第八章 刚性 (stiff) 方程组及其数值计算

1. 第八章 刚性(stiff)方程组及其数值计算 武汉大学数学与统计学院

2. 一个化学反应系统中提出的刚性问题的例子 A，B，C是三个化学样本，Robertson反应如下：

3. A： B： C： 我们通过建模可以得到如下方程组

4. 则方程组可写为： 对此Robertson系统而言，Jacobian矩阵为

5. 特征值为 在平衡点（1，0.0000365，0），Jacobian矩阵为 ， ，

6. 考虑如下线性常微分方程组: 其中 这里矩阵M的特征值为

7. 上述初值问题的精确解是: 时解的各个分量 显然当 是指数衰减的,并趋于稳态解 趋于稳态解 的速度是 由因子 决定的.

8. 假如试图利用四级Runge-Kutta方法求解上述初值问题,要求计算直至得到符合精度要求的稳态解为止.我们讨论计算过程可能遇到的问题:假如试图利用四级Runge-Kutta方法求解上述初值问题,要求计算直至得到符合精度要求的稳态解为止.我们讨论计算过程可能遇到的问题: 一.稳定性要求: 二.为使解充分接近稳态解只需要:

9. N是计算步数 而实际上 后 已经不起作用了!!! 往后的计算我们当然希望使用大步长!但由于稳定性要求,仍要用小步长.从而耗费了巨大的计算量,并且误差积累的影响也随着计算步数的增加越来越严重.

10. 上述例子中,系数矩阵的特征值虽然都是负数,但绝对值相差非常悬殊.上述例子中,系数矩阵的特征值虽然都是负数,但绝对值相差非常悬殊. 考虑n维非线性常微分方程组 设 是(1)定义在[0,T]上的解,并满足 附近的解, 现用 表示(1)在 则 应满足

11. (1)在 处的线性化方程 记矩阵 的特征值为 若条件 称解 为局部稳定,否则是不稳定的.

12. 定义:设 是方程组(1)的一个解. 的特征值满足(3),并且 假定相应Jacobi矩阵 刚性方程组. 附近为 刚性比 则称(1)在

13. 刚性方程组的解 慢变部分 快变部分 隐型Runge-Kutta方法 Adams内插方法 一般地说,隐型方法比显型方法具有更大的绝对稳定区域,因此使用隐型方法求解刚性方程组更为合适.