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MODELES FINANCIERS DE L'ASSURANCE

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MODELES FINANCIERS DE L'ASSURANCE. Institut des Actuaires Français Pierre DEVOLDER 28 mai 2003 AXA Belgium UNIVERSITE CATHOLIQUE DE LOUVAIN. BUT DE L'EXPOSE.

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modeles financiers de l assurance

MODELES FINANCIERS DE L'ASSURANCE

Institut des Actuaires Français Pierre DEVOLDER

28 mai 2003 AXA Belgium

UNIVERSITE CATHOLIQUE DE LOUVAIN

but de l expose
BUT DE L'EXPOSE
  • MODELES ACTUARIELS CLASSIQUES DE L'ASSURANCE
    • Calcul viager des primes en assurance-vie
    • Principes de tarification en assurance non-vie
  • MODELES D'ARBITRAGE DE LA FINANCE MODERNE
    • Méthodologie risque neutre

UN MARIAGE EST-IL POSSIBLE ?

UNE DESCENDANCE EST-ELLE ENVISAGEABLE ?

cadre theorique commun
CADRE THEORIQUE COMMUN
  • ELEMENTS CONSTITUTIFS EN FINANCE ETEN ASSURANCE :
    • temps
    • incertitude
  • PROBLEME ELEMENTAIRE : PRIX EN t = 0 D'UN CASH FLOW FUTUR PAYE EN t = TMONDE DETERMINISTE : THINGS ARE DESPERATELY SIMPLE !
cadre theorique commun 2
CADRE THEORIQUE COMMUN (2)
  • QUID si : M est aléatoire

i est aléatoire

T est aléatoire

  • MODELISATION DE L'INCERTAIN PAR :
    • UN ENSEMBLE D'ETATS DU MONDE
    • UNE MESURE QUANTIFIANT LES CHANCES DE REALISATION

LE CADRE EST-IL EXACTEMENT IDENTIQUE EN ASSURANCE ET EN FINANCE ?

modeles classiques de l assurance
MODELES CLASSIQUES DE L'ASSURANCE
  • TAUX D'ACTUALISATION CONSTANT (Assurance Vie) OU IGNORE (Assurance Non Vie)
  • PHENOMENE ALEATOIRE :
    • OBEISSANT A UNE LOGIQUE DE LOI DES GRANDS NOMBRES
    • NON CORRELE AVEC LES MARCHES FINANCIERS
  • 2 EXEMPLES SIMPLES :
    • ASSURANCE TEMPORAIRE DECES 1 AN
    • CONTRAT DE REASSURANCE EXCESS OF LOSS
assurance vie
ASSURANCE VIE

i = déterministe

T = déterministe

M = aléatoire

  • EN CAS DE DECES EN t = 1 : 1 (1)
  • EN CAS DE SURVIE en t = 1 : 0 (2) = PRIME EN t = 0 1 (1)  = ?

t = 0

t = 1

  • PRINCIPE D'ESPERANCE MATHEMATIQUE
  • CHARGEMENT DE SECURITE :

0 (2)

reassurance excess of loss 1
REASSURANCE EXCESS OF LOSS (1)

X = MONTANT DE SINISTRE AVANT REASSURANCE

= VARIABLE ALEATOIRE DE FONCTION DE REPARTITION FIXEE F

CONTRAT XL :

PAIEMENT PAR LE REASSUREUR DE LA PARTIE

DU SINISTRE EXCEDANT UN MONTANT FIXE K :

Y = ( X – K) +

PRIME DE REASSURANCE :

reassurance excess of loss 2
REASSURANCE EXCESS OF LOSS (2)

PRIME PURE :

CHARGEMENT DE SECURITE :

modeles classiques de l assurance conclusion
MODELES CLASSIQUES DE L'ASSURANCE - CONCLUSION

ALEA RISQUE COMPENSATION

PAR LA LOI DES

GRANDS NOMBRES

  • 1 . ESPERANCE MATHEMATIQUE PAR RAPPORT A LA MESURE DE PROBABILITE REELLE
  • HEDGING IMPARFAIT
  • CHARGEMENT DE SECURITE ET PRICING VARIABLEFONCTION DE L'AVERSION AU RISQUE
modeles d arbitrage de la finance
MODELES D'ARBITRAGE DE LA FINANCE
  • INCERTITUDE LIEE A L'EVOLUTION D'ACTIFS FINANCIERS (Taux d'intérêt / Cours d'action) Loi des grands nombres ?
  • SUR CES SOUS-JACENTS ALEATOIRES, DEVELOPPEMENT DE PRODUITS A TARIFER
  • 2 EXEMPLES :
    • OPTION SUR ACTION
    • OPTION SUR ZERO COUPON
option de vente sur actions 1
SOUS-JACENT

d.S (d < 1) (1)

S

t = 0 u.S (u > 1) (2)

t = 1

PRODUIT A TARIFER

1 (1)

 = ?

t = 0 0 (2)

t = 1

OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (1)

q

1 - q

i = déterministe

T = déterministe

M = aléatoire

option de vente sur actions 2 tarification
OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (2)TARIFICATION
  • PRINCIPE ACTUARIEL : ?

+ chargement de sécurité …

  • THEORIE FINANCIERE DE L'ARBITRAGE
    • LA PROBABILITE RELLE q N'INTERVIENT PAS DANS LE PRIX
    • LE PRIX EST UNIQUE POUR TOUS LES OPERATEURS
option de vente sur actions 3 tarification en mesure risque neutre
OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (3)TARIFICATION EN MESURE RISQUE NEUTRE

PRINCIPE DE DUPLICATION :

  • DUPLICATION DES CASH FLOWS DU PRODUIT A TARIFER PAR UNE COMBINAISON LINEAIRE D'ACTIFS CONNUS (actif sans risque i + actif risqué S)t = 1

(et non pas :

t = 0

option de vente sur actions 4
OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (4)

RESOLUTION

PRIX INITIAL :

option de vente sur actions 5
OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (5)
  • LE NOMBRE EST APPELE
  • PROBABILITE RISQUE NEUTRE
  • a) Condition pour être un candidat probabilité : 0  p  1

Condition d'équilibre naturel de marché

option de vente sur actions 6
OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (6)
  • Interprétation financière de cette probabilité :Dans un nombre virtuel où la vraie probabilité q serait remplacée par le nombre p, le rendement moyen de l'actif risqué correspondrait au taux sans risque i : p . d + (1 – p) . u = 1 + i
  • Lien entre la probabilité réelle q et le nombre p : ? p > < q ?
  • Equilibre économique naturel rendement / risqueE (rendement actif risqué) > taux sans risque
option de vente sur actions 7
OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (7)
  • q . d + (1 – q) . u > 1 + i Or 1 + i = p . d + (1 – p) . u
  • Donc q . d + (1 – q) . u > p . d + (1 – p) . u⇓
  • p > q
  • Chargement de sécurité :
modele d arbitrage de la finance conclusion
MODELE D'ARBITRAGE DE LA FINANCE - CONCLUSION

ALEA RISQUE PRINCIPE DE

DUPLICATION

  • ESPERANCE MATHEMATIQUE PAR RAPPORT A UNE MESURE DE PROBABILITE MODIFIEE
  • HEDGING PARFAIT
  • PRIX UNIQUE DE MARCHE
option sur zero coupons
OPTION SUR ZERO COUPONS

Modèles déterministes

i = déterministe i = déterministe

M = déterministe M = aléatoire

Tarification des Tarification des options

zéros-coupons sur zéro-coupons

i = aléatoire i = aléatoire

M = déterministe M = aléatoire

tarification des zero coupons
TARIFICATION DES ZERO-COUPONS
  • DETERMINISTE :
  • STOCHASTIQUE : incertitude sur M = 1

le taux i (zéro coupon)

= taux spot futur à l'instant t

P (t, s) = Prix à l'instant t d'un zéro coupon d'échéance s

tarification des zero coupons 2
TARIFICATION DES ZERO-COUPONS (2)
  • 1ère IDEE :
  • 2e IDEE :

 MODELE D'ARBITRAGE :

Non mesurable en t

où Q est une mesure de probabilité modifiée(mesure neutre risque)

modele general
MODELE GENERAL

risque financier

Monde stochastique : incertitude sur cash flow

les taux futur aléatoire

risque d'assurance

corrélation entre

les 2 aléas ?

option sur zero coupons 1
OPTION SUR ZERO COUPONS (1)

M = Risque financier avec corrélation avec la

structure de taux

OPTION SUR ZERO COUPON :

DROIT D'ACHETER A UN INSTANT f ANTERIEUR A

LA MATURITE s, LE ZERO COUPON A UN PRIX FIXE D'AVANCE A L'INSTANT t (t < f < s)

MODELE D'ARBITRAGE :

avec

Q = mesure risque neutre

option sur zero coupons 2
OPTION SUR ZERO COUPONS (2)

Calcul explicite :

actualisation espérance risque

neutre du cash flow

option sur zero coupons 3
OPTION SUR ZERO COUPONS (3)

Mesure Forward neutre :

Nouveau changement de mesure de probabilité

P Q Qf

monde monde risque monde forward réel neutre neutre

assurance et finance 1
ASSURANCE ET FINANCE (1)

avec M = flux lié à des risques financiers et d'assurance

TITRISATION DE RISQUES D'ASSURANCEINTEGRATION, A COTE DES RISQUES CLASSIQUES

DE MARCHE, DES RISQUES TECHNIQUES

D'ASSURANCE, DANS DES PRODUITS FINANCIERS

assurance et finance 2
ASSURANCE ET FINANCE (2)

Exemple type : CAT BOND

OBLIGATION DONT LES COUPONS ET / OU LE PRINCIPAL SONT MODIFIES EN CAS DE SURVENANCE D'EVENEMENTS ALEATOIRES RELEVANT DE LA SPHERE DE L'ASSURANCE GENERALEMENT DU DOMAINE DES CATASTROPHES (Tremblement de terre / Inondation /…..)

(cf. Loi des Grands Nombres ???)

cat bonds exemples
CAT BONDS Exemples

MODELE SUR UNE PERIODE :

108 si pas de catastrophe

100

0 si catastrophe

MODELE SUR 2 PERIODES :

108

8

100

100 108

0 100

cat bonds
CAT BONDS

MECANISMES D'ATOMISATION

DU RISQUE

RéassuranceRéassureur

Classique

Assureur

Marché

financier

Cat Bond

cat bonds1
CAT BONDS

POINT DE VUE DE L'EMETTEUR

  • ALTERNATIVE AUX SCHEMAS TRADITIONNELS DE REASSURANCE
  • APPEL AU MARCHE DES CAPITAUX POUR MIEUX DILUER LE RISQUE
    • augmentation ces dernières années des risques de nature cat
      • modifications climatiques
      • concentration de population dans des zones à risque
    • concentration dans le monde de la réassurance / capital limité
cat bonds2
CAT BONDS

POINT DE VUE DE L'ACHETEUR

  • INTERET D'UN INVESTISSEUR POUR ACHETER CE TYPE DE PRODUIT ?
  • 2 ELEMENTS :
    • Hedging naturel dans des secteurs influencés favorablement par l'occurrence de catastrophes
    • Elément de diversification : risques non corrélés avec les risques traditionnels des marchés financiers
cat bonds3
CAT BONDS

Diversification / MODÈLE DE MARKOWITZ

PROBLEME DE LA THEORIE DU PORTEFEUILLE

  • maximiser l'espérance de rendement
  • tout en minimisant sa variance

(équilibre rendement / risque)

  • M titres risqués de rendement aléatoire (R1,R2,..,RN)

E(Ri) = i

COV (Ri, Rj) = ij

+ 1 titre non risqué de rendement certain RO

E(R0) = r0

COV (R0, Rj) = 0

modele de markowitz 2
MODELE DE MARKOWITZ (2)
  • PORTEFEUILLE : X = (x0, x1…,xN)xi = part investie dans l'actif i
  • CRITÈRE D'OPTIMISATION :
    • rendement moyen du portefeuille :
    • variance du portefeuille :
modele de markowitz 3
MODELE DE MARKOWITZ (3)
  • PORTEFEUILLE EFFICIENT X*: Il n'existe pas un autre portefeuille tel que
  • PROBLEME D'OPTIMISATION : minimisation du risque sous contrainte :

sous contraintes :

et

modele de markowitz 4
MODELE DE MARKOWITZ (4)
  • FRONTIERE EFFICIENTE :

sans actif avec introduction denon risqué l'actif non risqué

droite de

marché

efficiente

rendement

r0

écart type

modele de markowitz 5
MODELE DE MARKOWITZ (5)
  • INTRODUCTION D'UN ACTIF COMPLEMENTAIRE DE RENDEMENT R N+ 1 ALEATOIRE
    • risque élevé
    • rendement moyen élevé
    • non corrélation avec les N titres risqués
    • déplacement vers le haut de la frontière

efficiente

modele de markowitz 6
MODELE DE MARKOWITZ (6)
  • meilleur rendement moyen à risque fixé

rendement

. CAT

r0

risque

sans actif avec actif

CAT CAT

tarification des cat bonds 1
TARIFICATION DES CAT BONDS (1)

Application aux cat-bonds

c(k) = coupon / principal

= cash flow aléatoire payé en k, contingent à un risque d'assurance (k = 1, …., T)

tarification des cat bonds 2
TARIFICATION DES CAT BONDS (2)
  • EXEMPLE DE FORMULE CONTINGENTE
  • Dès qu'une catastrophe se produit durant la vie de l'obligation, les coupons et le principal sont réduits d'un facteur 1 – f (0 < f < 1) et il n'y a plus paiement après.

 = instant d'arrivée de la catastrophe = threshold time = premier instant d'un processus ponctuel de Poisson

tarification des cat bonds 3
TARIFICATION DES CAT BONDS (3)
  • HYPOTHÈSE DE NON CORRÉLATION
  • Indépendance entre le processus des taux spot { r } et le processus ponctuel de Poisson

où Q = probabilité de survenance de la CAT sous la mesure neutre risque

tarification des cat bonds 4
TARIFICATION DES CAT BONDS (4)
  • COTATION AU PAIR expression du coupon du CAT Bond
  •  = 1

si f = 0 :

tarification des cats bonds 5
TARIFICATION DES CATS BONDS (5)
  • Q = MESURE RISQUE NEUTRE = ? APPLICATION DES RAISONNEMENTS D'ARBITRAGE AU RISQUE CONTINGENT ?

MODÈLE INCOMPLET : L'ENSEMBLE DES

CASHFLOWS POSSIBLES NE PEUT ETRE DUPLIQUE A L'AIDE D'ACTIFS DE BASE.

  • NON UNICITE DE LA MESURE RISQUE NEUTRE
  • NON UNICITE DU PRIX
  • BORNES SUR LE PRIX EN VUE D'EVITER LES OPPORTUNITES D'ARBITRAGE
tarification des cat bonds 6
TARIFICATION DES CAT BONDS (6)
  • PRIX PUR (cf Prime pure en assurance) :PRENDRE POUR Q = PROBABILITÉ RÉELLE DE SURVENANCE DE CAT
  • CHARGEMENT POSSIBLE …. VU LA NON UNICITE THEORIQUE DU PRIX D'ARBITRAGE
    • ESTIMER LE PRIX A L'AIDE D'UNE PROBABILITE DE SURVENANCE SUPERIEURE A LA PROBABILITE REELLE(Processus de Poisson :  >  réel)