Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 6: Matrizes (3)

1. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática 10 Semestre de 2013 Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 6: Matrizes (3)

2. Autovalores e Autovetores (1) • Seja a matriz A e os seguintes vetores u e v apresentados como se segue. • E sejam as seguintes transformações operadas em A que resultam em:

3. Autovalores e Autovetores (2) • As transformações realizadas podem ser apresentadas graficamente, como apresentado a seguir.

4. Autovalores e Autovetores (3) • Generalizando, tomando como foco as transformações lineares do tipo Ax = λx, com λ constante, têm-se transformações nas quais o vetor x tem seu tamanho expandido ou diminuído.

5. Autovalores e Autovetores (4) • Exemplo 1: Seja a matriz A e o vetor x como apresentados a seguir. • Tem-se que a matriz Ax apresenta o seguinte formato:

6. Autovalores e Autovetores (5) • Um autovetor para uma matriz A de ordem k é um vetor x, não nulo, tal que Ax = x, para algum escalar . • Um escalar  é chamado de autovalor de uma matriz A se há uma solução não trivial x para a equação Ax = x. • Obs.: • O escalar e a matriz x são chamados de autovalor e autovetor associado; e • Normalmente, os autovetores são dados num formato padronizados e, tal que em que

7. Autovalores e Autovetores (6) • Considere a transformação Ax = λx, então tem-se que Ax − λx = (A − λI)x = 0. • A matriz quadrada A − λI é uma matriz singular e pode-se resolver a equação matricial a seguir, Ax − λIx = (A − λI)x = 0 para λ, usando-se o fato que o determinante de (A − λI) deve ser 0, ou seja, |A − λI| = 0. • Essa equação é conhecida como Equação ou Função Característica. Dessa forma, deve-se obter os valores de λ que são raízes da função característica. • Seja A uma matriz quadrada de ordem k, então existem k autovalores λ1, λ2, λ3, ..., λk que satisfazem a equação polinomial |Ax − λI| = 0. Assim sendo, existem k autovetores e1, e2, ..., ekassociados.

8. Autovalores e Autovetores (7) • Exemplo 2: Seja a matriz A apresentada a seguir. • Então tem-se que • E chega-se na seguinte equação polinomial

9. Autovalores e Autovetores (8) • Tem-se o cálculo das seguintes raízes • Finalmente, os autovalores da matriz A são

10. Autovalores e Autovetores (9) • Para o cálculo dos autovetores associados, deve-se calcular • Autovetor e1 associado ao autovalor λ1 = 3 • Tem-se que x11 = 0 e x12 pode ser qualquer valor, e será considerado igual a 1. O primeiro autovetor é x′1 = (0,1). Padronizando x1, tem-se

11. Autovalores e Autovetores (10) • Autovetor e2associado ao autovalor λ2 = 1 • Tem-se que x21 = -2x22. Fazendo x22 = 1, então x21 fica igual a x21 = -2 e o segundo autovetor é x′2 = (-2,1). Padronizando o autovetor x2 , tem-se

12. Autovalores e Autovetores (11) • Exercício 1: Calcular os autovalores e autovetores associados à matriz A apresentada a seguir.

13. Decomposição Espectral (1) • Seja uma a matriz A simétrica de ordem k, então A pode escrita por • Exemplo 3: Seja a matriz A apresentada a seguir. • Têm-se os autovalores λi e autovetores eiassociados.

14. Decomposição Espectral (2) • Portanto,

15. Decomposição Espectral (3) • Defina-se uma matriz ortogonal U cujas colunas consistem nos autovetores e1, e2, ..., ek, e da mesma forma, definindo-se uma matriz ortogonal V, tal que V = U′, ou seja, • Defina-se ainda uma matriz Λ(lambda)formada pelos autovalores λ1, ..., λk , ou seja, • Pode-se escrever que ou

16. Decomposição Espectral (4) • Para o caso de uma matriz de ordem 2, tem-se que e • Assim, uma matriz A de ordem 2 pode ser representada por

17. Decomposição Espectral (5) • Exemplo 4: Para o caso da matriz A, apresentada a seguir, • Têm-se as matrizes U e Λapresentadas a seguir e

18. Matriz Definida Positiva (1) • Seja a matriz x′Ax. Como se tem apenas termos quadráticos x2i e termos cruzados xixj, essa matriz recebe o nome de Forma Quadrática. • Se uma matriz simétrica A de ordem k é tal que • Então se diz que a matriz A é uma Matriz Definida Positiva. • Se uma matriz A de ordem k é definida positiva, então seus autovalores são todos positivos, ou seja,

19. Matriz Definida Positiva (2) • Exemplo 5: Seja a forma quadrática 6x12 + 4x1x2 + 3x22, então • Sabendo-se que • Então a matriz A é definida positiva

20. Matriz Definida Positiva (3) • Algumas propriedades: • Se x′Ax ≥ 0, ∀x não nulo, então a matriz A é semi-definida positiva; • Se x′Ax < 0, ∀x não nulo, então a matriz A é definida negativa; e • Se x′Ax ≤ 0, ∀x não nulo, então a matriz A é semi-definida negativa. • Casos Especiais: • Matriz Inversa - a inversa de uma matriz simétrica A de ordem k pode ser obtida fazendo-se ou

21. Matriz Definida Positiva (4) • Matriz Raiz Quadrada - a Matriz Raiz Quadrada de uma matriz A definida positiva de ordem k, é uma matriz tal que A1/2A1/2 = A, e pode ser obtida fazendo-se ou • Em que a matriz Λ1/2 é dada por

22. Matriz Definida Positiva (5) • Há outra relações que envolvem a matriz raiz quadrada: • A−1/2 = (A−1/2 )−1 = UΛ−1/2 U′; • A−1/2 A−1/2 = A−1. • Exemplo 6: Seja a matriz A apresentada a seguir. • Então tem-se (de exemplo anterior) que e

23. Matriz Definida Positiva (6) • Fazendo-se • Tem-se que

24. Matriz Definida Positiva (7) • A matriz A1/2 é a matriz raiz quadrada de A, sendo que • Fazendo-se • Tem-se que

25. Matriz Definida Positiva (8) • E assim,

26. Decomposição em Valores Singulares (1) • Seja A uma matriz de valores m x k. Há uma matriz U de ordem m x n e uma matriz V de ordem k x k, ambas ortogonais, tais que • Em que a matriz Λ é uma matriz do seguinte tipo • Onde r = rank de A e a matriz D é uma matriz diagonal com os r valores singulares de A. • Pode-se entender a decomposição em valores singulares como uma expressão numa relação matricial que depende do rank da matriz.

27. Decomposição em Valores Singulares (2) • Dado que m > k, então existem r constantes positivas λ1, λ2 , ..., λr, r autovetores u1, u2, ..., ur de dimensão m x 1 e r autovetores v1,v2, ..., vr, de dimensão k x 1 tal que • Onde as matrizes definidas abaixo são ortogonais • E a matriz Λr é uma matriz diagonal do tipo

28. Decomposição em Valores Singulares (3) • Neste cenário, λ1, λ2 , ..., λr e u1, u2, ..., ur são pares de autovalores e autovetores de AA′, obtidos de • Em que λ1 > λ2 > . . . > λr> 0, são valores estritamente positivos. • Os vetores vi, por sua vez, estão relacionados aos autovetores ui, i = 1, 2, ..., r, pela relação abaixo • Alternativamente, vi, i = 1, 2, ..., r, são autovetores associados aos mesmos autovalores positivos λ1 > λ2 > . . . > λr> 0 de A′A.

29. Decomposição em Valores Singulares (4) • Desta forma, a decomposição em valores singulares pode ser escrita pela expressão a seguir,

30. Decomposição em Valores Singulares (5) • Exemplo 6: Seja a matriz A apresentada a seguir. • Então tem-se AA′ é

31. Decomposição em Valores Singulares (6) • Os autovalores de AA′ são • Os autovetores associados são • Os vetores v1 e v2 são obtidos como se segue

32. Decomposição em Valores Singulares (7) • Dessa forma, a matriz A pode ser escrita como se segue, • Ou seja,

33. Bibliografia (1) • Referência Básica 1 • GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para Ciência da Computação. 5ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2004

34. Bibliografia (2) • Referência Básica 2 • LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Matemática Discreta. 2ª ed., São Paulo: Bookman, 2004.

35. Bibliografia (3) • Referência Básica 3 • LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Álgebra Linear. 4ª ed., São Paulo: Bookman, 2011.