osnove statistike n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Osnove statistike PowerPoint Presentation
Download Presentation
Osnove statistike

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 28

Osnove statistike - PowerPoint PPT Presentation


  • 189 Views
  • Uploaded on

Osnove statistike. Kombinatorika i vjerojatnost Obrada empirijskih podataka Mjere položaja i rasipanja. Kombinatorika. Slučajni događaj – događaj koji se pod nekim okolnostima može ali i ne mora dogoditi. Služe pri određivanju vjerojatnosti slučajnih događaja Modeli u kombinatorici:

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

Osnove statistike


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
osnove statistike
Osnove statistike
  • Kombinatorika i vjerojatnost
  • Obrada empirijskih podataka
  • Mjere položaja i rasipanja
kombinatorika
Kombinatorika
  • Slučajni događaj – događaj koji se pod nekim okolnostima može ali i ne mora dogoditi. Služe pri određivanju vjerojatnosti slučajnih događaja
  • Modeli u kombinatorici:
    • Permutacije (bez ponavljanja i s ponavljanjem)
    • Varijacije (bez ponavljanja i s ponavljanjem)
    • Kombinacije
    • Složene kombinacije
slide3

Permutacije

  • permutacije bez ponavljanja:
    • niz n istovrsnih elemenata kojima se određuje broj mogućih redoslijeda (poređaja)

Primjer: Na koliko se načina može poredati niz od 4 kuglice različite boje?

  • permutacije s ponavljanjem:
    • niz n istovrsnih elemenata među kojima postoje određene podgrupe - određuje se broj mogućih redoslijeda (poređaja)

Primjer: Na koliko se načina može poredati niz od 6 kuglica (2 crvene, 2 plave

te zelena i žuta)?

slide4

Varijacije

  • varijacije bez ponavljanja:
    • niz n istovrsnih elemenata iz kojeg se uzima uzorak r te se određuje broj različitih (mogućih) ishoda

Primjer: Koliko različitih uzoraka od po 3 kuglice možemo složiti iz skupa od 5 kuglica?

  • varijacije s ponavljanjem:
    • niz n istovrsnih elemenata iz kojeg se uzima uzorak r te se određuje broj različitih (mogućih) ishoda s mogućnošću ponavljanja elemenata iz skupa n do maksimalno r-puta

Primjer: Igranje sportske prognoze. Na koliko se načina može ispuniti listić sportske

prognoze ako se na listiću nalazi 12 parova, a mogući ishodi su 1,0 i 2?

slide5

Kombinacije

  • kombinacije bez ponavljanja – (s ponavljanjem nemaju smisla):
    • niz n istovrsnih elemenata iz kojeg se uzima uzorak od r elemenata te se određuje broj različitih (mogućih) sastava uzorka gdje nije bitan redoslijed već sadržaj (sastav)

Primjer: Koliko treba ispuniti nizova da bi se u LOTU 7/39 sigurno dobila ‘sedmica’?

NAPOMENA: budući da nije bitan redoslijed odabiranja (izvlačenja) kuglica

radi se o kombinacijama.

slide6

Složene kombinacije

  • složene kombinacije – skup od N elemenata sadrži podskup elemenata sa svojstvom A i podskup elemenata sa svojstvom Ā (non A)

N

SKUP

(N-M) (Ā)

M (A)

UZORAK

n

x el A

(n-x) el Ā

slide7

Vjerojatnost

  • Slučajni događaj – događaj koji se pod nekim okolnostima može a i ne mora dogoditi
  • Elementarni događaj – mogući ishod slučajnog događaja
  • Skup (polje) mogućih događaja – skup koji se sastoji od elementarnih događaja
  • Vjerojatnost – mogućnost pojave nekog elementarnog događaja koji se promatra

n – broj svih mogućih ishoda (događaja)

n(A) – broj događaja sa svojstvom A

- nemoguć događaj

- siguran događaj

  • Protivna vjerojatnost
slide8

Primjer: Bacamo kocku. Kolika je vjerojatnost da će kocka pokazati broj 2 ili 4 ili 6?

  • Teoremi vjerojatnosti (slučaj složenih događaja):
    • zbrajanje vjerojatnosti - P(A1) ili P(A2)
          • zanima nas vjerojatnost da se dogodi A1 ili A2
          • uz uvjet da su događaji A1 i A2 disjunktni (međusobno se isključuju)
  • množenje vjerojatnosti(NEZAVISNI DOGAĐAJI)- P(A1) i P(A2)
        • zanima nas vjerojatnost događaja da se dogodi A1 i A2 (istovremeno)

Primjer: Bacamo kocku i novčić. Kolika je vjerojatnost da će kocka pokazati broj 6 i novčić pasti na ‘glavu’?

slide9

množenje vjerojatnosti(UVJETNI DOGAĐAJI)- P(A1) i P(A2)

        • zanima nas vjerojatnost događaja da se realizira A1 i A2
        • jedan događaj utječe na vjerojatnost drugog događaja

Primjer: U kutiji je 10 kuglica, 6 bijelih i 4 crvene kuglice. Kolika je vjerojatnost da prva i druga kuglica budu bijele ako izvučenu kuglicu ne vraćamo u kutiju?

A1 - prva kuglica bijela

A2 – druga kuglica bijela

  • ostale vjerojatnosti - uvjet da se elementarni događaji ne isključuju te da se dogodi bar jedan događaj
        • slučaj kada tražimo vjerojatnost pojave događaja A1 ili A2 ili A1 i A2. Takova vjerojatnost se računa na način da se od sume vjerojatnosti za događaje A1 , A2 oduzme vjerojatnost događaja A1 i A2 istovremeno (izbjegavanje dvostruke vjerojatnosti).
slide10

Upotreba teorije vjerojatnosti na primjerima iz prakse

  • Slučaj serijskog spoja – problem vezan za pouzdanost sustava

Primjer: Pojednostavljen slučaj vjerojatnosti pogotka cilja projektilom. Projektil na putu do cilja prolazi kroz faze koje imaju svoju vjerojatnost uspjeha. Vjerojatnost uspješnog pogotka cilja se može prikazati kao serijski spoj faza (vjerojatnosti uspjeha svake faze). Svaka faza ima vjerojatnost uspjeha 0,99. Kolika je vjerojatnost uspješnog pogotka cilja?

Za uspješan pogodak projektil mora uspješno proći sve faze.

Radi se o serijskom spoju (množenju vjerojatnosti).

slide11

Slučaj paralelnog spoja – problem vezan za pouzdanost sustava

Primjer: U kritičnom dijelu nekoga procesa važno je da je barem jedna pumpa u stanju ispravnog rada kako ne bi došlo do zastoja. Ako su vjerojatnosti ispravnog rada (pouzdanost) svake pumpe R=0,99 kolika je vjerojatnost da sustav funkcionira ispravno?

Budući da je P(ispravnog rada)+P(zastoja)=1

možemo pisati sljedeće:

slide12

Obrada empirijskih podataka

  • deskriptivna statistika – opisivanje podataka iz uzorka ili populacije u formi osnovnih parametara, identifikacija procesa
  • osnovne vrste podataka – po nastanku varijable (upotreba različitih mjernih ljestvica) se mogu klasificirati na:
      • Kvalitativne: nominalne (Da, Ne ; Dobar, Loš...), ordinalne (rangovi)
      • Kvantitativne: diskretne (cjelobrojne vrijednosti, pobrojane), kontinuirane (neprekinute, mjerene)

Diskretne varijable – nastaju prebrojavanjem

Kontinuirane varijable – nastaju mjerenjem

slide13

Grafička obrada empirijskih podataka

    • vrste grafičkih prikaza:
    • Histogram (‘bar chart’) – prikazivanje učestalosti podataka stupićima te povezivanje vrhova u poligon frekvencija

Primjer:

  • histogramski prikaz za diskretnu varijablu
  • direktno očitavanje vjerojatnosti pojave pojedine
  • vrijednosti varijable
  • histogramski prikaz za kontinuiranu varijablu
  • prikaz preko razreda podataka po kojima klasificiramo podatke
  • u tehnici se radi sa razredima jednake veličine (širine)
slide14

kumulanta – histogramski prikaz frekvencija koje se kumuliraju od najnižega ka najvišem razredu

  • mogućnost prikaza relativnih frekvencija (u %) na ordinati
  • ‘Box- whisker’ prikaz (prikaz ‘kutija – brkovi’) – jedno od najčešćih prikaza podataka

Primjer:

  • ‘box-whisker’ prikaz za kontinuiranu varijablu
  • prikaz je moguće kreirati u različitim verzijama
  • (središnja točka medijan/aritmetička sredina,
  • podjela po percentilima/intervalima povjerenja...)
  • jednostavna dijagnostika problematičnih podataka
  • (ekstrema, ‘outliera’)
  • mogućnost prikazivanja dva ili više uzoraka
  • paralelno te brzo dijagnosticiranja njihovih relacija i
  • karakteristika
slide15

‘Stem-leaf’ prikaz (prikaz ‘stabljika - list’)

Primjer:

  • prikaz ‘stabljika-list’ se najčešće koristi na
  • podacima koji su u decimalnom obliku gdje
  • se znamenka cijelog broja prikazuju kao
  • stabljika a decimalni dio kao ‘list’
  • Ostali prikazi:
        • ‘Individual plot’,
        • ‘Scatter plot’,
        • ‘Line plot’,
        • ‘Dot plot’ ,
        • ‘Marginal plot’ ,
        • ‘Area plot’,
        • ‘Pie chart’
        • ‘Normal probability plot’,
        • ...
slide16

Primjer grafičke analize podataka: Na jednom uzorku izmjerene su vrijednosti vlačne čvrstoće šarže čeličnog lima (u N/mm2). Nakon mjerenja dobiveni su sljedeći podaci: 430, 440, 450, 460, 440, 430, 410, 410

440, 440, 430, 440, 420, 450, 430, 450

420, 440, 420, 450, 410, 440, 460, 430

slide17

Numerička obrada empirijskih podataka

  • MJERE POLOŽAJA
  • aritmetička sredina – suma svih elemenata u populaciji podijeljena sa brojem
  • elemenata populacije (težište – paralela sa mehaničkim modelom)

najvažnije svojstvo aritmetičke sredine:

  • mod – podatak(ili razred) koji ima najveću frekvenciju
    • - mod dijeli distribuciju frekvencija na rastuću i padajuću stranu
    • - vrste distribucija s obzirom na mod
slide18

medijan – 50% podataka je manje, a 50% veće od te vrijednosti

  • kvantili - vrijednosti numeričkog obilježja koje niz uređen po veličini dijele na
  • q jednakihdijelova

Medijan

Kvartili

Decili

Percentili

slide19

MJERE RASIPANJA

  • standardna devijacija σ – prosječno odstupanje svakog podatka od arit. sredine
  • varijanca σ2 – prosječno kvadratno odstupanje svakog podatka od arit. sredine
  • nepristrana procjena varijance osnovnog skupa (σo2) :
  • koeficijent varijacije, V – međusobno uspoređivanje varijabilnosti pojava ili svojstava
          • - pokazuje koliki odnos vrijednosti aritm. sredine iznosi vrijednost standardne devijacije (u %)

koeficijent varijacije

(relativna mjera rasipanja)

  • raspon, Rx – razlika najveće i najmanje vrijednosti u nekom nizu podataka
slide20

MOMENTI STATISTIČKIH SKUPOVA

  • mehanički model - greda, oslonac i opterećenje ( x1,x2, ... – jedinične sile)

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

  • centralni moment r-tog reda – moment oko centra (aritmetička sredina):

r=0 M0=1

r=1 M1=0

r=2 M2=σ2

r=3 M3

r=4 M4

varijanca

koeficijent asimetrije

koeficijent spljoštenosti

  • pomoćni moment r-tog reda – moment oko točke 0

r=0 m0=1

r=1 m1=

aritmetička sredina

slide21

svaki |α3|: 0 - 0,25 zanemariva asimetrija

0,25 – 0,50 slaba asimetrija

0,50 – 0,75 srednja asimetrija

0,75 - + jaka asimetrija

  • MJERE OBLIKA STATISTIČKOG SKUPA
  • koeficijent asimetrije (Skewness) – mjera nagnutosti distribucije na lijevu ili desnu stranu

pozitivna asimetrije α3>0

nema asimetrije α3=0

negativna asimetrija α3<0

slide22

koeficijent spljoštenosti (Kurtosis)– mjera spljoštenosti (zaobljenosti) distribucije

  • normiranje na nulu (jednostavnije očitavanje)

spljoštenost α4<3 (α’4<0)

normalna spljoštenost α4=3 (α’4=0)

izduženost α4>3 (α’4>0)

slide23

Primjer dva skupa:

  • sa istim očekivanjem a različitom varijancom
  • sa istim očekivanjem i varijancom ali različitim elementima
slide24

SLUČAJNA VARIJABLA - DEFINIRANJE

  • diskretne varijable:

očekivanje

varijanca

  • vjerojatnost diskretne varijable:

učestalost

vjerojatnost

  • funkcija distribucije F(x) diskretne varijable (kumulanta):
slide26

kontinuirane varijable:

očekivanje

očekivanje

varijanca

  • funkcija gustoće vjerojatnosti (kontinuirana varijabla):
  • svojstva f.g.v. :
slide27

funkcija distribucije vjerojatnosti (kontinuirana varijabla):

povezanost f.g.v. i funkcije distribucije

slide28

Primjer: Sljedeći podaci prezentiraju temperature ‘O-ring’ brtvi raketnog motora prilikom testiranja sustava paljenja: 84, 49, 61, 40, 83, 67, 45, 66, 70, 69, 80, 58, 68, 60, 67, 72, 73, 70, 57, 63, 70, 78, 52, 67, 53, 67, 75, 61, 70, 81, 76, 79, 75, 76, 58, 31. Potrebno je odrediti sve osnovne statističke parametre i grafički prikazati podatke.