Factorisation par division

1. Factorisation par division

2. Factoriser, c’est retrouver les facteurs qui constituent un produit. factoriser Produit = facteur X facteur 5a = 5 X a ab = a X b 3x + 3 = 3 X ( x + 1 ) x2 + 5x + 6 = ( x + 2 ) X ( x + 3) Remarque : Comme il existe plusieurs formes de produit, il existe plusieurs techniques de factorisation.

3. Factoriser par division Lorsque l’on connaît l’un des facteurs, on peut déterminer l’autre par division. Exemple : Que vaut le quotient de 15 ÷ 3? Ici, on nous fournit un des facteurs soit 3. La division de 15 par 3 nous donnera l’autre facteur soit 5. La division est donc une forme de factorisation.

4. Division de monômes Pour diviser un monôme par un monôme, il faut : - diviser les coefficients entre eux; - diviser les lettres semblables en soustrayant leurs exposants; - inclure les lettres différentes dans le terme final. 12x3 y2 z ÷ 6yz : 12 ÷ 6 = 2 x3 y y1 = y2÷ y1 = y2-1 = 1 z0 = z1-1 = z ÷ z = z1÷ z1 = 2 . x3 . y . 1 = 2x3 y

5. x y2 2 z 2 . x . x . y . y . y . z 2x2y3z x y2 4xyz2 2 . 2 . x . y . z . z 2 z 1 z 1 2 1 z x y2 x . y2 . . 1 2 z 2 2x2y3z ÷ 4xyz2 = Soit = = 2x2y3z ÷ 4xyz2 : 2 ÷ 4 = Soit 21-2 = 2-1 = 21 ÷ 22 = x1 = x2÷ x1 = x2-1 = x y2 y3÷ y1 = y3-1 = z-1 = z1-2 = z1÷ z2 = =

6. 3xy + 6y ( 3xy + 6y ) = = 3y 3y 3y x2 - 3x ( x2 – 3x ) = = x x x ( 6x3 + 9x2 – 12x ) 6x3 + 9x2 - 12x = = 3x 3x 3x 3x Division d’un polynôme par un monôme Pour diviser un polynôme par un monôme : - on distribue le monôme sur le polynôme; - on procède alors comme une division d’un monôme par un monôme. Exemples : ( 3xy + 6y ) ÷ 3y = x + 2 x - 3 ( x2 – 3x ) ÷ x = 2x2 + 3x - 4

7. Ce nombre s’appelle le diviseur. Ce nombre s’appelle le dividende. Ce nombre s’appelle le quotient. Un autre procédé pourrait être utilisé. Pour bien comprendre ce procédé, il faut se souvenir du procédé manuel de division. Exemple : 875 ÷ 5 5 5 8 7 5 7 - 1 7 5 5 En débutant par le chiffre le plus à gauche dans le dividende, on cherche combien de fois on peut y inclure le diviseur. On soustrait alors cette quantité. 3 - On abaisse le chiffre suivant et on recommence. 3 5 2 - 2 5 0 Comme il n’y a pas de reste dans cette division, on conclut que 5 et 175 sont deux facteurs de 875.

8. Exemple : 947 ÷ 6 6 9 4 7 7 4 - 1 5 7 6 En débutant par le chiffre le plus à gauche dans le dividende, on cherche combien de fois on peut y inclure le diviseur. On soustrait alors cette quantité. 3 - On abaisse le chiffre suivant et on recommence. 3 0 4 - 4 2 5 Comme il y a un reste dans cette division, on conclut que 6 et 157 ne sont pas deux facteurs de 947.

9. On peut utiliser le même procédé pour diviser un polynôme par un monôme. Exemple : ( 3xy + 6y ) ÷ 3y 3y On cherche le facteur qui multiplié par 3y donne 6y; On commence par le terme le plus à gauche dans le dividende. 3xy + 6y + 6y On effectue la soustraction. - + - 3xy ce facteur est + 2. + 2 0 On abaisse l’autre terme et on recommence. On cherche le facteur qui multiplié par 3y donne +3xy; - + - + 6y x ce facteur est x. 0 Comme il n’y a pas de reste dans cette division, on conclut que 3y et (x + 2) sont deux facteurs de (3xy + 6y).

10. ( x2 – 3x ) ÷ x = Exemple : x On cherche le facteur qui multiplié par x donne -3x; On commence par le terme le plus à gauche dans le dividende. x2 - 3x - 3x On effectue la soustraction. - + - x2 ce facteur est - 3. - 3 0 On abaisse l’autre terme et on recommence. On cherche le facteur qui multiplié par x donne +x2; - + - 3x + x ce facteur est x. 0 Comme il n’y a pas de reste dans cette division, on conclut que x et (x - 3) sont deux facteurs de (x2 – 3x).

11. ( 6x3 + 9x2 – 12x ) 3x Exemple : 3x + 9x2 – 12x 6x3 + 9x2 – 12x - + - 6x3 2x2 + 3x - 4 0 – 12x - + - 9x2 + 0 - + – 12x + 0 Comme il n’y a pas de reste dans cette division, on conclut que 3x et (2x2 + 3x – 4) sont deux facteurs de (6x3 + 9x2 – 12x).

12. ( 3x2 + 6x – 8 ) 3 Exemple : 3x2 + 6x – 8 3 + 6x – 8 - + - 3x2 x2 + 2x - 2 0 – 8 - + - 6x + 0 - + – 6 + - 2 Comme il y a un reste dans cette division, on conclut que 3 et (x2 + 2x – 2) ne sont pas deux facteurs de (3x2 + 6x – 8).

13. X Division d’un polynôme par un binôme La division d’un polynôme par un binôme utilise le même procédé avec un peu plus de calculs. Exemple : (x2 + 5x + 6) ÷ (x + 3) On commence avec le terme le plus à gauche dans le dividende et le terme le plus à gauche dans le diviseur. x + 3 x2 + 5x + 6 + 6 + - + 2 x2 + 3x - - On cherche le facteur qui multiplié par x donne +x2 ; 2x + - x ce facteur est x . 2x - + 6 - 0 0 Attention : Le diviseur est un binôme; il faut donc penser à multiplier le 2e terme aussi. On effectue la soustraction. On abaisse le reste du polynôme et on recommence. Comme il n’y a pas de reste dans cette division, on conclut que (x + 3) et (x + 2) sont deux facteurs de (x2 + 5x + 6).

14. X Division d’un polynôme par un binôme Exemple : (x2 + 2x - 8) ÷ (x + 4) On commence avec le terme le plus à gauche dans le dividende et le terme le plus à gauche dans le diviseur. x + 4 x2 + 2x - 8 - 8 + - - 2 + 4x x2 - - On cherche le facteur qui multiplié par x donne x2 ; - 2x + - x ce facteur est x . - 2x - 8 + + 0 0 Attention : Le diviseur est un binôme; il faut donc penser à multiplier le 2e terme aussi. On effectue la soustraction. On abaisse le reste du polynôme et on recommence. Comme il n’y a pas de reste dans cette division, on conclut que (x + 4) et (x – 2) sont deux facteurs de (x2 + 2x - 8).

15. Division d’un polynôme par un binôme Exemple : (4x2 - 4x - 15) ÷ (2x + 3) On commence avec le terme le plus à gauche dans le dividende et le terme le plus à gauche dans le diviseur. 2x + 3 4x2 - 4x - 15 - 15 + - - 5 + 6x 4x2 - - On cherche le facteur qui multiplié par 2x donne 4x2 ; - 10x + - ce facteur est 2x . 2x - 10x - 15 + + 0 0 Attention : Le diviseur est un binôme; il faut donc penser à multiplier le 2e terme aussi. On effectue la soustraction. On abaisse le reste du polynôme et on recommence. Comme il n’y a pas de reste dans cette division, on conclut que (2x + 3) et (2x - 5) sont deux facteurs de (4x2 - 4x - 15).

16. x2 + 14x + 33 x + 11 + - + 11x x2 - - + - + 3x + 33 - - (x2 + 14x + 33) ÷ (x + 11) Exemple : Démarche exigée : + 33 x + 3 + 3x 0 0

17. x2 + 15x + 50 x + 5 + - + 5x x2 - - + - + 10x - - + 50 (x2 + 15x + 50) ÷ (x + 5) Exemple : Démarche exigée : + 50 x + 10 + 10x 0 0

18. x2 - 11x + 28 x - 7 + - - 7x x2 - + + - - 4x - + + 28 (x2 - 11x + 28) ÷ (x - 7) Exemple : Démarche exigée : + 28 x - 4 - 4x 0 0

19. 6x2 + 7x - 5 3x + 5 + - - - + 10x 6x2 + - + + - 3x - 5 (6x2 + 7x - 5) ÷ (3x + 5) Exemple : Démarche exigée : - 5 2x - 1 - 3x 0 0

20. x2 - 0x - 4 x + 2 Ce polynôme peut s’écrire (x2 – 0x – 4) + 2x x2 - 2x - 4 Exemple : (x2 - 4) ÷ (x + 2) - 4 + - x - 2 - - - 2x + - + + 0 0

21. x2 + 3x + 3 x + 1 + 1x x2 + 2x + 2 1 x + + 2 x + 1 Exemple : (x2 + 3x + 3) ÷ (x + 1) + 3 + - - - x + 2 + 2x + - - - 1 Comme il y a un reste dans cette division, on conclut que (x + 1) et (x + 2) ne sont pas deux facteurs de (x2 + 3x + 3). Le quotient de cette division pourrait s’écrire :

22. Aire base = volume hauteur 4c3 + 22c2 + 40c + 24 2c + 3 4c3 + 6c2 + 16c2 + 24c + 24 + 16c Problème Le volume de ce prisme est de (4c3 + 22c2 + 40c + 24) unités3. 2c + 3 Quelle expression algébrique représente l’aire d’une des bases sachant que la hauteur du prisme est représentée par le binôme 2c + 3) ? Volume = Aire base X hauteur 4c3 + 22c2 + 40c + 24 2c + 3 + 40c + 24 + - - - 2c2 + 8c + 8 + 24 + 16c2 + - - - + 16c + - - - 0 0 Réponse : (2c2 + 8c + 8) unités2 Remarque : La division est une des techniques de factorisation.