Puntos de corte con los ejes

1. { x=-1 x=1 x=2 f(0)=2 Puntos de corte con los ejes Consideramos la función f(x) =x3-2x2-x+2 Con el eje OX Resolvemos la ecuación x3-2x2-x+2=0 Puntos de cortes (-1,0) (1,0) (2,0) Con el eje OY Calculamos f(0) Punto de corte (0,2)

2. d d x -x x=0 Simetrías axiales: Funciones pares Consideramos la función f(x) = x4-2x2 La función es simétrica respecto del eje Y. Por tanto, f(-x) = (-x)4-2(-x)2 = x4-2x2 = f(x) Una función que presenta este tipo de simetría se denomina función par.

3. d d x -x Simetrías centrales: Funciones impares Consideramos la función f(x) = x3-x La función es simétrica respecto del origen de coordenadas. Por tanto, f(-x) = (-x)3-(-x) = -x3+x = -f(x) Una función que presenta este tipo de simetría se denomina función impar.

4. período = T período = T 3 2 1 0 x x + T 10,35 10,15 10,30 11,45 11,15 10,45 11 Función periódica Una función f(x) es periódica de período T si existe un número real T  0, llamado período, tal que f(x) = f(x + T), para todo x de su dominio.

5. Dominio Recorrido Recorrido Dominio Funciones polinómicas Se llama función polinómica a las funciones f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + ao donde an, an-1, ..., ao son números reales, n es un número natural, y an 0. En este caso se dice que tenemos una función polinómica de grado n. Las funciones f(x) = xn para n = 1, 2, 3, ..... f(x) = x2 f(x) = x4 f(x) = x5 f(x) = x3

6. Recorrido: R Recorrido: R Dominio: R Dominio: R Funciones lineales Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b R se llaman funciones lineales. • (0, b): ordenada • en el origen • (0, b): ordenada • en el origen f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0 Una función lineal queda determinada cuando se conocen las imágenes de dos valores distintos de la variable independiente.

7. Funciones cuadráticas Son funciones de la forma y = ax2 + bx + c, donde a  0, b, c  R • Funciones y = ax2 para diferentes valores de a: • Son parábolas • Dominio: R • Si a > 0: Recorrido = [0, ) • Si a < 0: Recorrido = (–, 0] a =2 a =1 a = 0,5 a = – 2 a = – 1 a = – 0,5

8. Representación gráfica de funciones cuadráticas f(x) = ax2 + bx + c, a0 es una parábola • V a > 0 a < 0 • V

9. Gráficas de funciones: monotonía y curvatura Funciones polinómicas de segundo grado: f(x) = ax2 + bx + c (I) • a > 0 • convexa • ramas hacia arriba • mínimo en el vértice • a < 0 • cóncava • ramas hacia abajo • máximo en el vértice Coordenadas del vértice: (–b/(2a), f(–b/(2a)) Eje de simetría: x = –b/(2a)

10. Gráficas de funciones: monotonía y curvatura b2 – 4ac < 0  no corta al eje OX Punto de corte con el eje OY: (0, c) Funciones polinómicas de segundo grado: f(x) = ax2 + bx + c (II) b2 – 4ac > 0  corta al eje OX en dos puntos b2 – 4ac = 0  corta al eje OX en un punto

11. Representación gráfica de algunas funciones polinómicas Grado 3 Grado 4 Grado 5 Grado 6

12. Tipo 1: punto de inflexión cóncavo–convexo a > 0 • I • Sin máximos ni mínimos relativos y un solo punto de inflexión. • Cortan al eje OX en un solo punto y al eje OY en un solo punto. Funciones polinómicas de tercer grado: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (I) • I Tipo 2: punto de inflexión convexo–cóncavo a < 0

13. M a > 0 Tipo 3: Máximo–mínimo • I • Con un máximo y un mínimo relativos y un solo punto de inflexión. • Cortan al eje OY en un solo punto. • Pueden cortar al eje OX en 3, 2 ó 1 punto. • m Funciones polinómicas de tercer grado: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (II) • M • I Tipo 4: Mínimo–máximo a < 0 • m

14. M a > 0 Tipo 3: Máximo–mínimo • I • Con un máximo y un mínimo relativos y un solo punto de inflexión. • Cortan al eje OY en un solo punto. • Pueden cortar al eje OX en 3, 2 ó 1 punto. • m Funciones polinómicas de tercer grado: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (II) • M • I Tipo 4: Mínimo–máximo a < 0 • m

15. – 1 1 Funciones racionales Una función racional es una función cociente de dos funciones polinómicas; es decir, f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son dos polinomios. + + x + 1 – + x + 1 – – • Dominio: conjunto de todos los números reales excepto los que anulan al denominador. Por tanto para hallar el dominio hay que resolver la ecuación Q(x) = 0. + f(x) + – Las asíntotas de la función f(x) = 1/(x2 - 1) y los cambios de signo en su dominio.

16. Funciones exponenciales Una función exponencial es una función de la forma f(x) = ax, siendo x la variable y a un número real. • Dominio: R. Recorrido: (0, ) • Las gráficas de todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0, 1). f(x) = ex f(x) = e– x = (1/e)x f(x) = 2x f(x) = 2– x = (1/2)x 0 < a < 1 a > 1

17. Funciones logarítmicas Una función logarítmica es una función de la forma f(x) = loga x, siendo x la variable y a un número real mayor que 0 y distinto de 1. • Dominio: (0, ). Recorrido: R • Las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0). • Es inversa de la exponencial: sus gráficas son simétrica respecto y = x. f(x) = ax f(x) = ax f(x) = loga x f(x) = loga x 0 < a < 1 a > 1

18. y = 1 y = –1 Función seno -3p -5p/2 -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p 5p/2 3p • Propiedades de la función seno: • Su dominio que es R. • Su recorrido es el intervalo [–1, 1]. • Es periódica de período 2p. • Es una función impar: sen (– x ) = sen x.

19. y = 1 y = –1 Función coseno -3p -5p/2 -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p 5p/2 3p y = cos x y = sen x • Propiedades de la función coseno: • Su dominio es R. • Su recorrido es el intervalo [–1, 1]. • Es periódica de período 2p. • Es una función par: cos (– x ) = cos x.

20. Función tangente -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p • Propiedades de la función tangente: • Su dominio es R – {p/2 + kp: k Z}. • Su recorrido es toda la recta real. • Es periódica de período p. • Las recta x = p/2 + kp, k Z son asíntotas verticales. • Es una función impar: tan (– x ) = – tan x.

21. p/2 1 –1 –p/2 p/2 1 – 1 – p/2 Función arco seno La función sen x es inyectiva en [–p/2, p/2]. En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arcsen x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y = x. y = arcsen x y = sen x 0 y = x • Propiedades de la función arco seno: • Su dominio es [–1, 1]. • Su recorrido es el intervalo [–p/2,p/2].

22. p/2 p/2 p/2 p/2 La función tan x es inyectiva en [p/2, p/2]. En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arctan x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y = x. Función arco tangente y = tan x 0 y = arctan x y = x • Propiedades de la función arco tangente • Su dominio: R. • Su recorrido es el intervalo [p/2,p/2].