: • ν= -e22/ e11 • -1ν <0.5 (in pratica 0  ν <0.5) P11 P11

6. principi fisici P11 P220 Principi fisici: relazioni sforzi-deformazioni, solido elastico lineare • Modulo di taglio (o seconda costante di Lamè) [Pa]: • = p12 /(2 e12) • (4) Modulo di deformazione uniassiale [Pa]: in condizioni di deformazione laterale impedita: • e22 =0; • Modulo bulk [Pa]: lega la dilatazione cubica con l’invariante di sforzo P = p11+p22+p33: • Prima costante di Lamè [Pa]: λ definita in precedenza. • Nota: M = l+2m • NB!: per definire un mezzo elastico lineare bastano DUE delle sei costanti, le altre si ricavano con formule algebriche. p12 p12

7. principi fisici Principi fisici: onde P Sostituendo la Legge di Hooke per mezzi isotropi nell’equazione del moto (F= m a) otteniamo: (*) prendendo la divergenza di entrambi i membri dell’equazione (*) si ottiene: che è l’equazione delle onde per la propagazione della dilatazione cubica , con velocità: Questa è la dimostrazione che le onde di compressione esistono e si muovono con la velocità  in qualsiasi solido isotropo ed elastico. Le onde di compressione sono note come onde P, onde longitudinali o dilatazionali.

8. principi fisici Principi fisici: onde S Prendendo il rotore di entrambi i membri dell’equazione (*) e ricordando che si ha: che è l’equazione d’onda della propagazione di una perturbazione rotazionale, con velocità Questa è la dimostrazione della possibilità della propagazione di onde trasversali o rotazionali in un corpo elastico ed isotropo, che si muovono con velocità . Esse sono note come onde S, onde rotazionali o trasversali o di taglio. Considerando la propagazione dei fronti d’onda a grande distanza dalla sorgente, le onde possono essere considerati polarizzate su di un piano ortogonale alla direzione di propagazione. Le componenti orizzontali del moto delle particelle di tali onde, che costituiscono onde polarizzate su di un piano orizzontale, sono chiamate SH, mentre, nel caso verticale, prendono il nome di SV. Nota: (1) α>β, (a 2 b) cioè le onde di compressione sono più veloci delle onde di taglio (2) In fluido le onde S non si trasmettono, essendo questo caratterizzato dall’avere il modulo di taglio nullo (μ=0)

9. principi fisici Principi fisici: onde P ed onde S Onde P Onde S

10. principi fisici Principi fisici: energia delle onde sismiche • L’energia delle onde sismiche diminuisce con la distanza percorsa a causa di tre fenomeni: • Divergenza sferica • Attenuazione intrinseca (frizione) • scattering • (1) Divergenza sferica: si consideri un onda sferica sinusoidale: • L’energia cinetica per unità di volume è: • L’energia cinetica si trasforma in elastica e viceversa: l’energia totale è: • e l’intensità di energia che attraversa la superficie unitaria è: • Data la simmetria sferica e la conservazione dell’energia: ovvero:

11. principi fisici Principi fisici: energia delle onde sismiche • (2) assorbimento intrinseco • un’onda piana in un mezzo dissipativo e dispersivo avrà un’equazione del tipo: • Si definisce Fattore di Qualità il rapporto (f=frequenza, λ=lunghezza d’onda, v=velocità) • La definizione de Fattore di qualità si basa sul fatto che sperimentalmente γ è proporzionale alla frequenza, per cui il prodotto γλ è una costante (adimensionale). • Q risulta un parametro proprio del mezzo, e Q-1è l’attenuazione per lunghezza d’onda. • Tipicamente γ= 0.02÷0.16 dB/lunghezza d’onda, da cui: • Q=20 ÷ 150

12. principi fisici Principi fisici: energia delle onde sismiche (3) scattering L’energia delle onde si riduce anche per effetto di riflessioni e diffrazioni causate da eterogeneità lungo il percorso. Lo scattering si classifica in base al rapporto fra la lunghezza d’onda λ e la dimensione media delle eterogeneità a, ovvero al prodotto ka, dove k è il numero d’onda: • ka<<1, mezzo quasi omogeneo, le eterogeneità sono troppo piccole per essere viste, ma producono un’attenuazione apparente • ka0.1, la lunghezza d’onda è ancora grande rispetto alle eterogeneità, ma queste producono diffusione dell’energia (scattering di Rayleigh), è il caso più comune • ka=0.1÷10, le eterogeneità sono di grandi dimensioni (p.es. in discariche) e lo scattering si manifesta come un sovrapporsi di segnali confusi (scattering di Mie) sorgente

13. principi fisici sorgenti secondarie Principi fisici: Principio di Huygens Il fronte d’onda è ogni superficie nei cui punti l’onda che si propaga sia in fase. Il principio di Huygens afferma che ogni punto su una superficie d’onda può essere considerato una sorgente secondaria di onde sferiche. Il nuovo fronte d’onda è dato dall’inviluppo delle onde sferiche. fronte d’onda originario nuovo fronte d’onda Usando il principio di Huygens è facile comprendere i meccanismi di riflessione, rifrazione e diffrazione. Tuttavia invece di considerare la propagazione seguendo i fronti d’onda è spesso più facile tracciare raggi ortogonali ai fronti d’onda, per cui la propagazione delle onde viene spesso rappresentata tramite percorsi di raggi.

14. principi fisici Principi fisici: onde piane in mezzi stratificati • L’analisi viene usualmente condotta tramite onde piane. • In ogni strato omogeneo valgono le equazioni d’onda (P ed S). • Ad ogni interfaccia devono essere soddisfatte due condizioni: • equilibrio degli sforzi, normali e tangenziali • congruenza degli spostamenti, normali e tangenziali In modo empirico, la riflessione e la rifrazione ad ogni interfaccia può essere studiata usando il Principio di Huygens. 1 2

15. principi fisici Principi fisici: onde piane in mezzi stratificati La rifrazione delle onde sismiche all’interfaccia è governata dalle velocità delle onde nei due mezzi. La legge di Snell descrive la relazione geometrica fra raggio incidente e raggio rifratto: 1 2 La legge di Snell si può anche esprimere in termini di una costante detta parametro del raggio p, costante lungo lo stesso raggio. La legge di Snell si può dimostrare p.es. usando il Principio di Huygens. La legge di Snell descrive anche la riflessione all’interfaccia. Se l’onda riflessa è dello stesso tipo di quella incidente (p.es. P e P, o S ed S), allora l’angolo di riflessione è uguale a quello incidente.

16. principi fisici Principi fisici: onde piane in mezzi stratificati Passando da un mezzo più lento ad uno più veloce, il raggio si allontana dalla normale. 1 (1) se v2>v1 2 1 (2) se v2<v1 2 Se v2>v1, esiste un angolo di incidenza tale per cui l’angolo di rifrazione è pari a 90°. Questo angolo di incidenza è detto angolo critico .Per angoli di incidenza superiori, tutta l’energia (relativa a quel tipo di onde) viene riflessa. Per la legge di Snell: 1 2

17. principi fisici Principi fisici: onde piane in mezzi stratificati La ripartizione dell’energia all’interfaccia dipende dal contrasto di velocità e dell’angolo di incidenza. P.es. per un’onda P ad incidenza normale: Coefficiente di riflessione Arifl Aincid 1 2 Atrasm Coefficiente di trasmissione Zi=ρivi è detta impedenza acustica del mezzo i-esimo; contatto R arenaria/calcare 0.20 tipica interfaccia superficiale 0.045 tipica interfaccia profonda 0.023 fondo oceanico soffice 0.33 fondo oceanico duro 0.67 oceano/atmosfera (da sotto) -0.9994 base dell’areato 0.68 nota che se R<0, questo indica un’inversione di fase dell’onda riflessa è detta

18. principi fisici Principi fisici: diffrazione distanza tempo

19. RIFLESSIONE OFFSET ≠ ZERO DIFFRAZIONE OFFSET = 0 x x t0v/2 z=t0v/2 tv/2 NMO

20. principi fisici Principi fisici: onde di superficie Un caso particolarmente interessante è considerare come mezzo superiore il vuoto. Si consideri ancora una perturbazione contenente componenti di P e di SV. Si osserva la generazione di onde di superficie dalla interferenza costruttiva di onde di corpo in connessione con la superficie libera. La condizione al contorno è che le componenti di stress si annullino per z=0. Le onde che si generano hanno velocità e compresa tra 0 e β (velocità delle onde S nel mezzo); tali onde sono smorzate esponenzialmente all’aumentare di z. [Onde simili si propagano all’interfaccia fra due mezzi e si chiamano Onde di Stoneley] Queste onde si chiamano Onde di Rayleigh o Ground Roll.

21. principi fisici Principi fisici: onde di Rayleigh Il moto delle particelle è ellittico, retrogrado alla superficie, progressivo in profondità. Sia il moto orizzontale che quello verticale decadono esponenzialmente con la profondità. piano nodale

22. principi fisici Principi fisici: onde di Rayleigh L’energia di una sorgente superficiale (p.es. un maglio) viene convertita per 2/3 in onde di Rayleigh. Per convertire un maggior % di energia in onde di volume (P e S) la sorgente (esplosivo) va interrata, spesso in pozzetti profondi anche qualche decina di metri. La velocità delle onde di Rayleigh è circa uguale al 90% della velocità delle onde S nello stesso mezzo. Le onde di Rayleigh in un mezzo omogeneo sono non dispersive (ovvero la velocità non dipende dalla frequenza).

23. principi fisici S P h Principi fisici: onde rifratte criticamente Abbiamo visto che se un mezzo più lento sta sopra un mezzo più veloce, esiste un angolo di incidenza critico. L’energia corrispondente viaggia con incidenza radente nel mezzo più veloce e ogni punto dell’interfaccia può ritrasmettere energia nel mezzo a velocità più bassa. Sfruttando il principio di Huygens si ricostruisce facilmente l’angolo di emergenza per i piani a fase costante re-irradianti energia, uguale a quello critico. Nota che la teoria delle onde piane non prevede che ci sia energia trasportata secondo queste traiettorie. Il paradosso trova soluzione se si considera che i fronti d’onda sono curvi.  

24. principi fisici Principi fisici: tipiche velocità Materiale Aria Acqua Petrolio suolo superficiale Neve Ghiaccio in ghiacciai (funzione della temperatura) Sabbia sciolta non satura Sabbia sciolta satura Morena Sabbia r ghiaia superficiale Sabbia r ghiaia a 2 km di profondità Argilla Permafrost Arenaria Calcare soffice Calcare duro Dolomia salgemma Gesso Argilliti Graniti Basalti Gabbro Serpentinite Gneiss Marmo Vp (m/s) 330 1450-1530 1300-1400 100-500 350-3000 3000-4000 200-2000 1500-2000 1500-2700 400-2300 3000-3500 1000-2500 1500-4900 1400-4500 1700-4200 2800-7000 2500-6500 4000-5500 2000-3500 2000-4100 4600-6200 5500-6500 6400-7000 5500-6500 3500-7600 3800-7000

25. principi fisici Principi fisici: tipiche velocità I fattori preponderanti che controllano la velocità delle onde sismiche sono: 1. porosità (che dipende dalla profondità) 2. Contenuto di fluidi Dalla porosità deriva la densità “bulk” (complessiva) della roccia ρb, nei cui termini è espressa la relazione di Gardner: ove a è una costante empirica. Molto nota è l’equazione cosiddetta di media temporale o di Wyllie (1958): ove è la porosità, V è la velocità della roccia, Vf è la velocità del fluido, Vm è la velocità della matrice solida. Esistono moltissime relazioni semi-empiriche che legano velocità con altre grandezze (porosità, fluidi, saturazione, temperatura, profondità, etc). In ogni caso queste relazioni vanno intese come linee guida di prima approssimazione.

26. principi fisici Principi fisici: percorsi del segnale sismico e del rumore ONDA D’ARIA RICEVITORI DIRETTA RIVERBERAZIONI GROUND ROLL AREATO VW C RIFRATTE SUB-Areato VSW RIFLESSIONE V2,2 BASAMENTO

27. principi fisici Principi fisici: percorsi del segnale sismico Le dromocrone riflessioni