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形式言語とオートマトン 2013 ー第 6&7 日目ー

形式言語とオートマトン 2013 ー第 6&7 日目ー. 東京工科大学 コンピュータサイエンス学部 亀田弘之. 前回までの確認. 有限オートマトン (FA) FA の定義と記述法 テープ上を一方向に動くヘッド （テープ上の記号を読みながら、内部状態を変えていく） M = <K, Σ, δ, q 0 , F> 状態遷移図 FA の種類 決定性 FA （ DFA ） 非決定性 FA （ ε 遷移のあるものとないもの） 言語認識能力はどの FA でも同じ。 正規言語（正規表現）を認識可能。. 前回までの確認（２）. 正規表現を認識する FA の存在とその構成法

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形式言語とオートマトン 2013 ー第 6&7 日目ー

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Presentation Transcript

  1. 形式言語とオートマトン2013ー第6&7日目ー 東京工科大学 コンピュータサイエンス学部 亀田弘之

  2. 前回までの確認 • 有限オートマトン(FA) • FAの定義と記述法 • テープ上を一方向に動くヘッド（テープ上の記号を読みながら、内部状態を変えていく） • M = <K, Σ, δ, q0, F> • 状態遷移図 • FAの種類 • 決定性FA（DFA） • 非決定性FA（ε遷移のあるものとないもの） • 言語認識能力はどのFAでも同じ。 • 正規言語（正規表現）を認識可能。

  3. 前回までの確認（２） • 正規表現を認識するFAの存在とその構成法 • 正規表現αが与えられる。 • 正規表現αに対して、ε-NFA を構成する。 • ε-NFA をDFAに書き換える。 • DFAを状態数最少のDFAに書き換える。 • Min-DFAをシミュレートするプログラムを作成する。

  4. 確認問題集 • （少しずつこなしていってください。）

  5. a p a q b r a b b 確認問題１ • （オートマトンの定義）次の状態遷移図で与えられるオートマトンを、　M=＜K,Σ,δ,q0, F＞ の５つ組で記述しなさい。

  6. 確認問題 • 前問のオートマトンの動作のトレース • 次の文字列のうち、前問のオートマトンMが受理するのはどれとどれですか？ • aabba • bababbb • aaaa • bbba

  7. ８ 確認問題 • 下図のε-NFAをDFAに書き換えなさい。 a ４ b b ε ε ε a １ ２ ３ ６ ７ b ５ c c ε

  8. 確認問題 • DFAからmin-DFAを求める手順について述べなさい。（理論的根拠は、後日お話します。Myhill-Nerodeの定理がポイントになりす。）

  9. 確認問題 • （正規表現を受理するmin-DFAを求める） 　　次の正規表現を受理するmin-DFAを求めよ。 • (ab|bc)*a(b|c) • (a|b|ε)(ab|b)*bc • (a|b)*a(a|b)

  10. さて、…

  11. 今日の話題 • FAの様相(configuration)(第2章の補足) • プッシュダウンオートマトン（pushdown automaton）（第3章の話）

  12. FAの様相 • FAの動作の様子・状況を様相(configuration)という。 • 動作開始時の様相を特に、初期様相という。

  13. 様相の表現 入力文字列 入力文字列の末尾

  14. 様相表現の例 • （具体例で理解しよう）教科書p.36 問2.1

  15. 1 0 q 0 1 p 0 r 1 FA M = <K, Σ, δ, q0, F>

  16. 1 0 q 0 1 p 0 r 1 FA M = <K, Σ, δ, q0, F> 様相(p, 11010) |- (q,1010) |- (q,010) |- (q,10) |- (q, 0) |- (q, ε) (p,11010) |*- (q,ε) <= Mは入力文字列 11010 を受理

  17. 様相(configuration)という用語は、本を読んでいると時々出てきます。様相(configuration)という用語は、本を読んでいると時々出てきます。 • オートマトンの動作状況を表現する単なる１つの方法にすぎません。でも、便利ですよね。

  18. 自主練習 教科書p.58の【演習問題】にチャレンジしてください。

  19. ここから新しい話し Let’s get down to today’s topics. • （第３章に入ります）

  20. プッシュダウンオートマトン • 有限オートマトンにプッシュダウンスタックメモリを追加装備したもの。 • Pushdown automaton (PDA)

  21. プッシュダウンスタック • 歴史的view: • 初期の頃：プッシュダウン型スタックメモリ（特殊なハードウェアと考えていた） • 現在：「スタック」は基本的なデータ構造の１つと考えられている。プッシュダウンスタックとは言わず、スタックと呼ぶことが多い。 データ構造： ・配列（またはアレイ） ・リスト ・スタック ・キュー　など 続きは「データ構造とアルゴリズム」で。

  22. プッシュダウンスタックのイメージ Pop up Push down LIFO (Last In First Out) 最後に入れたものが最初に取り出される。

  23. PDAの種類 • 決定性プッシュダウンオートマトン Deterministic pushdown automaton (DPDA) • 非決定性プッシュダウンオートマトン Nondeterministic pushdown automaton (NPDA)

  24. DPDA Mの定義 • M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F> • K:内部状態の集合　（#K < ∞） • Σ：入力アルファベット （#Σ < ∞） • Γ：プッシュダウンアルファベット（#Γ < ∞） • δ：状態遷移関数 K×(Σ∪{ε})×Γ → K×Γ* • q0：初期状態 (q0 ∈K ) • Z0：ボトムマーカ ( Z0∈Γ) • F：最終状態 ( F ⊂ K )

  25. DPDA Mの定義 • M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F> • K:内部状態の集合　（#K < ∞） • Σ：入力アルファベット （#Σ < ∞） • Γ：プッシュダウンアルファベット（#Γ < ∞） • δ：状態遷移関数 K×(Σ∪{ε})×Γ → K×Γ* • q0：初期状態 (q0 ∈K ) • Z0：ボトムマーカ( Z0∈Γ) • F：最終状態 ( F ⊂ K )

  26. ハードウェア構成でのイメージ

  27. DFA と DPDA 類似点と相違点 類似点： 相違点： ・入力テープ ・プッシュダウンスタックメモリ 　（左から右へ読み込むだけ） ・ヘッドとその内部状態

  28. 研究 　　ハードウェア構成でのイメージ なぜ、プッシュダウンスタック？

  29. 研究テーマ 内部処理装置 記憶装置 入力記号列

  30. 参考図書 • J. ライバー，認知科学への招待　チューリングとウィトゲンシュタインを道しるべに，新曜社，今井邦彦訳(1994). 研究課題：　脳の設計図を記述せよ。 事実を言葉で表現し，列挙せよ。 UMLで表記せよ。 SysMLで表記せよ。 プログラミング言語で表現せよ。

  31. 難しいことはさておいて… • (例を見てみましょう)教科書p.68例3.1

  32. DPDA Mの例 • M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F> • K内部状態の集合 = { q0, q1, q2 }　（#K < ∞） • Σ入力アルファベット = { a, b } （#Σ < ∞） • Γプッシュダウンアルファベット = { A, Z0 }（#Γ< ∞） • δ：状態遷移関数 K×(Σ∪{ε})×Γ → K×Γ* • q0 初期状態 = q0 (q0 ∈K ) • Z0：ボトムマーカ ( Z0∈Γ) • F：最終状態 F = { q2 } ⊂ K

  33. δ：状態遷移関数

  34. DPDA Mの例 • M = <K,Σ,Γ,δ,q0,Z0, F> • K = { q0, q1, q2 } • Σ = { a, b } • Γ = { A, Z0 } • δ：状態遷移関数 • q0 ：初期期状態 • Z0：ボトムマーカ • F = { q2 }⊂ K

  35. 動作のトレース • (q0, aaabbb, Z0)|- (q0, aabbb, AZ0) |- (q0, abbb, AAZ0)|- (q0, bbb, AAAZ0)|- (q1, bb, AAZ0)|- (q1, b, AZ0) |- (q1, ε, Z0)|- (q2, ε, Z0) • |- (q0, aab, Z0)|- (q0, ab, AZ0)|- (q0, b, AAZ0)|- (q0, ε, AZ0) 受理 拒否

  36. 状態遷移図

  37. 動作のトレース 自分で確認しよう • (q0, aaabbb, Z0)|- (q0, aabbb, AZ0) |- (q0, abbb, AAZ0)|- (q0, bbb, AAAZ0)|- (q1, bb, AAZ0)|- (q1, b, AZ0) |- (q1, ε, Z0)|- (q2, ε, Z0) • |- (q0, aab, Z0)|- (q0, ab, AZ0)|- (q0, b, AAZ0)|- (q１, ε, AZ0) 受理 拒否

  38. 練習 • 教科書のp.71 問題3.1の DPDA の動作をいろいろな入力に対して調べてみよう。

  39. 非決定性プッシュダウンオートマトン • DPDAでの状態遷移関数部分が１対多の写像になる。

  40. DPDA Mの定義（再） • M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F> • K:内部状態の集合　（#K < ∞） • Σ：入力アルファベット （#Σ < ∞） • Γ：プッシュダウンアルファベット（#Γ < ∞） • δ：状態遷移関数 K×(Σ∪{ε})×Γ → K×Γ* • q0：初期状態 (q0 ∈K ) • Z0：ボトムマーカ ( Z0∈Γ) • F：最終状態 ( F ⊂ K )

  41. NPDA Mの定義（再） • M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F> • K:内部状態の集合　（#K < ∞） • Σ：入力アルファベット （#Σ < ∞） • Γ：プッシュダウンアルファベット（#Γ < ∞） • δ：状態遷移関数 K×(Σ∪{ε})×Γ → ２K×Γ* • q0：初期状態 (q0 ∈K ) • Z0：ボトムマーカ ( Z0∈Γ) • F：最終状態 ( F ⊂ K )

  42. DPDA Mの例 • M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F> （教科書p.73の例3.2）

  43. NPDA Mの例 • M = <K,Σ,Γ,δ,q0,Z0, F> • K = {q0,q1,q2,q3,q4,qf } • Σ = { a, b, c } • Γ = { A, Z0 } • δ：状態遷移関数 • q0 ：初期状態 • Z0：ボトムマーカ • F = { qf }⊂ K

  44. 状態遷移図

  45. 今日の設問（１番だけ提出） • (q0, aaabbbcc, Z0) |*- ? • aaabbbcc は受理されるか？される場合は、その動作の様子を様相表現で示しなさい。 • aabbbccc は受理されるか？

  46. ここまでのまとめ • プッシュダウンスタック • プッシュダウンオートマトン • 決定性 • 非決定性 • PDAはFAを含む（PDAはFAよりも文字列認識能力は高い。）　＜＝（Why?） • DPDA は NPDA よりも能力は低い。（証明はしませんが、事実です。）

  47. 次回は、チューリングマシンです。 • チューリングマシンは、アルゴリズムや計算に関する理論の基礎を与えてくれます。 • チューリングマシンと、認識可能な言語との対応（チョムスキー階層）の話しもやがて出てきます（第５章）。 • 線形拘束オートマトン（線形有界オートマトン）も今後導入します。 • 計算量・計算の複雑さなどの話題にも触れましょう。　　お楽しみに！

  48. ここまで積み残してきているもの • Myhill-Nerodeの定理 • （DFAにおける）ポンピング補題　など

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