形式言語とオートマトン 2014 ー第 5&6 日目ー

形式言語とオートマトン2014ー第5&6日目ー 東京工科大学コンピュータサイエンス学部亀田弘之

前回までの確認 • 有限オートマトン(FA) • FAの定義と記述法 • テープ上を一方向に動くヘッド（テープ上の記号を読みながら、内部状態を変えていく） • M = <K, Σ, δ, q0, F> • 状態遷移図 • FAの種類 • 決定性FA（DFA） • 非決定性FA（ε遷移のあるものとないもの） • 言語認識能力はどのFAでも同じ。 • 正規言語（正規表現）を認識可能。

前回までの確認（２） • 正規表現を認識するFAの存在とその構成法 • 正規表現αが与えられる。 • 正規表現αに対して、ε-NFA を構成する。 • ε-NFA をDFAに書き換える。 • DFAを状態数最少のDFAに書き換える。 • Min-DFAをシミュレートするプログラムを作成する。

前回の積み残し • 正規表現 α ＝ a(a|b)*bb で定義される言語を受理するDFAを求める。 • まず、αと等価なε-NFAを書きだす。 • そのε-NFAと等価なDFAを作る。 • 得られたDFAをもとに、そのDFAと等価であり、かつ、状態数が最少となっているDFAを求める。　

確認問題集 • （少しずつこなしていってください。）

a p a q b r a b b 確認問題１ • （オートマトンの定義）次の状態遷移図で与えられるオートマトンを、　M=＜K,Σ,δ,q0, F＞の５つ組で記述しなさい。

確認問題 • 前問のオートマトンの動作のトレース • 次の文字列のうち、前問のオートマトンMが受理するのはどれとどれですか？ • aabba • bababbb • aaaa • bbba

８確認問題 • 下図のε-NFAをDFAに書き換えなさい。 a ４ b b ε ε ε a １２３６７ b ５ c c ε

確認問題 • DFAからmin-DFAを求める手順について述べなさい。（理論的根拠は、後日お話します。 Myhill-Nerodeの定理がポイントです。）

確認問題 • （正規表現を受理するmin-DFAを求める）　　次の正規表現を受理するmin-DFAを求めよ。 • (ab|bc)*a(b|c) • (a|b|ε)(ab|b)*bc • (a|b)*a(a|b)

さて、…

今日からの話題 • FAの様相(configuration)(第2章の補足) • 演習　 第５回はここまで。 • プッシュダウンオートマトン（pushdown automaton）（第3章の話）

FAの様相 • FAの動作の様子・状況を様相(configuration)という。 • 動作開始時の様相を特に、初期様相という。

様相の表現 入力文字列入力文字列の末尾

様相表現の例 • （具体例で理解しよう）教科書p.36 問2.1

1 0 q 0 1 p 0 r 1 FA M = <K, Σ, δ, q0, F>

1 0 q 0 1 p 0 r 1 FA M = <K, Σ, δ, q0, F> 様相(p, 11010) |- (q,1010) |- (q,010) |- (q,10) |- (q, 0) |- (q, ε) (p,11010) |*- (q,ε) <= Mは入力文字列 11010 を受理

様相(configuration)という用語は、本を読んでいると時々出てきます。例えば、「様相論理学」。この英語はModal Logic。混乱しないように！ • オートマトンの動作状況を表現する単なる１つの方法にすぎません。でも、便利ですよね。

自主練習 教科書p.58の【演習問題】にチャレンジしてください。

ここから新しい話し Let’s get down to today’s topics. • （第３章に入ります）

でも、今年は復習をしましょう。 • まずは、議論をしましょう！

自分の課題を見つけよう。 • まずは、議論をする。 • 議題：この授業をうけ、ここまでに学んだことは何か？　（単語だけでもいいので多く書き出すこと） • 成果物：自分が理解していない用語（概念）や事実（内容）のうち、最も重要だと思うものを１つ書きだす。

２．課題　次のε-NFAと等価な状態数最少のDFAを求めよ。２．課題　次のε-NFAと等価な状態数最少のDFAを求めよ。 M = { 状態の集合Q, 入力アルファベットS, 状態遷移関数δ,初期状態σ, 最終状態の集合F　｝ただし、　・Q = { 1, 2, 3 } 　・S = { a, b } 　・σ = 1 　・F = { 1 } 　・δ: δ(1,b)={2}, δ(1,ε)={3}, δ(2,a)={2, 3}, δ(2,b)={3}, δ(3,a)={1}

ヒント • 状態遷移図を書く。 • 等価なDFAを求める。 • 状態数最少のDFAを求める。

以上で有限オートマトンは終わり。

形式言語とオートマトン2014ー第6日目ー 東京工科大学コンピュータサイエンス学部亀田弘之

プッシュダウンオートマトン • 有限オートマトンにプッシュダウンスタックメモリを追加装備したもの。 • Pushdown automaton (PDA)

プッシュダウンスタック • 歴史的view: • 初期の頃：プッシュダウン型スタックメモリ（特殊なハードウェアと考えていた） • 現在：「スタック」は基本的なデータ構造の１つと考えられている。プッシュダウンスタックとは言わず、スタックと呼ぶことが多い。データ構造：・配列（またはアレイ）・リスト・スタック・キュー　など続きは「データ構造とアルゴリズム」で。

プッシュダウンスタックのイメージ Pop up Push down LIFO (Last In First Out) 最後に入れたものが最初に取り出される。

PDAの種類 • 決定性プッシュダウンオートマトン Deterministic pushdown automaton (DPDA) • 非決定性プッシュダウンオートマトン Nondeterministic pushdown automaton (NPDA)

DPDA Mの定義 • M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F> • K:内部状態の集合　（#K < ∞） • Σ：入力アルファベット（#Σ < ∞） • Γ：プッシュダウンアルファベット（#Γ < ∞） • δ：状態遷移関数 K×(Σ∪{ε})×Γ → K×Γ* • q0：初期状態 (q0 ∈K ) • Z0：ボトムマーカ ( Z0∈Γ) • F：最終状態 ( F ⊂ K )

DPDA Mの定義 • M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F> • K:内部状態の集合　（#K < ∞） • Σ：入力アルファベット（#Σ < ∞） • Γ：プッシュダウンアルファベット（#Γ < ∞） • δ：状態遷移関数 K×(Σ∪{ε})×Γ → K×Γ* • q0：初期状態 (q0 ∈K ) • Z0：ボトムマーカ( Z0∈Γ) • F：最終状態 ( F ⊂ K )

ハードウェア構成でのイメージ

DFA と DPDA 類似点と相違点類似点：相違点：・入力テープ・プッシュダウンスタックメモリ　（左から右へ読み込むだけ）・ヘッドとその内部状態

研究　　ハードウェア構成でのイメージなぜ、プッシュダウンスタック？

研究テーマ 内部処理装置記憶装置入力記号列

参考図書 • J. ライバー，認知科学への招待　チューリングとウィトゲンシュタインを道しるべに，新曜社，今井邦彦訳(1994). 研究課題：　脳の設計図を記述せよ。事実を言葉で表現し，列挙せよ。 UMLで表記せよ。 SysMLで表記せよ。プログラミング言語で表現せよ。

難しいことはさておいて… • (例を見てみましょう)教科書p.68例3.1

DPDA Mの例 • M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F> • K内部状態の集合 = { q0, q1, q2 }　（#K < ∞） • Σ入力アルファベット = { a, b } （#Σ < ∞） • Γプッシュダウンアルファベット = { A, Z0 }（#Γ< ∞） • δ：状態遷移関数 K×(Σ∪{ε})×Γ → K×Γ* • q0 初期状態 = q0 (q0 ∈K ) • Z0：ボトムマーカ ( Z0∈Γ) • F：最終状態 F = { q2 } ⊂ K

δ：状態遷移関数

DPDA Mの例 • M = <K,Σ,Γ,δ,q0,Z0, F> • K = { q0, q1, q2 } • Σ = { a, b } • Γ = { A, Z0 } • δ：状態遷移関数 • q0 ：初期期状態 • Z0：ボトムマーカ • F = { q2 }⊂ K

状態遷移図

練習 • 教科書のp.71 問題3.1の DPDA の動作をいろいろな入力に対して調べてみよう。

非決定性プッシュダウンオートマトン • DPDAでの状態遷移関数部分が１対多の写像になる。

DPDA Mの定義（再） • M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F> • K:内部状態の集合　（#K < ∞） • Σ：入力アルファベット（#Σ < ∞） • Γ：プッシュダウンアルファベット（#Γ < ∞） • δ：状態遷移関数 K×(Σ∪{ε})×Γ → K×Γ* • q0：初期状態 (q0 ∈K ) • Z0：ボトムマーカ ( Z0∈Γ) • F：最終状態 ( F ⊂ K )

NPDA Mの定義（再） • M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F> • K:内部状態の集合　（#K < ∞） • Σ：入力アルファベット（#Σ < ∞） • Γ：プッシュダウンアルファベット（#Γ < ∞） • δ：状態遷移関数 K×(Σ∪{ε})×Γ → ２K×Γ* • q0：初期状態 (q0 ∈K ) • Z0：ボトムマーカ ( Z0∈Γ) • F：最終状態 ( F ⊂ K )

DPDA Mの例 • M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F> （教科書p.73の例3.2）

NPDA Mの例 • M = <K,Σ,Γ,δ,q0,Z0, F> • K = {q0,q1,q2,q3,q4,qf } • Σ = { a, b, c } • Γ = { A, Z0 } • δ：状態遷移関数 • q0 ：初期状態 • Z0：ボトムマーカ • F = { qf }⊂ K

形式言語とオートマトン 2014 ー第 5&6 日目ー