Metody ekonometryczne

1. Metody ekonometryczne ćwiczenia 7-10 MODELE WIELORÓWNANIOWE: IDENTYFIKACJA 2MNK MNOŻNIKI I STABILNOŚĆ 3MNK Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009

2. Identyfikowalność • Niektóre równania w strukturze naszego modelu mogą nie być identyfikowalne (np. podaż i popyt w zależności od ceny przy warunku równowagi). • WARUNEK KONIECZNY identyfikowalności j-tego równania (order condition): • liczba zmiennych endogenicznych będących regresorami w j-tym równaniumusi być mniejsza lub równa liczbie zmiennych egzogenicznych modelu, które w tym równaniu nie występują • WARUNEK WYSTARCZAJĄCY identyfikowalności j-tego równania (rank condition): • z macierzy parametrów formy zredukowanej wybieramy podmacierz, której kolumny odpowiadają zmiennym endogenicznym będącym regresorami w j-tym równaniu, a wiersze – zmiennym egzogenicznym nie występującym w j-tym równaniu; macierz ta ma rząd równy liczbie swych kolumn • zauważmy, że zawiera się tu warunek konieczny (macierz o wielu kolumnach i mniejszej liczbie wierszy w oczywisty sposób nie może mieć rzędu równego liczbie kolumn)

3. Identyfikowalność - przykład

4. Czy te modele są identyfikowalne?

5. Estymacja parametrów modeli wielorównaniowych • moglibyśmy estymować parametry poszczególnych równań za pomocą KMNK • problem: w równaniu po prawej stronie zmienne endogeniczne • ich elementem są składniki losowe • korelacja zmiennych objaśniających ze składnikami losowymi • utrata zgodności estymatorów KMNK • w postaci zredukowanej problem jest wyeliminowany, ale parametrów do oszacowania jest znacznie więcej… (dlaczego?) zmienna objaśniania w j-tym równaniu zmienne egzogeniczne (spoza modelu) objaśniające yj zmienne objaśniane w innych równa-niach, będące dla yj objaśniającymi

6. Podwójna MNK (2MNK, 2SLS) – krok 1 te zmienne są funkcją zmiennych egzogenicznych – zarówno występujących w j-tym równaniu, jak i nie występujących Krok 1: szacujemy parametry powyższego modelu za pomocą KMNK. Otrzymujemy w ten sposób wartości teoretyczne Yj, nieskorelowane ze składnikiem losowym: Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

7. Podwójna MNK (2MNK, 2SLS) – krok 2 Estymator KMNK dla wektora parametrów j-tego równania wyglądałby następująco: Krok 2: Rzeczywiste wartości endogenicznych zmiennych objaśniających w powyższym wzorze zastępujemy wartościami teoretycznymi z pierwszego kroku i otrzymujemy estymator 2MNK: 7

8. Ćwiczenie • Oszacuj parametry następującego modelu: za pomocą podwójnej MNK w Excelu. Plik 2mnk.xls

9. Przykład: model Kleina I

10. 2MNK w Gretlu • Model – model równań współzależnych

11. Model dynamiczny (1) Oznaczmy: Yt* to macierz zawierająca bieżące wartości zmiennych endogenicznych i ich opóźnienia do rzędu S-1 włącznie. W tej sytuacji macierz Yt-1* zawiera wszystkie opóźnienia zm. endogenicznych wchodzące do modelu jako zmienne objaśniające.

12. Model dynamiczny (2) gdzie: Ten zapis jest równoważny równaniu w postaci zredukowanej, uzupełnionemu o szereg warunków yt-1=yt-1, yt-2=yt-2, ... yt-S+1= yt-S+1

13. Postać końcowa modelu Kontynuując takie podstawianie, otrzymujemy POSTAĆ KOŃCOWĄ modelu:

14. Mnożniki MNOŻNIKI BEZPOŚREDNIE MNOŻNIKI DŁUGOOKRESOWE MNOŻNIKI POŚREDNIE (po s okresach) MNOŻNIKI SKUMULOWANE (po s okresach)

15. Stabilność modelu • Model jest stabilny, gdy: • Można udowodnić, że dzieje się tak wtedy, gdy największy z modułów wartości własnych macierzy D1 jest mniejszy od 1.

16. Ćwiczenie • W modelu Kleina I: • wyznacz mnożniki bezpośrednie, pośrednie, skumulowane i długookresowe; • zbadaj stabilność.

17. Literatura • „Ekonometria”, SGH, rozdział 8 • Welfe – rozdział 8 • 8.1-8.4 – wprowadzenie, notacja • 8.5 (stabilność) • 8.6 – identyfikowalność • 8.7, 8.8(3) – 2MNK

18. Aneks (dla chętnych): 3MNK • Estymacja parametrów każdego równania za pomocą KMNK abstrahuje od endogeniczności niektórych zmiennych objaśniających. • 2MNK uwzględnia tę endogeniczność, lecz za jej pomocą estymujemy parametry każdego równania osobno. • Korelacje między składnikami losowymi poszczególnych równań nie zostają uwzględnione w procesie estymacji – utrata (asymptotycznej) efektywności (por. autokorelacja). • Wady tej w modelu nie będzie, gdy przeprowadzimy łączną estymację parametrów wszystkich równań, uwzględniając korelacje składników losowych poszczególnych równań.

19. Potrójna MNK (3MNK, 3SLS) (1) • Korzystamy z podwójnej MNK w celu oszacowania parametrów poszczególnych równań osobno. Dzięki temu otrzymujemy wektor wartości teoretycznych i reszt losowych dla każdego z równań osobno: • Obliczamy kowariancje między resztami losowymi poszczególnych równań: Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

20. Potrójna MNK (3MNK, 3SLS) (2) • Potraktujmy nasz model wielorównaniowy jako „macierzowy” model jednorównaniowy: macierz nxKm obserwacji na zmiennych objaśniających (endogenicznych i egzogenicznych) m-tego równania wektor Kmx1 parametrów m-tego równania wektor K1+ K2 +…+ Km parametrów modelu wektor nx1 obserwacji zmiennej objaśnianej m-tego równania wektor nx1 składników losowych m-tego równania 20

21. Potrójna MNK (3MNK, 3SLS) (3) • Jak wygląda macierz wariancji-kowariancji składnika losowego naszego „macierzowego” modelu? 21

22. Dygresja: iloczyn Kroneckera (1) Można wykazać, że

23. Dygresja: iloczyn Kroneckera (2)

24. Potrójna MNK (3MNK, 3SLS) (4) • Nasz CAŁY model umownie zapisaliśmy jako: • Macierz wariancji-kowariancji dla CAŁEGO modelu ma zatem postać: • Znając tę macierz, możemy zastosować UMNK z • Stąd estymator 3MNK: 24

25. Literatura do ćwiczeń 7-8 • Welfe, rozdział 8.9 (1) – 3MNK Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Zima 2008/2009