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El cálculo integral es en esencia un método para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad, y en general, de encontrar el resultado total de la acción de una magnitud variable. Evidentemente, este problema es recíproco del problema de cálculo diferencial (el problema de encontrar la velocidad), y se resuelve por "integración". Resulta que el problema de la integración es en todo equivalente al de encontrar el área bajo la curva que representa la dependencia de la velocidad respecto al tiempo. La distancia recorrida en el intervalo de tiempo t1 a t2 es igual al área bajo la curva entre las rectas que corresponden en la grafica a los valores t1 a t2.
La integral definida Hemos visto entonces, "que el concepto de integral y en general del cálculo integral tuvo su origen histórico en la necesidad de resolver problemas concretos, uno de cuyos ejemplos más característicos es el cálculo del área de una figura curvilínea" (AlekSandrov, 1979; 163). Consideremos una curva situada sobre el eje X que representa la gráfica de la función con ecuación y = f(x). Se desea encontrar el área S de la superficie limitada por la curva con ecuación y = f(x), el eje X y las rectas paralelas al eje Y con ecuaciones x = a y x = b. Para tal efecto, dividimos el intervalo [a; b] en n partes, no necesariamente iguales como se muestra a continuación:
Se llega así al resultado de que para una clase muy amplia de funciones f(x), que incluye todos los casos en los que la función f(x) puede ser considerada como velocidad de un punto en el instante x se verifica la siguiente igualdad.
Por ejemplo, utilizando la formula de Newton-Leibniz puede calcularse que determina el Tarea de la región limitada por la curva con ecuación y = x2 y las rectas con ecuaciones y = 0; x = 3 y x = 0, de la siguiente manera:
Integral indefinida DEFINICIÓN. Es el proceso contrario a la derivación. Dada una función f(x), se trata de calcular otra F(x) tal que F'(x)=f(x). Por ejemplo: La derivada de y=5x es y'=5, la derivada de y=5x+3 es y'=5, la derivada de y=5x-2 es y'=5. Según la anterior definición, podemos decir que la integral de 5 es 5x+3, ó 5x-2 o bien 5. Por ello se abrevia diciendo que la integral de 5 es 5x+cte. El conjunto de todas las primitivas de una función se denomina integral indefinida.
Integral indefinida Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por ∫ f(x) dx. Se lee : integral de x diferencial de x. ∫ es el signo de integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: ∫ f(x) dx = F(x) + C Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar. Propiedades de la integral indefinida 1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx 2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. ∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
Integración por sustitución. • Integración por partes. • Integración Mediante Tablas
