Factorisation d’un trinôme carré parfait
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Factorisation d’un trinôme carré parfait. Factorisation d’un trinôme carré parfait. Un trinôme carré parfait est le produit d’un binôme par lui-même. ( x + 5 ) 2. ( x - 5 ) 2. Exemples :. +. -. ( x + 5 ) ( x + 5 ) . ( x - 5 ) ( x - 5 ) . x ( x + 5 ) + 5 ( x + 5 ) .

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Presentation Transcript

Factorisation d’un trinôme carré parfait.

Un trinôme carré parfait est le produit d’un binôme par lui-même.

( x + 5 )2

( x - 5 )2

Exemples :

+

-

( x + 5 ) ( x + 5 )

( x - 5 ) ( x - 5 )

x ( x + 5 ) + 5 ( x + 5 )

x ( x - 5 ) - 5 ( x - 5 )

x2 + 5x + 5x + 25

x2 - 5x - 5x + 25

x2 + 10x + 25

x2 - 10x + 25

On peut remarquer que :

- le premier terme du trinôme est un carré;

- le troisième terme du trinôme est un carré;

- le terme du milieu est le double de la racine carrée

du premier terme multiplié par la racine carrée du

troisième terme;

- le signe du 2e terme est le même que celui du binôme.


2 X T1 X T3

2 X x2 X 25

Appelons le premier terme : T1

T1

T2

T3

x2 + 10x + 25

Appelons le deuxième terme : T2

Appelons le troisième terme : T3

x2

- le premier terme du trinôme est un carré;

T1 est un carré :

+ 25

- le troisième terme du trinôme est un carré;

T3 est un carré :

  • le terme du milieu est le double

  • de la racine carrée du premier terme

  • multiplié par la racine carrée du

  • troisième terme.

T2 =

2 X x X 5

= 10 x

Un trinôme carré parfait doit respecter ces 3 conditions.


2 X T1 X T3

2 X T1 X T3

2 X x2 X 36

2 X x2 X 16

Détermine si ces trinômes sont des trinômes carrés parfaits.

x2 + 8x + 16

Oui

x2

T2 =

T1 est un carré :

T3 est un carré :

+16

2 X x X 4

= 8 x

x2 - 12x + 36

Oui

x2

T2 =

T1 est un carré :

T3 est un carré :

+36

2 X x X 6

= 12 x

x2 + 7x + 12

Non

x2

T1 est un carré :

T3 n’est pas un carré :

+12


2 X T1 X T3

2 X x2 X 36

x2 + 5x - 36

Non

x2

T3 n’est pas un carré car il est négatif:

- 36

T1 est un carré :

-x2 - x + 20

- x2

Non

T1 n’est pas un carré car il est négatif:

x2 + 13x + 36

Non

x2

T2 ≠

T1 est un carré :

T3 est un carré :

+36

2 X x X 6

= 12 x

12 x ≠ 13 x

Un trinôme carré parfait doit respecter les 3 conditions.


2 X T1 X T3

2 X x2 X 49

2x2 - 28x + 98

Non,

mais il contient un trinôme carré parfait.

En faisant un simple mise en évidence, on obtient :

2 ( x2 - 14x + 49 )

x2

T2 =

T1 est un carré :

T3 est un carré :

+ 49

2 X x X 7

= 14 x

Remarque :

La simple mise en évidence est la première étape d’une factorisation lorsqu’un même facteur se retrouve dans tous les termes d’un polynôme.


T2 est-il égal à :

?

2 X T1 X T3

2 X T1 X T3

2 X x2 X 9

Factoriser un trinôme carré parfait

Pour factoriser un trinôme carré parfait, il faut d’abord vérifier si le trinôme en est un en l’analysant avec les 3 conditions :

T1 est-il un carré

T3 est-il un carré?

Si oui :

- on extrait la racine carrée de T1 et T3 ;

- on récupère le signe de T2 pour le placer dans le binôme;

- on indique que le binôme est un carré.

x2 + 6x + 9

Exemple :

Factoriser le trinôme suivant :

Analyse du trinôme :

x2

T2 =

T1 est un carré :

T3 est un carré :

+9

2 X x X 3

= 6 x

x2 + 6x + 9

est donc un trinôme carré parfait.


)

(

x2 + 6x + 9

- On extrait la racine carrée de T1 et T3 :

x2 + 6x +9

+

2

x

3

- On récupère le signe de T2 pour le placer dans le binôme.

- On indique que le binôme est un carré.

x2 + 6x + 9

(x + 3)2

=


)

(

x2 - 16x + 64

- On extrait la racine carrée de T1 et T3 :

x2 - 16x +64

-

2

x

8

- On récupère le signe de T2 pour le placer dans le binôme.

- On indique que le binôme est un carré.

x2 - 16x + 64

(x - 8)2

=


2 X x2 X 144

2 X T1 X T3

2 X T1 X T3

Identifie, puis factorise les trinômes carrés parfaits.

x2 + 22x + 121

est un trinôme carré parfait.

= 22x

x2

T2 =

T1 est un carré :

T3 est un carré :

121

x2 + 22x + 121 =

( x + 11 )2

x2 + 26x + 144

n’est pas un trinôme carré parfait.

x2

T2 ≠

T1 est un carré :

T3 est un carré :

144

2 X x X 12

= 24 x

24 x ≠ 26 x

x2 + 26x + 144

Remarque :

se factorise quand même mais par un autre procédé.

x2 + 26x + 144 =

(x + 6) (x + 8)


2 X T1 X T3

2 X T1 X T3

Identifie, puis factorise les trinômes carrés parfaits.

x2 - 26x + 169

est un trinôme carré parfait.

x2

= 26x

T2 =

T1 est un carré :

T3 est un carré :

169

x2 - 26x + 169 =

( x - 13 )2

3x2 + 6x + 3

contient un trinôme carré parfait :

3(x2 + 2x + 1)

= 2x

x2

T2 =

T1 est un carré :

T3 est un carré :

1

3(x2 + 2x + 1) =

3x2 + 6x + 3 =

3( x + 1 )2

Remarque :

Le nombre 1 est un nombre particulier en mathématiques.

Il est un carré : 12 = 1

Il est aussi un cube : 13 = 1

Il est aussi …


une de ces étapes consiste à

trouver un troisième terme afin de créer un trinôme carré parfait.

Trouver un 3e terme pour former un trinôme carré parfait

Il existe plusieurs techniques de factorisation de trinômes,

une d’elles s’appelle

la technique de complétion du carré.

C’est une technique comportant quelques étapes;

La présentation «  La technique de la complétion du carré.ppt » explique cette technique.

Pour l’instant, voyons comment trouver ce troisième terme afin de compléter un trinôme carré parfait.


T2 =

T2

=

2 X T1 X T3

2 X T1 X T3

2 X T1

2 X T1

T3

T2

T3

=

2

T2

2 X T1

=

T3

2 X T1

On voudrait créer un trinôme carré parfait à partir de cette expression algébrique.

x2 + 6x + ?

Pour déterminer ce nombre, on peut utiliser une des conditions d’analyse d’un trinôme carré parfait soit

Comme nous cherchons T3 ,

isolons, à partir de cette équation, T3 :

Élevons l’expression au carré :

2

2

T2

=

2 X T1


2

T2

T3

=

2 X T1

2

6x

T3

=

2 X x2

2

6x

T3

=

2 X x

2

6

T3

=

2

2

T3

( 3 )

=

Pour obtenir le troisième terme, on peut le calculer à l’aide de cette expression :

x2 + 6x + ?

= 9

( x + 3)2

x2 + 6x + 9 ;

Le trinôme carré parfait est donc

factorisé :


2

T2

T3

=

2 X T1

2

4x

T3

=

2 X x2

2

4x

T3

=

2 X x

2

4

T3

=

2

2

T3

( 2 )

=

Détermine le troisième terme de ces expressions algébriques afin de créer un trinôme carré parfait.

x2 + 4x + ?

= 4

( x + 2 )2

x2 + 4x + 4 ;

Le trinôme carré parfait est donc

factorisé :


2

T2

T3

=

2 X T1

2

-16x

T3

=

2 X x2

2

-16x

T3

=

2 X x

2

-16

T3

=

2

2

T3

( -8 )

=

x2 - 16x + ?

= 64

( x – 8 )2

x2 - 16x + 64 ;

Le trinôme carré parfait est donc

factorisé :


2

T2

T3

=

2 X T1

2

7x

T3

=

2 X x2

2

7x

T3

=

2 X x

2

7

T3

=

2

49

T3

=

4

2

7

x +

x2 + 7x + 49 ;

2

4

x2 + 7x + ?

Le trinôme carré parfait est donc

factorisé :


2

T2

T3

=

2 X T1

2

-10x

T3

=

2 X x2

2

-10x

T3

=

2 X x

2

-10

T3

=

2

2

T3

( -5 )

=

2x2 - 20x + ?

Il faut, en premier, faire une simple mise en évidence pour que T1 devienne un carré.

2(x2 - 10x + ?)

= 25

2( x – 5 )2

2(x2 - 10x + 25) ;

Le trinôme est donc

factorisé :


ad