双対問題の導出式を足しあわせる方法 Lagrange 緩和相補性条件双対辞書主問題と双対問題（一般論）

　第5回双対問題　テキストp.42-56 内容 • 双対問題の導出式を足しあわせる方法Lagrange緩和 • 相補性条件 • 双対辞書 • 主問題と双対問題（一般論）第4回双対問題

引き続き，あなたは丼チェーン店の店長だ．今日，丼チェーンの本社から，自社農場で飼育している豚，鶏，牛の肉の価値を算出するよう指令が届いた．さて，トンコケ丼，コケトン丼，ミックス丼の販売価格から考えたとき，豚肉，鶏肉，牛肉の百グラムあたりの価値は何円と考えればよいのだろうか？引き続き，あなたは丼チェーン店の店長だ．今日，丼チェーンの本社から，自社農場で飼育している豚，鶏，牛の肉の価値を算出するよう指令が届いた．さて，トンコケ丼，コケトン丼，ミックス丼の販売価格から考えたとき，豚肉，鶏肉，牛肉の百グラムあたりの価値は何円と考えればよいのだろうか？問題こういうときは双対問題が便利双対問題＝もとの問題（主問題）と表裏一体を成す線形計画問題第4回双対問題

上界：主問題の最適解以上であることが保証されている値上界：主問題の最適解以上であることが保証されている値基本的アイディア：式を足し合わせることによって上界を計算式を足し合わせることによる導出第4回双対問題

目的関数は 15x1+18x2+30x3 の最大化 式を足し合わせることによる導出 15x1+18x2+30x3 の上界は1500 最適値は1230であったので270のギャップ第4回双対問題

目的関数は 15x1+18x2+30x3 の最大化 式を足し合わせることによる導出最適値は1230であったので90のギャップ第4回双対問題

目的関数は 15x1+18x2+30x3 の最大化 式を足し合わせることによる導出 ??? 第4回双対問題

これが15x1+18x2+30x3以上になるためには 式を足し合わせることによる導出の必要あり，このとき上界は最もよい（小さい）上界を与えるy1 ，y2， y3を求める問題は？第4回双対問題

仕入れ価格の最小化 双対問題トンコケ丼の価値豚肉と鶏肉の価値それぞれの肉の百グラムあたりの価値（単位は百円）第4回双対問題

最大化 15x1+18x2+30x3 最大化 15x1+18x2+30x3 +(60－2x1－x2－x3)y1 +(60－x1－2x2－x3)y2 +(30－x3)y3 Lagrange緩和による方法非負主問題最適値は主問題の上界第4回双対問題

最大化 15x1+18x2+30x3 +(60－2x1－x2－x3)y1 +(60－x1－2x2－x3)y2 +(30－x3)y3 最大化 (15－2y1－y2)x1 +(18－y1－2y2)x2 +(30－y1－y2－y3)x3 +60y1+60y2+30y3 Lagrange緩和による方法目的関数をx1,x2,x3についてまとめる第4回双対問題

最大化 (15－2y1－y2)x1 +(18－y1－2y2)x2 +(30－y1－y2－y3)x3 +60y1+60y2+30y3 最大化 (15－2y1－y2)x1 +(18－y1－2y2)x2 +(30－y1－y2－y3)x3 +60y1+60y2+30y3 Lagrange緩和による方法いくつかの条件を省く（緩和）線形計画問題だけでなく，一般的な最適化問題に対するフレームワーク Lagrange緩和問題第4回双対問題

なるべくよい（なるべく小さい）上界を得ることを考えるなるべくよい（なるべく小さい）上界を得ることを考える Lagrange緩和による方法最大化 (15－2y1－y2)x1 +(18－y1－2y2)x2 +(30－y1－y2－y3)x3 +60y1+60y2+30y3 ここが正だといくらでも大きくできる非正でなければならない他の係数についても同様この条件のもとで目的関数のxに依存しない部分を最小化第4回双対問題

双対問題 Lagrange緩和による方法最小化 60y1+60y2+30y3 第4回双対問題

定理（弱双対性（week duality）） 主問題の実行可能解の目的関数値は，双対問題の実行可能解の目的関数値以下である．弱双対性主問題の最適値が∞なら双対問題には実行可能解が存在しない双対問題の最適値が－∞なら主問題には実行可能解が存在しない第4回双対問題

より強いことも言える 定理（強双対性（strong duality））主問題が最適解をもつなら，その双対問題も最適解をもち，そのとき両者の目的関数は一致する．強双対性第4回双対問題

Lagrange緩和問題の目的関数に注目 15x1+18x2+30x3+(60－2x1－x2－x3)y1+(60－x1－2x2－x3)y2+(30－x3)y3 相補性条件主問題の目的関数（最大化） =0 (15－2y1－y2)x1+(18－y1－2y2)x2+(30－y1－y2－y3)x3+60y1+60y2+30y3 双対問題の目的関数（最小化） =0 さらに．．．第4回双対問題

xiは主問題の実行可能解なので yiは双対問題の実行可能解なので相補性条件が成り立つが成り立つ (60－2x1－x2－x3)y1+(60－x1－2x2－x3)y2+(30－x3)y3=0 各項は0以上，すなわち0 第4回双対問題

xiは主問題の実行可能解なので yiは双対問題の実行可能解なので相補性条件が成り立つが成り立つ (15－2y1－y2)x1+(18－y1－2y2)x2+(30－y1－y2－y3)x3=0 各項は0以下，すなわち0 つまり．．．第4回双対問題

主問題の最適解xiと主問題の最適解yiは 相補性条件 (60－2x1－x2－x3)y1=0 (60－x1－2x2－x3)y2=0 (30－x3)y3=0 (15－2y1－y2)x1=0 (18－y1－2y2)x2=0 (30－y1－y2－y3)x3=0 を満たさなければならない．原料の価格＞丼の価格ならば丼を作らない余った肉の価値は0でなければならない xiとyiが最適解であることの必要十分条件第4回双対問題

双対問題の辞書を作る 双対辞書最小化 60y1+60y2+30y3 =z 条件 2y1+ y2 -w1 =15 y1+ 2y2 -w2 =18 y1+ y2+ y3 -w3=30 余裕変数の導入第4回双対問題

最小化 60y1+60y2+30y3 =z 条件 2y1+ y2 -w1 =15 y1+ 2y2 -w2 =18 y1+ y2+ y3 -w3=30 双対辞書最小化問題を最大化問題に変換最大化 -60y1-60y2-30y3 =-z 条件 2y1+ y2 -w1 =15 y1+ 2y2 -w2 =18 y1+ y2+ y3 -w3=30 第4回双対問題

最大化 -60y1-60y2-30y3 =-z 条件 2y1+ y2 -w1 =15 y1+ 2y2 -w2 =18 y1+ y2+ y3 -w3=30 双対辞書辞書により表現初期双対辞書 -z = 0 -60y1-60y2-30y3 w1=-15+ 2y1+ y2 w2=-18+ y1+ 2y2 w3=-30+ y1+ y2+ y3 第4回双対問題

初期双対辞書 -z = 0 -60y1-60y2-30y3 w1=-15+ 2y1+ y2 w2=-18+ y1+ 2y2 w3=-30+ y1+ y2+ y3 双対辞書に対応する基底解は必ずしも実行可能になっていない双対辞書 (y1,y2,y3,w1,w2,w3)=(0,0,0,-15,-18,-30) 非負条件を満たしていない第4回双対問題

主問題の初期辞書と見比べると 初期辞書 z = 0+15x1+18x2+30x3 s1=60- 2x1- x2- x3 s2=60- x1- 2x2- x3 s3=30 - x3 初期双対辞書 -z = 0 -60y1-60y2-30y3 w1=-15+ 2y1+ y2 w2=-18+ y1+ 2y2 w3=-30+ y1+ y2+ y3 双対辞書係数を行列表現すると 0 –60 –60 –30 –15 2 1 0 –18 1 2 0 –30 1 1 1 0 15 18 30 60 –2 –1 –1 60 –1 –2 –1 30 0 0 –1 転置反転の関係第4回双対問題

初期辞書 z = 0+15x1+18x2+30x3 s1=60- 2x1- x2- x3 s2=60- x1- 2x2- x3 s3=30 - x3 初期双対辞書 -z = 0 -60y1-60y2-30y3 w1=-15+ 2y1+ y2 w2=-18+ y1+ 2y2 w3=-30+ y1+ y2+ y3 双対辞書 (x1,x2,x3,s1,s2,s3)=(0,0,0,60,60,30) (y1,y2,y3,w1,w2,w3)=(0,0,0,-15,-18,-30) 相補性条件 siyi=0 i=1,2,3 wjxj=0 j=1,2,3 を満たしている第4回双対問題

初期辞書 z = 0+15x1+18x2+30x3 s1=60- 2x1- x2- x3 s2=60- x1- 2x2- x3 s3=30 - x3 初期双対辞書 -z = 0 -60y1-60y2-30y3 w1=-15+ 2y1+ y2 w2=-18+ y1+ 2y2 w3=-30+ y1+ y2+ y3 双対辞書相補性条件 siyi=0 i=1,2,3 wjxj=0 j=1,2,3 1反復後の辞書 z =900+15x1+18x2-30s3 s1=30 - 2x1- x2+ s3 s2=30 - x1- 2x2+ s3 x3=30 - s3 1反復後の双対辞書 -z =-900-30y1-30y2-30w3 w1=- 15+ 2y1+ y2 w2=- 18+ y1+ 2y2 y3= 30- y1- y2+ w3 実行可能解でなければ多面集合の端点でもない基底解 (y1,y2,y3,w1,w2,w3)=(0,0,30,-15,-18,0) 第4回双対問題

1反復後の辞書 z =900+15x1+18x2-30s3 s1=30 - 2x1- x2+ s3 s2=30 - x1- 2x2+ s3 x3=30 - s3 1反復後の双対辞書 -z =-900-30y1-30y2-30w3 w1=- 15+ 2y1+ y2 w2=- 18+ y1+ 2y2 y3= 30- y1- y2+ w3 双対辞書相補性条件 siyi=0 i=1,2,3 wjxj=0 j=1,2,3 2反復後の双対辞書 -z =-1170- 15y1- 15w2-30w3 w1=- 6+3/2y1+1/2w2 y2= 9- 1/2y1+1/2w2 y3= 21- 1/2y1- 1/2w2+ w3 2反復後の辞書 z =1170+ 6x1- 9s2- 21s3 s1=15 -3/2x1-1/2s2+1/2s3 x2=15 -1/2x1-1/2s2+1/2s3 x3=30 - s3 基底解 (y1,y2,y3,w1,w2,w3)=(0,9,21,-6,0,0) まだ実行可能解でなければ多面集合の端点でもない第4回双対問題

2反復後の辞書 z =1170+ 6x1- 9s2- 21s3 s1=15 -3/2x1-1/2s2+1/2s3 x2=15 -1/2x1-1/2s2+1/2s3 x3=30 - s3 2反復後の双対辞書 -z =-1170- 15y1- 15w2-30w3 w1=- 6+3/2y1+1/2w2 y2= 9- 1/2y1+1/2w2 y3= 21- 1/2y1- 1/2w2+ w3 双対辞書相補性条件 siyi=0 i=1,2,3 wjxj=0 j=1,2,3 最終双対辞書 -z =-1230- 10w1- 10w2-30w3 y1 = 4+2/3w1-1/3w2 y2 = 7- 1/3w1+2/3w2 y3 = 19- 1/3w1- 1/3w2+ w3 最終辞書 z =1230- 4s1 - 7s2- 19s3 x1=10 - 2/3s1+1/3s2+1/3s3 x2=10 +1/3s1- 2/3s2+1/3s3 x3=30 - s3 基底解 (y1,y2,y3,w1,w2,w3)=(4,7,19,0,0,0) やっと実行可能解になった第4回双対問題

じつは わざわざ双対辞書を作らなくても主問題の最終辞書の目的関数式 z =1230- 4s1 - 7s2- 19s3 における係数符号を反転したものが最適な双対変数になっている最終双対辞書 -z =-1230- 10w1- 10w2-30w3 y1 = 4+2/3w1-1/3w2 y2 = 7- 1/3w1+2/3w2 y3 = 19- 1/3w1- 1/3w2+ w3 双対辞書基底解 (y1,y2,y3,w1,w2,w3)=(4,7,19,0,0,0) 豚肉は百グラム400円鶏肉は百グラム700円牛肉は百グラム1900円とするのが最適な価格付け第4回双対問題

双対問題の実行可能領域と双対辞書に対応する基底解の動き双対問題の実行可能領域と双対辞書に対応する基底解の動き双対辞書第4回双対問題

2種類の運賃クラスを考え， 高い方の運賃クラスを Y，安い方の運賃クラスを Q とする．残席数（図中の数字）を利益最大になるように顧客に割り振る．第4回双対問題

推定需要量 発地-着地（運賃クラス）　略称　需要量の推定値収益成田-ホノルル（クラスQ） NaHoQ 80 70000 成田-ハワイ（クラスQ） NaHaQ 70 85000 成田-マウイ（クラスQ） NaMaQ 50 79000 成田-ホノルル（クラスY） NaHoY 10 115000 成田-ハワイ（クラスY）　 NaHaY 20 140000 成田-マウイ（クラスY）　NaMaY 20 130000 Ｑ１．各運賃クラスを何人まで受け付けるか？Ｑ２．就航していないホノルル-ハワイ，ホノルル-マウイの価格は幾らに設定すれば良いか？何円以上なら受け付けるべきか？第4回双対問題

Excel Solver Yクラスはすべて受け入れ．Qクラスは20,20,10を上限に受け入れ．第4回双対問題

感度レポート（最適双対変数） NaHoの価値=70000 HoHaの価値=15000 （料金未設定の便） HoMaの価値=9000 （料金未設定の便）第4回双対問題

双対問題の導出式を足しあわせる方法 Lagrange 緩和相補性条件双対辞書主問題と双対問題（一般論）