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{. x=-1 x=1 x=2. f(0)=2. Puntos de corte con los ejes. Consideramos la función f(x) =x 3 -2x 2 -x+2. Con el eje OX. Resolvemos la ecuación x 3 -2x 2 -x+2=0. Puntos de cortes (-1,0) (1,0) (2,0). Con el eje OY. Calculamos f(0). Punto de corte (0,2). d. d. x. -x. x=0.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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puntos de corte con los ejes

{

x=-1

x=1

x=2

f(0)=2

Puntos de corte con los ejes

Consideramos la función f(x) =x3-2x2-x+2

Con el eje OX

Resolvemos la ecuación

x3-2x2-x+2=0

Puntos de cortes (-1,0) (1,0) (2,0)

Con el eje OY

Calculamos f(0)

Punto de corte (0,2)

simetr as axiales funciones pares

d

d

x

-x

x=0

Simetrías axiales: Funciones pares

Consideramos la función f(x) = x4-2x2

La función es simétrica respecto del eje Y.

Por tanto,

f(-x) = (-x)4-2(-x)2 = x4-2x2 = f(x)

Una función que presenta este tipo de simetría se denomina función par.

simetr as centrales funciones impares

d

d

x

-x

Simetrías centrales: Funciones impares

Consideramos la función f(x) = x3-x

La función es simétrica respecto del origen de coordenadas.

Por tanto,

f(-x) = (-x)3-(-x) = -x3+x = -f(x)

Una función que presenta este tipo de simetría se denomina función impar.

funciones polin micas

Dominio

Recorrido

Recorrido

Dominio

Funciones polinómicas

Se llama función polinómica a las funciones f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + ao donde an, an-1, ..., ao son números reales, n es un número natural, y an 0.

En este caso se dice que tenemos una función polinómica de grado n.

Las funciones f(x) = xn para n = 1, 2, 3, .....

f(x) = x2

f(x) = x4

f(x) = x5

f(x) = x3

funciones lineales

Recorrido: R

Recorrido: R

Dominio: R

Dominio: R

Funciones lineales

Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b R se llaman funciones lineales.

  • (0, b): ordenada
  • en el origen
  • (0, b): ordenada
  • en el origen

f(x) = ax + b, a > 0

f(x) = ax + b, a < 0

Una función lineal queda determinada cuando se conocen las imágenes

de dos valores distintos de la variable independiente.

funciones cuadr ticas

Funciones cuadráticas

Son funciones de la forma y = ax2 + bx + c, donde a  0, b, c  R

  • Funciones y = ax2 para diferentes valores de a:
  • Son parábolas
  • Dominio: R
  • Si a > 0: Recorrido = [0, )
  • Si a < 0: Recorrido = (–, 0]

a =2

a =1

a = 0,5

a = – 2

a = – 1

a = – 0,5

representaci n gr fica de funciones cuadr ticas

Representación gráfica de funciones cuadráticas

f(x) = ax2 + bx + c, a0 es una parábola

  • V

a > 0

a < 0

  • V
slide8

Gráficas de funciones: monotonía y curvatura

Funciones polinómicas de segundo grado: f(x) = ax2 + bx + c (I)

  • a > 0
  • convexa
  • ramas hacia arriba
  • mínimo en el vértice
  • a < 0
  • cóncava
  • ramas hacia abajo
  • máximo en el vértice

Coordenadas del vértice: (–b/(2a), f(–b/(2a))

Eje de simetría: x = –b/(2a)

funciones polin micas de segundo grado f x ax 2 bx c ii

Gráficas de funciones: monotonía y curvatura

b2 – 4ac < 0  no corta al eje OX

Punto de corte con el eje OY: (0, c)

Funciones polinómicas de segundo grado: f(x) = ax2 + bx + c (II)

b2 – 4ac > 0  corta al eje OX en dos puntos

b2 – 4ac = 0  corta al eje OX en un punto

funciones polin micas de tercer grado f x ax 3 bx 2 cx d i

Tipo 1: punto de inflexión cóncavo–convexo

a > 0

  • I
  • Sin máximos ni mínimos relativos y un solo punto de inflexión.
  • Cortan al eje OX en un solo punto y al eje OY en un solo punto.

Funciones polinómicas de tercer grado:

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (I)

  • I

Tipo 2: punto de inflexión convexo–cóncavo

a < 0

funciones polin micas de tercer grado f x ax 3 bx 2 cx d ii

M

a > 0

Tipo 3: Máximo–mínimo

  • I
  • Con un máximo y un mínimo relativos y un solo punto de inflexión.
  • Cortan al eje OY en un solo punto.
  • Pueden cortar al eje OX en 3, 2 ó 1 punto.
  • m

Funciones polinómicas de tercer grado: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (II)

  • M
  • I

Tipo 4: Mínimo–máximo

a < 0

  • m
funciones polin micas de tercer grado f x ax 3 bx 2 cx d ii1

M

a > 0

Tipo 3: Máximo–mínimo

  • I
  • Con un máximo y un mínimo relativos y un solo punto de inflexión.
  • Cortan al eje OY en un solo punto.
  • Pueden cortar al eje OX en 3, 2 ó 1 punto.
  • m

Funciones polinómicas de tercer grado:

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (II)

  • M
  • I

Tipo 4: Mínimo–máximo

a < 0

  • m
funciones racionales

– 1

1

Funciones racionales

Una función racional es una función cociente de dos funciones polinómicas; es decir, f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son dos polinomios.

+

+

x - 1 –

+

x + 1 –

  • Dominio: conjunto de todos los números reales excepto los que anulan al denominador. Por tanto para hallar el dominio hay que resolver la ecuación Q(x) = 0.

+

f(x) +

Las asíntotas de la función f(x) = 1/(x2 - 1)

y los cambios de signo en su dominio.

gr ficas de algunas funciones

Gráficas de algunas funciones

  • Es una hipérbola
  • Dom (f) = R - {0}
  • Rec(f) = R - {0}
  • Dom (f) = [0, +)
  • Rec(f) = [0, +)

Final

funci n valor absoluto
Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1.Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
funci n valor absoluto1

Y

x si x >0

- x si x  0

X

Función valor absoluto

  • Dom (f) = R
  • Rec (f) = [0, +)

Final

funci n parte entera y x

Y

-2

-1

1

2

3

X

Función parte entera y = [ x ]

  • Dom (f) = R
  • Rec (f) = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ....}

Final

funciones exponenciales

Funciones exponenciales

Una función exponencial es una función de la forma f(x) = ax, siendo x la variable y a un número real.

  • Dominio: R. Recorrido: (0, )
  • Las gráficas de todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0, 1).

f(x) = ex

f(x) = e– x = (1/e)x

f(x) = 2x

f(x) = 2– x = (1/2)x

0 < a < 1

a > 1

funciones logar tmicas

Funciones logarítmicas

Una función logarítmica es una función de la forma f(x) = loga x, siendo x la variable y a un número real mayor que 0 y distinto de 1.

  • Dominio: (0, ). Recorrido: R
  • Las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0).
  • Es inversa de la exponencial: sus gráficas son simétrica respecto y = x.

f(x) = ax

f(x) = ax

f(x) = loga x

f(x) = loga x

0 < a < 1

a > 1

funci n peri dica

período = T

período = T

3

2

1

0

x

x + T

10,35

10,15

10,30

11,45

11,15

10,45

11

Función periódica

Una función f(x) es periódica de período T si existe un número real T  0, llamado período, tal que f(x) = f(x + T), para todo x de su dominio.

funci n mantisa
La función mantisa hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera.

f(x) = x – [x]

Función mantisa

La función mantisa, f(x) = x – [x], es periódica de periodo 1.

algunas gr ficas de funciones trigonom tricas
ALGUNAS GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:

Propiedades de las funciones trigonométricas

  • Las funciones seno, coseno y tangente son periódicas, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2π y el de la función tangente es π .
  • Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).
  • Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.
  • Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen(-x)=-sen x; tan(-x)=-tan x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos(-x)=cos x.
funci n seno

y = 1

y = –1

Función seno

-3p -5p/2 -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p 5p/2 3p

  • Propiedades de la función seno:
  • Su dominio que es R.
  • Su recorrido es el intervalo [–1, 1].
  • Es periódica de período 2π.
  • Es una función impar: sen (– x ) = sen x.
funci n coseno

y = 1

y = –1

Función coseno

-3p -5p/2 -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p 5p/2 3p

y = cos x

y = sen x

  • Propiedades de la función coseno:
  • Su dominio es R.
  • Su recorrido es el intervalo [–1, 1].
  • Es periódica de período 2π.
  • Es una función par: cos (– x ) = cos x.
funci n tangente

Función tangente

-2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p

  • Propiedades de la función tangente:
  • Su dominio es R – {p/2 + kp: k Z}.
  • Su recorrido es toda la recta real.
  • Es periódica de período p.
  • Las recta x = p/2 + kp, k Z son asíntotas verticales.
  • Es una función impar: tan (– x ) = – tan x.
funci n cotangente
FUNCIÓN COTANGENTE

CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA :

Su dominio es toda x ≠ ±nπ.

Su imagen es el conjunto de todos los números reales.

No corta al eje OY.

Corta al eje OX en x = π/2±nπ.

Las asíntotas son x = ±nπ.

Su periodo es π.

gr fica de la funci n cotangente
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE

CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA :

Dominio:

R − {x = kπ, k Є Z}Imagen: RParidad: ctg x = - ctg(-x) [función impar]

Periodo: π

Corta al eje OX en

x = (k+1)π/2, k Є Z

No corta al eje OY

Las asíntotas son

x = kπ/2, k Є Z

funci n secante
FUNCIÓN SECANTE

CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA :

Su dominio: R − {(2k+1)π/2,kЄZ } Su imagen es (- ∞,1] U [1, + ∞)

Corta al eje OY en el punto (0,1). No corta al eje OX

Puntos máximos: ((2k+1)π, -1) k ЄZ Puntos mínimos: ((2kπ,, 1). k ЄZ

Las asíntotas son x =( 2k+1)π/2, k Є Z Su periodo es 2π.

gr fica de la funci n cosecante
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE

CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA :

Su dominio: R − {(kπ, k ЄZ }

Su imagen es (- ∞,1] U [1, + ∞)

No corta ni al eje OY ni al OX

Puntos máximos: ((2k+1)π/2, -1) k ЄZ

Puntos mínimos: ((2k-1)π/2,, 1). k ЄZ

Las asíntotas son x = kπ, kЄZ

Su periodo es 2π.

funci n arco seno

p/2

1

–1

–p/2

p/2

1

– 1

– p/2

Función arco seno

La función sen x es inyectiva en [–p/2, p/2]. En ese intervalo tendrá inversa:

f(x) = arcsen x.

Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y = x.

y = arcsen x

y = sen x

0

y = x

  • Propiedades de la función arco seno:
  • Su dominio es [–1, 1].
  • Su recorrido es el intervalo [–p/2,p/2].
funci n arco tangente

p/2

p/2

p/2

p/2

La función tan x es inyectiva en [p/2, p/2]. En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arctan x.

Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y = x.

Función arco tangente

y = tan x

0

y = arctan x

y = x

  • Propiedades de la función arco tangente
  • Su dominio: R.
  • Su recorrido es el intervalo [p/2,p/2].
transformaciones de funciones
TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES

La siguiente tabla resume las reglas básicas que se deben seguir para efectuar transformaciones a una gráfica que se represente por medio de una fórmula o ecuación.

funciones obtenidas a partir de otras traslaciones en la variable dependiente

Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable dependiente

Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces la función y =f(x)+a pasa por el punto (xo, yo+a). La gráfica de y = f(x)+a se obtiene trasladando a unidades hacia la arriba (abajo) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0)

Trasladamos la gráfica de y = f(x), 2 unidades hacia arriba

Gráfica de y = f(x)+2

Gráfica de y = f(x)

Final

funciones obtenidas a partir de otras traslaciones en la variable independiente

Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable independiente

Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo, yo) entonces la función y =f(x+a) pasa por el punto (xo - a, yo). La gráfica de y = f(x+a) se obtiene trasladando a unidades hacia la izquierda (derecha) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0)

Trasladamos la gráfica de y = f(x) 2 unidades a la izquierda

Gráfica de y = f(x+2)

Gráfica de y = f(x)

Final

funciones obtenidas a partir de otras dilataciones en la variable dependiente

Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable dependiente

Si y = f(x) pasa por (xo,yo) entonces y = af(x) pasa por (xo, ayo). Por ello para a>1 esta transformación dilata verticalmente la gráfica, y para 0 < a < 1 la contrae verticalmente

Se dilata la gráfica verticalmente al doble

Gráfica de y = f(x)

Gráfica de

y = 2f(x)

Final

gr ficas de f x y de f x i

Gráficas de f(x) y de - f(x) (I)

Conocida la gráfica de y = f(x), la gráfica de g(x) = - f(x) es simétrica respecto al eje de abcisas, ya que los puntos (x, f(x)), y (x, g(x)) = (x, -f(x)) son simétricos respecto a este eje

Se simetriza la gráfica respecto al eje OX

Gráfica de y = - f(x)

Gráfica de y = f(x)

Final

funciones obtenidas a partir de otras dilataciones en la variable independiente

Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable independiente

Si la función y = f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces y = f(ax) pasa por el punto (xo/a, yo). Si a > 1 la gráfica se contrae horizontalmente. Si 0 < a < 1 la gráfica se dilata horizontalmente

Se contrae la gráfica horizontalmente a la mitad

Gráfica de

y = f(2x)

Gráfica de y = f(x)

Final

gr ficas de f x y de f x

Gráficas de f(x) y de f(-x)

Las gráficas de f(x) y de g(x) = f(-x) son simétricas respecto al eje de ordenadas ya que los puntos (x, f(x)) y (-x, g(-x)) = (-x, f(x)) son simétricos respecto a este eje

Se simetriza la gráfica respecto al eje OY

Gráfica de y = f(-x)

Gráfica de y = f(x)

Final