line ris programoz s s a szimplex m dszer n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Lineáris programozás és a szimplex módszer PowerPoint Presentation
Download Presentation
Lineáris programozás és a szimplex módszer

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 29

Lineáris programozás és a szimplex módszer - PowerPoint PPT Presentation


  • 124 Views
  • Uploaded on

Lineáris programozás és a szimplex módszer. 2009. 11. 05. Derts Zsófia – BME VKKT. Bevezetés. Lineáris programozás: lineáris egyenlet-rendszerek megoldása algoritmikus módon LP bemutatása példákon keresztül Grafikus és analitikus megoldás alkalmazása

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Lineáris programozás és a szimplex módszer' - kalinda


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
line ris programoz s s a szimplex m dszer

Lineáris programozás és a szimplex módszer

2009. 11. 05.

Derts Zsófia – BME VKKT

bevezet s
Bevezetés
  • Lineáris programozás: lineáris egyenlet-rendszerek megoldása algoritmikus módon
  • LP bemutatása példákon keresztül
  • Grafikus és analitikus megoldás alkalmazása
  • Konkrét példa kiterjesztése általános esetre
  • Szimplex módszer alkalmazása
  • Duál módszer a házi feladathoz

Lineáris programozás és szimplex módszer

1 p lda textilipari feladat 1
1. példa: textilipari feladat (1)
  • Alapadatok:
    • A és B, textilből készülő termékeket azonos alapanyagból gyártjuk.
    • A-hoz 2 m, B-hez 5 m szükséges minden egyes méter késztermék előállításához.
    • Hetente legfeljebb 3 000 méter alapanyag áll rendelkezésünkre.
    • Egységnyi termelési költségek A-ra 20 Ft/m és B-re 30 Ft/m.
    • A termelés heti összegzett költsége nem haladhatja meg a 18 000 Ft-ot.

Lineáris programozás és szimplex módszer

1 p lda textilipari feladat 2
1. példa: textilipari feladat (2)
  • Alapadatok (folyt.):
    • A gyártáshoz felhasználunk bizonyos segédanyagot, amelyből A-hoz 1 m-t, B-hez 0,5 m-t alkalmazhatunk.
    • A felhasznált segédanyagok heti mennyisége nem haladhatja meg a 700 m-t.
    • Előzetes felmérés szerint A-ból hetente legalább 100 m-re van szükség.
    • A rendelkezésre álló gépparkkal a B-ből hetente legfeljebb 400 m gyártható.
    • A termelés nyeresége termékegységre vetítve: A terméken 2 Ft, B-n 6 Ft.

Lineáris programozás és szimplex módszer

1 p lda az inform ci k rendez se
1. példa: az információk rendezése
  • Mátrixba rendezve az információkat:

Minden összefüggés lineáris!

Lineáris programozás és szimplex módszer

1 p lda a k rd s megfogalmaz sa
1. példa: a kérdés megfogalmazása
  • Keressük azt a minden feltételt kielégítő megoldást (programot), ahol a nyereség (a célfüggvény értéke) a legnagyobb.
  • Feladat: a célfüggvény maximalizálása a megadott feltételek mellett.

Lineáris programozás és szimplex módszer

1 p lda matematikai jelrendszerben

x2

(e)

x1

(a)

(c)

(b)

(d)

1. példa: matematikai jelrendszerben…

Lineáris programozás és szimplex módszer

1 p lda grafikus megold s 1

x2

(e)

x1

(a)

(c)

(b)

(d)

1. példa: grafikus megoldás (1)

Lineáris programozás és szimplex módszer

1 p lda grafikus megold s 2

z

x2

x2

x1

x1

1. példa: grafikus megoldás (2)

Lineáris programozás és szimplex módszer

1 p lda grafikus megold s 3

Zopt

z

x2

x2

x1

x1

1. példa: grafikus megoldás (3)

Lineárisprogramozásésszimplexmódszer

a feladat ltal nos esete 1

Def.: Az x0 megoldás optimális, ha a célfüggvény ezen a helyen veszi fel a maximumát!

Mátrix alakban:

A feladat általános esete (1)

Lineárisprogramozásésszimplexmódszer

a feladat ltal nos esete 2
A feladat általános esete (2)
  • Minden sor egyenlőtlenségét, valamint a –eiTx ≤ 0 feltételeket is kielégítő vektorok egy-egy zárt féltéren helyezkednek el.
  • Az „m” darab ilyen zárt féltér által közbezárt térrészt konvex poliédernek nevezzük, amely egyben a megengedett megoldások (programok) halmaza.

Lineáris programozás és szimplex módszer

seg dv ltoz k bevezet se 1
Segédváltozók bevezetése (1)
  • Az xn+i (i=1,2,….,m) változó feladata, hogy az egyenlőtlenségeket kiegészítse egyenlőségekké, tehát 0 < xn+i (i=1,2,….,m).
  • Ekkor az együttható-mátrixunk kibővül jobbról egy egységmátrixszal. A célfüggvény együttható-vektorát csupa nulla komponenssel kiegészítve egy n+m dimenziós vektort kapunk, de a célfüggvény értéke nem változik:

Lineáris programozás és szimplex módszer

seg dv ltoz k bevezet se 2
Segédváltozók bevezetése (2)

+

+

+

+

=

a

x

a

x

..........

..........

.

a

x

x

b

+

11

1

12

2

1

n

n

n

1

1

+

+

+

+

=

a

x

a

x

..........

..........

a

x

x

b

+

21

1

22

2

2

n

n

n

2

2

.

.

.

+

+

+

+

=

a

x

a

x

..........

.........

a

x

x

b

+

m

1

1

m

2

2

mn

n

n

m

m

³

³

³

³

x

0

;

x

0

;

x

0

;

..........

..........

.;

x

0

+

1

2

3

n

m

+

+

+

+

+

+

=

c

x

c

x

.....

c

x

0

x

....

0

x

z

+

+

1

1

2

2

n

n

n

1

n

m

Lineáris programozás és szimplex módszer

a line ris programoz s alapt tele
A lineáris programozás alaptétele

Tétel: Ha egy LP probléma rendelkezik (korlátos) optimális megoldással, akkor létezik a megoldások halmazának olyan extrém pontja, amely optimális.

Az optimális megoldás megtalálható a konvex poliéder sarokpontjainak vizsgálatával.

Lineáris programozás és szimplex módszer

az lp alapt tel k vetkezm nyei
Az LP alaptétel következményei
  • Egy korlátos számú feltétel által megadott konvex poliéder korlátos számú sarokponttal rendelkezik.
  • Ez garantálja, hogy az optimum korlátos számú lépésben megtalálható.
  • Nézzük végig az összes sarokpontot?

(Adott gyakorlati probléma esetén ez több millió is lehet.)

  • Nem, mert a célfüggvény linearitása miatt van hatékonyabb módszer is.

Lineáris programozás és szimplex módszer

lp megold s szimplex algoritmussal
LP megoldás szimplex algoritmussal
  • Induljunk ki az egyik csúcspontból.
  • Valamelyik határoló élen menjünk át egy olyan szomszédos csúcsra, ahol a célfüggvény értéke magasabb.
  • Ha már nincsen magasabb célfüggvény értékkel jellemezhető szomszédos csúcs, akkor elértük az optimális megoldást.

Lineáris programozás és szimplex módszer

a szimplex algoritmus tulajdons gai
A szimplex algoritmus tulajdonságai
  • Minden extrém pontot egyértelműen meghatároz egy bázismegoldás.
  • Ezt m változó kiválasztásával és a többi 0-vá tételével érhetjük el. (Minden sarok m darab feltétel teljes kimerítésével írható le.)
  • Ennek a rendszernek a megoldása a bázis.
  • Egy szomszédos csúcsra való áttérés azt jelenti, hogy egy új bázisra térünk át, ami csak egy elemében tér el a korábbitól.

Lineáris programozás és szimplex módszer

2 p lda a szimplex m dszer alk
2. példa: a szimplex módszer alk.
  • A probléma jellemzői:
    • 5 független változó
    • 3 egyenlőtlenség + 1 kiegészítő feltétel
    • feladat: a célfüggvény maximalizálása
  • Megoldás: szimplex algoritmus alkalmazá-sával

Lineáris programozás és szimplex módszer

2 p lda a szimplex m dszer alk1
2. példa: a szimplex módszer alk.

x1 + 2 x2 + x3 + x5 ≤ 100 u1

x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 80 u2

x1 + x3 + x4 ≤ 50 u3

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0

Z = (2x1 + x2 + 3x3 + x4 + 2x5) → MAX

Lineáris programozás és szimplex módszer

2 p lda a szimplex m dszer alk2
2. példa: a szimplex módszer alk.
  • A feladat átalakítása sztenderd formára:
    • ha z-t minimalizálni kell: -z-t maximalizáljuk;
    • ha x ≥ a van a feltételek között: -x ≤ -a
    • ha egyenlőség van a feltételek között, egyenlőtlenségekké alakítjuk át azokat:

x = b→ ( x ≤ b és x ≥ b )→ (x ≤ b és -x ≤ -b)

Lineáris programozás és szimplex módszer

2 p lda megold s szimplex t bl val
2. példa: megoldás szimplex táblával
  • A feltételek rögzítése
  • Induló szimplex tábla
  • Generáló elem oszlopának kiválasztása (pozitív) → belépő változó
  • G. E. sorának kiválasztása (elem/kapacitás=max) → távozó változó
  • Elemcsere
  • Vissza a 2. pontba

Lineáris programozás és szimplex módszer

2 p lda megold s szimplex t bl val1
2. példa: megoldás szimplex táblával
  • Az első elemcsere után:

GE: új = 1 / régi

GE sora: új = régi / GE

GE oszlopa: új = - régi / GE

A többi: új = régi – GEsor * GEoszlop / GE

A sor- és az oszlopindex felcserélődik!

Lineáris programozás és szimplex módszer

2 p lda megold s szimplex t bl val2
2. példa: megoldás szimplex táblával
  • A második elemcsere után:

GE: új = 1 / régi

GE sora: új = régi / GE

GE oszlopa: új = - régi / GE

A többi: új = régi – GEsor * GEoszlop / GE

A sor- és az oszlopindex felcserélődik!

Lineáris programozás és szimplex módszer

2 p lda megold s szimplex t bl val3
2. példa: megoldás szimplex táblával
  • A harmadik elemcsere után:

Ez egy olyan csúcspont a konvex poliéderen, ahol

x1 = 20 x3 = 30 x5 = 50 x2 = x4 = 0

A haszon Z = 20 * 2 + 30 * 3 + 50 * 2 = 230

A megoldás optimális, mert már nincs pozitív elem az alsó sorban.

Lineáris programozás és szimplex módszer

a du l m dszer 1
A duál módszer (1)
  • Lineáris programozási feladat esetén, ha a célfüggvényt minimalizálni kell és az együtthatói mind pozitívak, a szimplex módszer nem vezet megoldásra.
  • Ekkor mátrixműveletek alkalmazásával az ún. duál módszert használjuk.
  • Házi feladatban is ez vezet megoldásra!

Lineáris programozás és szimplex módszer

a du l m dszer 2
A duál módszer (2)

ui

A

b

A

b

ui

= max

= min

-z

z

a feladat duálisa

-1 -5 -10 0 -5 -2 -1

itt a szimplex módszer nem jó

zT

ui

xi

ui

függőlegesen kell kiolvasni az eredmény -1-szeresét!

xi

- AT

megoldás

szimplex

módszerrel

= max

-bT

- zmin

Lineáris programozás és szimplex módszer

sszefoglal s
Összefoglalás
  • LP
  • LP alaptétele
  • Szimplex módszer
  • Duál módszer

Lineáris programozás és szimplex módszer

k sz n m a figyelmet
Köszönöm a figyelmet!

Derts Zsófia

BME VKKT (U épület)

derts.zsofia@vkkt.bme.hu

Lineáris programozás és szimplex módszer