Aula 2. Estimação I.

1. Aula 2. Estimação I. Capítulo 11, Bussab&Morettin “Estatística Básica” 7ª Edição

2. Estimar a proporção de pessoas favoráveis (desfavoráveis ) a politica de governo atual. distribuição populacional Estimar a vida média útil de novo tipo de lâmpada , e estimar a variância, sabendo que a distribuição é normal. distribuição populacional Estimação de parâmetros

3. Parâmetro = função qualquer da distribuição populacional população população Estatística = função qualquer da amostra amostra estimador de é estatística população amostra estimador de é estatística população estimador de é estatística

4. Dois possíveis procedimentos de estimação: • Estimação pontual - Para estimação de proporção vamos observar elementos, extraídos ao acaso e com reposição da população; - Para cada elemento selecionado, verificamos a presença (sucesso) ou não (fracasso) da característica de interesse. • Estimação intervalar

5. Exemplo:Sejam, : proporção de alunos da USP que foram ao teatro pelo menos uma vez no último mês, e : número de estudantes que respondem “sim” em uma pesquisa com n entrevistados. Suponha que foram entrevistados estudantes e que, desses, teriam afirmado que foram ao teatro pelo menos uma vez no último mês.

6. A estimativa pontual (proporção amostral) para é dada por: ou seja, 20% dos estudantes entrevistados afirmaram que foram ao teatro pelo menos uma vez no último mês. Note que, outra amostra de mesmo tamanho pode levar a uma outra estimativa pontual para .

7. Estimativa intervalar ou intervalo de confiança • Para uma amostra observada, os estimadores pontuais fornecem como estimativa um único valor numérico para o parâmetro. • Os estimadores pontuais são variáveis aleatórias e, portanto, possuem uma distribuição de probabilidade, em geral, denominada distribuição amostral. Idéia: construir intervalos de confiança, que incorporem à estimativa pontual informações a respeito de sua variabilidade (erro amostral). Intervalos de confiança são obtidos por meio da distribuição amostral do estimador pontual.

8. A estimativa intervalar corresponde a um intervalo determinado da seguinte maneira: sendo o erro amostral ou margem de erro. Pergunta: Como encontrar ?

9. Seja a probabilidade da estimativa pontual estar a uma distância de, no máximo, da proporção verdadeira , ou seja, A probabilidade é também denominada coeficiente de confiança do intervalo, que denotamos pela letra grega(gama). Afirma-se ainda que a estimativa intervalar tem coeficiente de confiança .

10. Formalmente, Como temos que, para grande, a variável aleatóriatem distribuição .

11. Deste modo, para n grande, onde .

12. Assim, podemos obter conhecendo-se (ou ). Denotando temos que Porexemplo, considere . é tal que . Pela tabela, temos .

13. Erro da estimativa intervalar Da igualdade é imediato mostrar que o erro amostral é dado por onde é tal que , com .

14. Intervalo de confiança para Vimos que a estimativa intervalar para tem a forma: com e tal que na Na prática, substituímos a proporção desconhecida pela proporção amostral , obtendo o seguinte intervalo de confiança com coeficiente de confiança :

15. No exemplo temos e . Construir um intervalo de confiança para com coeficiente de confiança . Como fornece , o intervalo é dado por: Nesse intervalo (), a estimativa pontual para é , com um erro amostral igual a .

16. Interpretação do IC com : Se sortearmos 100 amostras de tamanho n = 500 e construirmos os respectivos 100 intervalos de confiança, com coeficiente de confiança de 95%, esperamos que, aproximadamente, 95 destes intervalos contenham o verdadeiro valor de p. Comentários: Da expressão é possível concluir que: • para fixado, o erro diminui com o aumento de . • para fixado, o erro aumenta com o aumento de

17. Ainda no exemplo da USP, temos k = 100 e n = 500. Qual é a probabilidade da estimativa pontual estar a uma distância de, no máximo, 0,03 da proporção verdadeira? • Dados do problema: e • Como a proporção verdadeira é desconhecida, utilizamos a estimativa pontual para calcular e, assim, obter (ou).

18. Logo, obtemos Cálculo de z:

19. Exemplo6: Suponha que estamos interessados em estimar a proporção p de pacientes com menos de 40 anos diagnosticados com câncer nos pulmões que sobrevivem pelo menos 5 anos. Em uma amostra aleatoriamente selecionada de 52 pacientes, somente 6 sobreviveram mais de 5 anos. (proporção amostral) - Estimativa por ponto para p: - Intervalo de confiança aproximado de 95% para p:

20. Comentário: Embora esse intervalo tenha sido construído usando a aproximação normal para a distribuição binomial, poderíamos ter gerado um intervalo de confiança exato para p usando a própria distribuição binomial. Um intervalo exato é particularmente útil para pequenas amostras, em que o uso da aproximação normal não pode ser justificada.