5.5 微分方程的变换解

1. 对于一阶导数： • 对于二阶导数： • 对于三阶导数： 5.5 微分方程的变换解 返回 用拉氏变换求解线性常系数微分方程，主要用到拉氏变换的微分性质： 第五章第3讲

2. 例 5.31 微分性质 系统方程为 ，其中： ，求系统的响应。 解： 对微分方程进行拉氏变换为： 第五章第3讲

3. 例 5.31 第五章第3讲

4. 例 5.31 • 可以分别求出零输入响应和零状态响应 零状态响应 零输入响应 第五章第3讲

5. 微分方程描述 解时域网络 代数方程描述 解复频域网络 拉氏变换求微分方程的基本思想 时域激励 uS(t) 时间响应 u0(t) 拉氏变换 拉氏反变换 拉氏变换激励US(s) 拉氏变换响应 U0(s) • 存在的问题 • 高阶电路的微分方程不易列出； • 电路中不可能只有一个电源，电路中存在多个电源怎么办？ • 与以前所学知识无法联系，不能统一起来。 第五章第3讲

6. 5.6 网络的S域模型及其分析 • 对于一般动态电路的时域分析，存在以下问题： • 对一般的二阶或二阶以上的电路，建立微分方程困难。 • 确定微分方程所需要的初始条件，以及确定微分方程解中的积分常数也很烦琐。 • 动态电路的分析方法无法与电阻性电路和正弦稳态电路的分析统一起来。 • 当激励源是任意函数时，求解也不方便。 第五章第3讲

7. 5.6 网络的S域模型及其分析 • 用拉普拉斯变换分析动态电路是如何解决时域分析动态电路时所存在的问题呢？ • 与正弦稳态电路中的相量法相似。 • 先找出R、L、C在复频域的模型，称为S域模型。 • 推导出电路定律的复频域形式，引出阻抗和导纳的概念。 • 这种分析方法称为复频域法。与正弦稳态电路的相量法完全类似。 第五章第3讲

8. 电路元件的S域模型 返回 • 电阻元件 时域模型 复频域模型 第五章第3讲

9. 电路元件的S域模型 • 电感元件 第五章第3讲

10. 电路元件的S域模型 • 电容元件 第五章第3讲

11. 互感的S域模型 返回 伏安关系式 画出S域模型 对伏安关系式进行拉氏变换 第五章第3讲

12. RLC串联电路的S域模型 S域模型 设：初始值为 零状态响应 零输入响应 第五章第3讲

13. 复频域分析与正弦稳态分析相似 第五章第3讲

14. 结 论 • 由于引入拉氏变换，KCL、KVL的复频域形式，以及复频域阻抗Z(s)或导纳Y(s)。正弦稳态分析中的所用的分析方法和定理，完全适用于复频域分析。 • 由于初始条件化为信号源，由初始值引起的响应即零输入响应，实际上变为由等效信号源引起的零状态响应。 • S 域网络的电源分为激励源和初始电源。 • 初始电源单独作用产生零输入响应； • 激励源单独作用产生零状态响应。 第五章第3讲

15. 用拉氏变换分析动态电路的步骤 • 将网络中电源的时间函数进行拉氏变换； • 常用的拉氏变换有：常数AA/s, e-at(t)1/(s+a) • 画出Ｓ域电路图（特别注意初值电源）； • 电感、电容和互感分别用其S域模型代替； • 检查初值电源的方向和数值； • 电源用其象函数(拉氏变换)代替； • 电路变量用其象函数代替：i(t)I(s), u(t)U(s) • 运用直流电路的方法求解象函数； • 用网孔法、节点法、叠加定理、戴维南定理等分析方法求象函数。 • 反变换求原函数。 第五章第3讲

16. - + 例 5.32 如图所示电路中，开关K闭合已久，在 t=0时K断开，试求电压uL1(t)。 S域模型 解：电路初始值为 i1(0-)=-2.5A, i2(0-)=5A, 画S域模型. 第五章第3讲

17. - + 例 5.32 复频域模型如图所示。 列回路方程： (30+2.5s)I2 =100/s＋7.5 故有： 第五章第3讲

18. 例 5.33 S域模型 如图所示电路中，开关K闭合已久，在 t=0时K断开，试求电容电压uC(t)。 S域模型 解：电路初始值为 iL(0-)=1A, uC(0-)=2V, 画复频域模型 第五章第3讲

19. 例 5.33 复频域模型如图所示。用节点法： 第五章第3讲

20. 课堂练习题 (1)用网孔法求例3中的电压uC(t) (2)求例5.33中的电压uC(t)的零输入响应uCzi(t)和零状态响应uCzs(t) 第五章第3讲

21. 课堂练习题 (1)用网孔法求例3中的电压uC(t) 第五章第3讲

22. 课堂练习题 (2)求例5.33中的电压uC(t)的零输入响应uCzi(t)和零状态响应uCzs(t) 零输入响应 零状态响应 第五章第3讲