Chapter 4: Special Probability Distributions and Densities

1. Chapter 4: Special Probability Distributions and Densities

2. 4.1 Discrete Uniform Distribution • Def 1: ตัวแปรสุ่ม X จะมีการแจกแจงแบบ discrete uniform distribution หรือเป็น discrete uniform r.v. ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น f(x) = for x = x1, x2, …, xk; where xi xj when i j

3. 4.2 Bernoulli Distribution • Def 2: ตัวแปรสุ่ม X จะมีการแจกแจงแบบ Bernoulli distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for x = 0, 1 และ

4. 4.3 Binomial Distribution • Def 3: ตัวแปรสุ่ม X จะมีการแจกแจงแบบ Binomial Distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for x = 0, 1,…, n และ • NOTE: Binomial Expansion • สำหรับตัวเลขจำนวนนับใดๆ

5. Th’m 3:Moment-generating function ของ binomial distribution จะมีค่าเป็น

6. 4.4 Geometric Distribution • Def 4: ตัวแปรสุ่ม X จะมี Geometric distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for x = 1, 2, 3, … และ

7. 4.4 Geometric Distribution • Def 4: ตัวแปรสุ่ม X จะมี Geometric distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for x = 1, 2, 3, … และ • ค่าเฉลี่ย & ความแปรปรวนของ Geometric r.v. และ

8. 4.5 Hypergeometric Distribution • Def 5: ตัวแปรสุ่ม X จะมี Hypergeometric distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for x = 0, 1, 2,…, n และ

9. 4.6 Poisson distribution • ตัวแปรสุ่มที่เกิดขึ้นเมื่อเราพิจารณาจำนวนครั้งที่เกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่เราสนใจ (ความสำเร็จ) ภายในช่วงระยะเวลา (หรือพื้นที่/ความยาว/ปริมาตร) ที่ต่อเนื่องกันช่วงหนึ่ง • Ex:- จำนวนอุบัติเหตุที่เกิดขึ้นต่อเดือนในเขต กทม. • - จำนวนครั้งที่มีผู้โทร 1133 ในแต่ละวัน • - จำนวนเด็กที่เกิดในประเทศไทยในหนึ่งวัน

10. 4.6 Poisson distribution • คุณสมบัติของ Poisson Distribution (ซึ่งมี parameter ) • 1. เมื่อเราแบ่งช่วงเวลา/พื้นที่ให้เล็กลงมากๆ ความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของความสำเร็จในช่วงเวลาสั้นๆดังกล่าวจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับขนาดของช่วงเวลานั้นๆ --> ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความสำเร็จในช่วงเวลาสั้นๆ h จะประมาณได้ด้วย • 2. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความสำเร็จมากกว่าหนึ่งครั้งในช่วงเวลาสั้นๆมีค่าน้อยมาก (ประมาณศูนย์) • 3. จำนวนครั้งของความสำเร็จที่เกิดขึ้นในสองช่วงเวลาซึ่งไม่ทับซ้อนกัน (non-overlapping) จะเป็นอิสระต่อกัน

11. 4.6 Poisson distribution • Def 6: ตัวแปรสุ่ม X จะมี Poisson distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น • for x = 0,1,2,… • ค่าเฉลี่ย & ความแปรปรวนของ poisson distribution • และ

12. Th’m 4:Moment-generating function ของ poisson distribution จะมีค่าเป็น

13. คุณสมบัติของค่า e

14. 4.7 Multinomial distribution • Binomial: พิจารณาการทดลองซ้ำ n ครั้ง โดยการทดลองแต่ละครั้งมีผลการทดลองอยู่ 2 แบบ (สำเร็จ/ล้มเหลว) • Multinomial: พิจารณาการทดลองซ้ำ n ครั้ง โดยแต่ละครั้งมีผลการทดลองอยู่ k แบบ - Prob ของการเกิดผลการทดลองแต่ละแบบมีค่าคงที่ (เท่ากันทุกการทดลอง) - ผลการทดลองแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน • ตัวแปรสุ่ม Xi = จำนวนครั้งของการเกิดผลการทดลองแบบ i (i = 1, 2, …, k) จะมีการกระจายตัวแบบ Multinomial

15. 4.7 Multinomial distribution • Def 7: ตัวแปรสุ่ม จะมี Multinomial distribution ก็ต่อเมื่อ joint pdf เป็น for = 0,1,2,…,n where and

16. 4.8 Multivariate Hypergeometric distribution • Def 8: ตัวแปรสุ่ม จะมี Multivariate Hypergeometric distribution ก็ต่อเมื่อ joint pdf เป็น for and where and

17. 4.9 Continuous Uniform Distribution • Def 9: ตัวแปรสุ่ม Xจะมี continuous uniform distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for elsewhere • ค่าเฉลี่ย & ความแปรปรวนของ continuous uniform distribution คือ และ

18. 4.10 Gamma, Exponential and Chi-Square Distributions • Def 10: ตัวแปรสุ่ม X จะมี Gamma distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for x > 0 elsewhere where and for

19. Def 11: ตัวแปรสุ่ม X จะมี Exponential distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for x > 0 elsewhere where • NOTE: Exponential Dist = Gamma Dist with

20. Def 12: ตัวแปรสุ่ม X จะมี Chi-square distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for x > 0 elsewhere *** คือ degrees of freedom • NOTE: Chi-Sq Dist = Gamma Dist with

21. Th’m 5: The rth about the origin of the gamma distribution คือ • ค่าเฉลี่ย & ค่าความแปรปรวน ของ gamma distribution คือ และ

22. ค่าเฉลี่ย & ค่าความแปรปรวน ของ exponential distribution คือ และ • ค่าเฉลี่ย & ค่าความแปรปรวน ของ chi-square distribution คือ และ

23. Th’m 6: The moment generating fn of the gamma distribution คือ

24. 4.11 Beta distribution • Def 13 : ตัวแปรสุ่ม X จะมี beta distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for 0 < x < 1 elsewhere where and

25. ค่าเฉลี่ย & ค่าความแปรปรวน ของ beta distribution คือ และ

26. 4.12 Normal Distribution • Def 14: ตัวแปรสุ่ม X จะมี normal distribution ก็ต่อเมื่อ pdf of X เป็น for where Symmetry

27. Th’m 7: The moment generating fn of the normal distribution คือ

28. Def 15:Standard normal distribution คือ normal distribution ที่มี ค่าเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน --> pdf of Standard Normal r.v.

29. Th’m 8:ถ้า X มี normal distribution โดยที่ mean และ sd จะได้ว่าตัวแปรสุ่ม จะเป็น standard normal distribution

30. การประมาณค่า Binomial ด้วย Normal Distribution“De Moivre - Laplace Limit Theorem” • Th’m 9:ถ้าตัวแปรสุ่ม X มี binomial distribution โดยมี parameter n และ ( ) จะได้ว่าสำหรับ ค่าคงที่ a และ b ใดๆ

31. Th’m 10: คุณสมบัติของ MGF 1. MX(t) = MY(t) ก็ต่อเมื่อ pdf of X = pdf of Y 2. ถ้า lim ของ MX(t) มีค่าเข้าสู่ MY(t) จะได้ว่า lim ของ pdf of X มีค่าเข้าใกล้ pdf of Y • Standardized binomial จะเข้าใกล้ standard normal distribution เมื่อ (และ มีค่าที่ไม่ใกล้เคียง 0 หรือ 1 จนเกินไป)

32. 5.6The Bivariate Normal Distribution • Def 16:ตัวแปรสุ่ม X และ Y คู่หนึ่งมี bivariate normal distribution ก็ต่อเมื่อ joint pdf เป็น for and where and

33. คุณสมบัติสำคัญของ Bivariate Normal Distribution 1. Joint pdf ถูกกำหนดด้วย parameter 5 ตัว: 2. Marginal pdf of X จะเป็น Normal Dist ซึ่งมี 3. Marginal pdf of Y จะเป็น Normal Dist ซึ่งมี 4. = Correlation Coeff. แสดงถึง corr ของ r.v. X & Y

34. 5. Conditional pdf of Y given X=x จะเป็น Normal Dist ซึ่งมี 6. Conditional pdf of X given Y=y จะเป็น Normal Dist ซึ่งมี 7.ถ้า X&Y เป็น bivariate normal, X&Y จะเป็นอิสระต่อกัน ก็ต่อเมื่อ(หรือ cov(X,Y) = 0)