AULA 2

1. EE –05 Princípios de Telecomunicações AULA 2 Análise de Fourier

2. Sinais e espectros • Os sinais são compostos de várias componentes senoidais (Série de Fourier) • Generalização  Transformada de Fourier

3. Aplicações • A análise da largura de faixa permitirá o dimensionamento do sistema e o seu adequado projeto. • Determinação da distribuição espectral de um sinal de microondas e do ângulo de chegada, através de uma transformada de Fourier espacial

4. Operação transformada • A fim de se realizar uma operação de transformação, deve-se inicialmente modelar matematicamente o sinal. • Objetivo: • Série de Fourier; • Transformada de Fourier; • Relação entre ambas.

5. Fasores e espectro de linhas • Seja um sinal senoidal dado pela seguinte expressão: • Utilizando-se da relação de Euler, tal que:

6. Representação fasorial • Podemos expressar o sinal senoidal por um fasor, tal como na figura abaixo:

7. Espectro de amplitudes e espectro de fases • Alternativamente, pode-se representar o sinal senoidal pelos seus espectros de amplitudes e de fases, tal como na figura. Espectro de linhas ou de raias: (a) espectro de amplitudes; (b) espectro de fase

8. Observações: • i. A amplitude (magnitude), no espectro de amplitudes, deve ser sempre positiva . Assim, um sinal descrito por deve ser re-escrito como .É indiferente se é utilizado + ou -. • ii.  tem a dimensão radianos e, portanto, a fase deve ser expressa em radianos. Lembrar que  = 2..f em rad/s e f em Hz. • iii. Ângulos e rotação positiva são medidos a partir do eixo real, no sentido anti-horário. • iv. Formas de onda cosseno e seno são genericamente denominadas de forma de onda senoidais. Lembrar que , , ou seja, o sinal seno é um sinal cosseno atrasado de /2 (ou, 900 ).

9. Exemplo • Dado o sinal: • Cuja forma de onda é: • Determinar o seu espectro de freqüência (amplitude e fase)

10. Solução • O sinal pode ser reescrito como: • Assim, o seu espectro de freqüências será:

11. Série de Fourier • Seja uma função periódica de período T. Esta função pode ser representada pela série de Fourier Trigonométrica: Com 0 = 2/T • Que pode ser reescrita da forma:

12. Ortogonalidade das funções seno e cosseno • Definição de ortogonalidade: Um conjunto de funções {k(t)} é dita ortogonal em um intervalo a < t < b se, para quaisquer duas funções m(t) e n(t) no conjunto {k(t)} é válida a relação

13. Relação de ortogonalidade de funções seno e cosseno Com 0 = 2/T

14. Série de Fourier

15. Exemplo 1 • Determinar a série de Fourier do sinal • Cujo gráfico em função do tempo é dado por:

16. Exemplo 1 • Como o sinal é periódico, é possível o cálculo da série de Fourier. • A tarefa é portanto o cálculo dos coeficientes da série de Fourier, lembrando que:

17. Exemplo 1 • Cálculo do a0 e an

18. Exemplo 1 • Cálculo de bn

19. Exemplo 1 • A série de Fourier fica então assim: • A seguir façamos uma análise da série de Fourier tomando-se um número de termos cada vez maior

20. Exemplo 1 • Supondo uma onda quadrada de freqüência angular=2 rad/s e tomando-se somente o primeiro termo da série de Fourier , tem-se a seguinte forma de onda:

21. Exemplo 1 • Tomando-se os dois primeiros termos: • Cuja forma de onda é:

22. Exemplo 1 • Tomando-se os três primeiros termos • Cuja forma de onda é:

23. Exemplo 1 • Tomando-se os 5 primeiros termos • Cuja forma de onda é dada por:

24. Exemplo 2 • Determinar a série de Fourier da função f(t) definida por:

25. Determinação dos coeficientes an e bn

26. Determinação dos coeficientes an e bn

27. Tomando-se os seis primeiros termos em senos e cossenos, tem-se que: • Cuja forma de onda é dada por:

28. Tomando-se mais termos, tem-se o gráfico abaixo, onde se pode observar o efeito de Gibbs nas transições da função.