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  1. Fractal world 0996C046 廖育賢

  2. 碎形(Fractal world) • 碎形通常被定義為「一個粗糙或零碎的幾何形狀,可以分成數個部分,且每一部分都(至少近似地)是整體縮小後的形狀」,即具有自相似的性質。

  3. 碎形思想的根源可以追溯到公元17世紀,而對碎形使用嚴格的數學處理則始於一個世紀後卡爾·魏爾施特拉斯、格奧爾格·康托爾和費利克斯·郝斯多夫對連續而不可微函數的研究。但是碎形(fractal)一詞直到1975年才由本華·曼德博創造出,來自拉丁文 frāctus,有「零碎」、「破裂」之意。一個數學意義上碎形的生成是基於一個不斷迭代的方程式,即一種基於遞歸的反饋系統。

  4. 特質 • 在任意小的尺度上都能有精細的結構; • 太不規則,以至無論是其整體或局部都難以用傳統歐氏幾何的語言來描述; • 具有(至少是近似的或統計的)自相似形式 • 在多數情況下有著簡單的遞歸定義

  5. 因為碎形在所有的大小尺度下都顯得相似,所以通常被認為是無限複雜的(以不嚴謹的用詞來說)。自然界裡一定程度上類似碎形的事物有雲、山脈、閃電、海岸線、雪片、植物根、多種蔬菜(如花椰菜和西蘭花)和動物的毛皮的圖案等等。因為碎形在所有的大小尺度下都顯得相似,所以通常被認為是無限複雜的(以不嚴謹的用詞來說)。自然界裡一定程度上類似碎形的事物有雲、山脈、閃電、海岸線、雪片、植物根、多種蔬菜(如花椰菜和西蘭花)和動物的毛皮的圖案等等。

  6. 歷史 • 17世紀時,數學家兼哲學家萊布尼茨思考過遞迴的自相似,碎形的數學從那時開始漸漸地成形(雖然他誤認只有直線會自相似)。 • 直到1872年,卡爾·魏爾施特拉斯才給出一個具有處處連續但處處不可微這種非直觀性質的函數例子,其圖像在現今被認為是碎形。1904年,海里格·馮·科赫不滿意魏爾施特拉斯那抽象且解析的定義,用更加幾何化的定義給出一個類似的函數,今日稱之為科赫雪花。1915年瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基造出了謝爾賓斯基三角形;隔年,又造出了謝爾賓斯基地毯。1938年,保羅·皮埃爾·萊維在他的論文中將自相似曲線的概念更進一步地推進,他在文中描述了一個新的碎形曲線-萊維C形曲線。格奧爾格·康托爾也給出一個具有不尋常性質的實直線上的子集-康托爾集,今日也被認為是碎形。 • 1960年代,本華·曼德博開始研究自相似並寫下一篇論文《英國的海岸線有多長?統計自相似和分數維度》,大家才了解到碎形一詞

  7. 碎形的典型例子

  8. 葉子

  9. 科赫雪花 • 要做出科赫雪花,將正三角形每邊中央三之分一的線段以一對同長的線段取代,形成一個等腰的「凸角」。再對上一步驟所形成的每一邊做同樣的動作。每一次迭代,總長度增加三分之一。科赫雪花即是無限次迭代的結果,有無限長的周長,但其面積還是有限的

  10. 若此正三角形的邊長為1,則經過一個製作步驟後,此邊的邊長變成4/3,且原來的線段變成四段小線段,再對現有的四個小線段作一次製作步驟,則每一個新的邊皆為原來邊的4/3倍長,也因此其總長為(4/3)^2,持續不斷的作下去,可推出,當我們做了n個步驟後,其邊長為(4/3)^N,(詳細的證明可很簡單的利用數學歸納法來證得),當n趨近到無窮大時,邊長也會趨近無窮大。若此正三角形的邊長為1,則經過一個製作步驟後,此邊的邊長變成4/3,且原來的線段變成四段小線段,再對現有的四個小線段作一次製作步驟,則每一個新的邊皆為原來邊的4/3倍長,也因此其總長為(4/3)^2,持續不斷的作下去,可推出,當我們做了n個步驟後,其邊長為(4/3)^N,(詳細的證明可很簡單的利用數學歸納法來證得),當n趨近到無窮大時,邊長也會趨近無窮大。 •   對於其所圍面積的值,設一開始的三角形邊長為1,則在完成第一次製作步驟後,增加了一個正三角形,其邊長為1/3,面積為。完成第二次製作步驟後,增加了四個正三角形,增加了個正三角形,依此,利用數學歸納法可簡單的證得:當我們完成第n次製作步驟後,可再增加的三角形面積為。因此可得, 這是一個有限值,而且為原三角形面積的8/5倍。

  11. 謝爾賓斯基三角形 • 1.取一個實心的三角形。(多數使用等邊三角形) • 2.沿三邊中點的連線,將它分成四個小三角形。 • 3.去掉中間的那一個小三角形。 • 4.對其餘三個小三角形重複1。

  12. 謝爾賓斯基地毯 將一個實心正方形劃分為的9個小正方形,去掉中間的小正方形,再對餘下的小正方形重複這一操作便能得到謝爾賓斯基地毯。

  13. 常見製造碎形的一般技術如下: • 1.逃逸時間碎形:由空間(如複平面)中每一點的遞迴關係式所定義,例如曼德博集合。由一次或兩次逃逸時間公式的迭代生成的二維向量場也會產生碎形,若點在此一向量場中重複地被通過。

  14. 曼德博集合 • 運用 來做迭代,不同的參數C可能使序列的絕對值逐漸發散到無限大,也可能收斂在有限的區域內。 • 曼德博集合 就是使序列不延伸至無限大的所有複數 的集合。

  15. 2.迭代函數系統:這些碎形都有著固定的幾何替代規則。康托爾集、謝爾賓斯基三角形、謝爾賓斯基地毯、空間填充曲線、科赫雪花。等都是此類碎形的一些例子。2.迭代函數系統:這些碎形都有著固定的幾何替代規則。康托爾集、謝爾賓斯基三角形、謝爾賓斯基地毯、空間填充曲線、科赫雪花。等都是此類碎形的一些例子。

  16. 3.隨機碎形:由隨機而無確定過程產生,如布朗運動的軌跡。3.隨機碎形:由隨機而無確定過程產生,如布朗運動的軌跡。

  17. 布朗運動 • 它是在西元1827年英國植物學羅伯特·布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時,發現微粒會呈現不規則狀的運動,因而稱它布朗運動。

  18. 碎形也可以依據其自相似來分類,有如下三種:碎形也可以依據其自相似來分類,有如下三種: • 精確自相似:這是最強的一種自相似,碎形在任一尺度下都顯得一樣。由迭代函數系統定義出的碎形通常會展現出精確自相似來。 • 半自相似:這是一種較鬆的自相似,碎形在不同尺度下會顯得大略(但非精確)相同。半自相似碎形包含有整個碎形扭曲及退化形式的縮小尺寸。由遞迴關係式定義出的碎形通常會是半自相似,但不會是精確自相似。 • 統計自相似:這是最弱的一種自相似,這種碎形在不同尺度下都能保有固定的數值或統計測度。大多數對「碎形」合理的定義自然會導致某一類型的統計自相似(碎形維數本身即是個在不同尺度下都保持固定的數值測度)。隨機碎形是統計自相似,但非精確及半自相似的碎形的一個例子。

  19. 心得 • 看了這麼多有關碎形的資料後,我發現碎形是個很有趣的詞,而且日常生活中隨處可見,常常看到了一個圖案,心裡就蹦出一句話“這是碎形”,真的是非常有趣。 • 資料來源:維基百科

  20. 謝謝大家