managerial decision modeling n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Managerial Decision Modeling PowerPoint Presentation
Download Presentation
Managerial Decision Modeling

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 66

Managerial Decision Modeling - PowerPoint PPT Presentation


  • 124 Views
  • Uploaded on

Managerial Decision Modeling. A Practical Introduction to Management Science , 5ed by Cliff Ragsdale. Chapter 6. Integer Programming. Introduksjon. Når en eller flere variabler i et LP problem må anta heltallsverdier har vi et Heltallsproblem, Integer Linear Programming (ILP) problem.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Managerial Decision Modeling' - kalei


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
managerial decision modeling

Managerial Decision Modeling

A Practical Introduction to Management Science , 5ed

by Cliff Ragsdale

integer programming

Chapter 6

Integer Programming

LOG350 Operasjonsanalyse

introduksjon
Introduksjon
  • Når en eller flere variabler i et LP problem må anta heltallsverdier har vi et Heltallsproblem, IntegerLinear Programming (ILP) problem.
  • ILP problemer er ganske vanlige:
    • Fordele arbeidsstyrke
    • Produsere fly
  • Heltallsvariabler gjør oss også i stand til å lage mer nøyaktige modeller for en mengde økonomiske problemer.

LOG350 Operasjonsanalyse

heltallsrestriksjoner
Heltallsrestriksjoner

MAX:350X1 + 300X2} dekningsbidrag

S.T.: 1X1 + 1X2 <= 200} pumper

9X1 + 6X2 <= 1566 } arbeid

12X1 + 16X2 <= 2880} rør

X1, X2>= 0} ikke-negativitet

X1, X2må være heltall} heltallsrestriksjon

Heltallsbetingelser er enkle å angi, men problemet blir ofte mye vanskeligere (og noen ganger umulig) å løse.

LOG350 Operasjonsanalyse

forenkling
Forenkling
  • Opprinnelig ILP

MAX: 2X1 + 3X2

S.T.: X1 + 3X2 <= 8.25

2.5X1 + X2 <= 8.75

X1, X2 >= 0

X1, X2må være heltall

  • LP forenkling

MAX: 2X1 + 3X2

S.T.: X1 + 3X2 <= 8.25

2.5X1 + X2 <= 8.75

X1, X2 >= 0

Vi ser bort fra heltallsbetingelsene

LOG350 Operasjonsanalyse

mulige heltallsl sninger og mulighetsomr det til lp problemet

X2

Mulige heltallsløsninger

3

2

1

0

X1

0

1

2

3

4

Mulige heltallsløsninger og Mulighetsområdet til LP problemet

LOG350 Operasjonsanalyse

l sning av ilp problemer
Løsning av ILP problemer
  • Når en løser et LP-forenklet heltallsproblem, kan en noen ganger være heldig å få en optimal heltallsløsning.
  • Det var tilfellet i det opprinnelige Blue Ridge Hot Tubs problemet i tidligere kapitler.
  • Men hva hvis vi reduserer tilgjengelig arbeidstid til 1520 timer og tilgjengelig mengde rør til 2650 dm ?

LOG350 Operasjonsanalyse

lp problem med desimall sning
LP problem med desimalløsning

LOG350 Operasjonsanalyse

grenser
Grenser
  • Den optimale løsningen til et LP-forenklet heltallsproblem gir oss en grense for den optimale verdien på målfunksjonen.
  • For maksimeringsproblemer er den optimale forenklede målfunksjonen en øvre grense for den optimale heltallsløsningen.
  • For minimeringsproblemer er den optimale forenklede målfunksjonen en nedre grense for den optimale heltallsløsningen.

LOG350 Operasjonsanalyse

avrunding
Avrunding
  • Det er fristende å ganske enkelt avrunde en desimalløsning til nærmeste heltallsløsning.
  • Generelt vil dette ikke virke tilfredsstillende:
    • Den avrundede løsningen kan være umulig.
    • Den avrundede løsningen kan være suboptimal.

LOG350 Operasjonsanalyse

hvordan avrunding nedover kan skape en umulig l sning
Hvordan avrunding nedoverkan skape en umulig løsning

X2

3

2

Optimal forenklet løsning

Ikke mulig løsning som resultat av å runde av nedover

1

0

X1

0

1

2

3

4

LOG350 Operasjonsanalyse

branch and bound
Branch-and-Bound
  • Branch-and-Bound (B&B) algoritmenkan brukes for å løse ILP problemer.
  • Krever løsning av en serie med LP problemer kalt ”kandidat problemer”.
  • Teoretisk kan dette løse et hvilket som helst ILP.
  • I praksis krever det ofte enormtmye regnekraft (og tid).

LOG350 Operasjonsanalyse

stoppe regler
Stoppe - regler
  • Fordi B&B tar så lang tid, tillater de fleste ILP pakker å angiensuboptimalitets toleranse faktor.
  • Den lar deg stoppe straks en heltallsløsning er funnet som er innenfor en gitt % av den globale optimaleløsningen.
  • Grenseroppnåddfra LP-forenklingen er her nyttige.
    • F.eks.
      • LP forenklingenhar en optimal verdi på målfunksjonen lik $64,306.
      • 95% av $64,306 er $61,090.
      • En heltallsløsning med verdi på målfunksjonenlik $61,090 eller mer må derfor ligge innenfor 5% av denoptimale løsningen.

LOG350 Operasjonsanalyse

bruk av solver p heltall
Bruk av Solver på heltall
  • Angi heltall som en restriksjon på de aktuelle beslutningsvariablene :

LOG350 Operasjonsanalyse

angi toleranse i solver
Angi toleranse i Solver
  • Velg Options og Integer Options :

LOG350 Operasjonsanalyse

heltallsl sning fra solver
Heltallsløsning fra Solver
  • Når Solver har løst et heltallsproblem får vi følgende beskjed :

LOG350 Operasjonsanalyse

bruk av solver p heltall1
Bruk av Solver på heltall
  • Angi heltall som en restriksjon på de aktuelle beslutningsvariablene :
  • Bare beslutningsvariabler kan ha heltallskrav.

LOG350 Operasjonsanalyse

angi toleranse i solver1
Angi toleranse i Solver
  • Under Engine tab i Task Pane, Integer Tolerance.
  • I den nye Solver (V9 osv.) er standard Integer Tolerance = 0
  • Forbedret B&B algoritmer (strong branching) gjør at Solver raskere finner gode heltallsløsninger.

LOG350 Operasjonsanalyse

er heltallsl sningen optimal
Er heltallsløsningen optimal ?

LOG350 Operasjonsanalyse

hvordan f optimal heltallsl sning
Hvordan få optimal heltallsløsning
  • Da må vi sette Tolerance til 0%:

Sett denne verdien til 0 hvis du vil finne den globale optimale løsningen. (Men det kan ta lang tid)

LOG350 Operasjonsanalyse

optimal heltallsl sning
Optimal heltallsløsning

LOG350 Operasjonsanalyse

et skiftplanleggingsproblem air express
Et skiftplanleggingsproblem:Air-Express

Behovet for antall ansatte varierer med ukedagene.

Lønn pr. ansatt pr. uke er lavest for de som har fri i helgene (lørdag og søndag).

LOG350 Operasjonsanalyse

definer beslutningsvariablene
Definer beslutningsvariablene

X1 = antall arbeidere tildelt skift 1

X2 = antall arbeidere tildelt skift 2

X3 = antall arbeidere tildelt skift 3

X4 = antall arbeidere tildelt skift 4

X5 = antall arbeidere tildelt skift 5

X6 = antall arbeidere tildelt skift 6

X7 = antall arbeidere tildelt skift 7

LOG350 Operasjonsanalyse

definer m lfunksjonen
Definer målfunksjonen

Minimer totale lønnskostnader:

MIN: 680X1 +705X2 +705X3 +705X4 +705X5 +680X6 +655X7

LOG350 Operasjonsanalyse

definere restriksjonene
Definere restriksjonene
  • Behov for arbeidere hver ukedag:

0X1 + 0X2 + 1X3 + 1X4 + 1X5 + 1X6 + 1X7 >= 27 } Mandag

1X1 + 0X2 + 0X3 + 1X4 + 1X5 + 1X6 + 1X7 >= 22 } Tirsdag

1X1 + 1X2 + 0X3 + 0X4 + 1X5 + 1X6 + 1X7 >= 26 } Onsdag

1X1 + 1X2 + 1X3 + 0X4 + 0X5 + 1X6 + 1X7 >= 25 } Torsdag

1X1 + 1X2 + 1X3 + 1X4 + 0X5 + 0X6 + 1X7 >= 21 } Fredag

1X1 + 1X2 + 1X3 + 1X4 + 1X5 + 0X6 + 0X7 >= 19 } Lørdag

0X1 + 1X2 + 1X3 + 1X4 + 1X5 + 1X6 + 0X7 >= 18 } Søndag

  • Ikke-negativitets-betingelsene:

Xi >= 0 for allei

LOG350 Operasjonsanalyse

standard lp i regneark
Standard LP i regneark

LOG350 Operasjonsanalyse

alternativ layout
Alternativ layout

LOG350 Operasjonsanalyse

bin r variabler
Binær-variabler
  • Binærevariabler er heltallsvariabler som bare kan anta to verdier: 0 eller 1.
  • Slike variabler kan være meget nyttige i en mengde praktiske modelleringssituasjoner.

LOG350 Operasjonsanalyse

et kapitalbudsjetteringsproblem crt technologies
Et kapitalbudsjetteringsproblem:CRT Technologies

Forventet NPV

Prosjekt (i $000) År 1 År 2 År 3 År 4 År 5

1 $141 $75 $25 $20 $15 $10

2 $187 $90 $35 $0 $0 $30

3 $121 $60 $15 $15 $15 $15

4 $83 $30 $20 $10 $5 $5

5 $265 $100 $25 $20 $20 $20

6 $127 $50 $20 $10 $30 $40

Kapital (i $000) som trengs i

  • Selskapet har for øyeblikket $250,000 disponibelt til å investere i nye prosjekter. Det har budsjettert $75,000 til fornyet dekning til disse prosjektene i år 2, og $50,000 per år for årene 3, 4, og 5.

LOG350 Operasjonsanalyse

definere beslutningsvariablene
Definere beslutningsvariablene

Vi kan altså investere i prosjektene 1 – 6, men bare i hele prosjekter.

Og vi kan ikke investere i mer enn ett prosjekt av samme type, dvs. prosjektene kan ikke dupliseres.

LOG350 Operasjonsanalyse

definere m lfunksjonen
Definere målfunksjonen
  • Maksimer total netto nåverdi av de valgte prosjektene.

MAX: 141X1 + 187X2 + 121X3 + 83X4 + 265X5 + 127X6

LOG350 Operasjonsanalyse

definere restriksjonene1
Definere restriksjonene
  • Kapitalrestriksjoner

75X1 + 90X2 + 60X3 + 30X4 + 100X5 + 50X6 <= 250 } år 1

25X1 + 35X2 + 15X3 + 20X4 + 25X5 + 20X6 <= 75 } år 2

20X1 + 0X2 + 15X3 + 10X4 + 20X5 + 10X6 <= 50 } år 3

15X1 + 0X2 + 15X3 + 5X4 + 20X5 + 30X6 <= 50 } år 4

10X1 + 30X2 + 15X3 + 5X4 + 20X5 + 40X6 <= 50 } år 5

  • Binærrestriksjoner

Xi <= 1, i = 1, 2, ..., 6

Xi >= 0, i = 1, 2, ..., 6

Alle Ximå være heltall

LOG350 Operasjonsanalyse

programvaretips
Programvaretips
  • Solver i Excel 8.0 (Office 97) har en “bin” mulighet forangivelse av binære variabler.
  • Du slipper da å benytte de restriksjonene som var angitt på forrige slide vedrørende binære variabler.

LOG350 Operasjonsanalyse

implement ere model len
Implementere Modellen

LOG350 Operasjonsanalyse

bin re variable r logiske betingelser
Binære Variabler & LogiskeBetingelser
  • Binære variabler er også nyttige ved modellering av en rekke logiske betingelser.
    • Av prosjektene 1, 3 & 6, kan maksimalt ett velges:
      • X1 + X3 + X6 <= 1
    • Av prosjektene 1, 3 & 6, må nøyaktig ett velges:
      • X1 + X3 + X6 = 1
    • Prosjekt 4 kan ikke velges med mindre også prosjekt5 velges:
      • X4 – X5 <= 0

eller

      • X4 <= X5

LOG350 Operasjonsanalyse

faste kostnader
Faste kostnader
  • Mange beslutninger medfører at faste kostnader endres:
    • Kostnad ved leasing, leie eller kjøp av utstyr som kreves hvis et spesielt alternativ velges.
    • Klargjøringskostnader som er nødvendige for å forberede en maskin eller et produksjonsutstyr til å produsere en annen type produkt.
    • Kostnaden ved å konstruere nytt produksjonsutstyr som kreves hvis en bestemt beslutning fattes.
    • Kostnader ved å ansette mer personale som vil bli nødvendig hvis en bestemt beslutning tas.

LOG350 Operasjonsanalyse

eksempel med faste kostnader remington manufacturing
Eksempel med faste kostnader :Remington Manufacturing

Timer som trengs for:

Operasjon Prod. 1 Prod. 2 Prod. 3 Timer tilgjengelig

Maskinering 2 3 6 600

Sliping 6 3 4 300

Montering 5 6 2 400

DB pr. Stk. $48 $55 $50

Klargjøringskost $1000 $800 $900

LOG350 Operasjonsanalyse

definere beslutningsvariablene1
Definere beslutningsvariablene

Yi angir om vi har klargjort til produksjon av produkt Xi :

Yi = binærvariabel

Xi = kvantum av produktisom skal produseres, i = 1, 2, 3

LOG350 Operasjonsanalyse

definere m lfunksjonen1
Definere målfunksjonen
  • Maksimere total fortjeneste.

MAX: – 1000Y1 – 800Y2 – 900Y3 + 48X1 + 55X2 + 50X3

LOG350 Operasjonsanalyse

definere restriksjonene2
Definere restriksjonene
  • Ressursrestriksjoner

2X1 + 3X2 + 6X3 <= 600 } maskinering

6X1 + 3X2 + 4X3 <= 300 } sliping

5X1 + 6X2 + 2X3 <= 400 } montering

  • Binær-restriksjoner

Yi <= 1, i = 1, 2, 3

Yi >= 0, i = 1, 2, 3

Alle Yimå være heltall

  • Ikke-negativitetsrestriksjoner

Xi >= 0, i = 1, 2, 3

  • Er det noe som mangler ?

LOG350 Operasjonsanalyse

definere restriksjonene forts
Definere restriksjonene(forts.)
  • Koble restriksjonene(med “Big M”)

X1 <= M1Y1eller X1 - M1Y1 <= 0

X2 <= M2Y2 eller X2 - M2Y2 <= 0

X3 <= M3Y3 eller X3 - M3Y3 <= 0

  • HvisYi = 0så vil disse restriksjonene tvingeXitil å bli lik0.
  • HvisYi = 1så tillater disse restriksjoneneXiå være0 eller større.Men hvis Xi = 0vil målsettingen da medføre at også Yisettes til 0, for å spare kostnader.
  • Merk atMiangir en øvre grense forXi.
  • Vi må velge en tilstrekkelig stor men ikke for stor verdi tilMi.

LOG350 Operasjonsanalyse

finne rimelige verdier for m 1
Finne rimelige verdier for M1
  • Betrakt ressursrestriksjonene

2X1 + 3X2 + 6X3 <= 600 } maskinering

6X1 + 3X2 + 4X3 <= 300 } sliping

5X1 + 6X2 + 2X3 <= 400 } montering

  • Hva er maksimum verdiX1kan anta?

LaX2 = X3 = 0

X1 = MIN(600/2, 300/6, 400/5)

= MIN(300, 50, 80)

= 50

  • Maximum verdier for X2 & X3kan finnes på samme måte.

LOG350 Operasjonsanalyse

sammendrag av modellen
Sammendrag av modellen

MAX: - 1000Y1 - 800Y2 - 900Y3 + 48X1 + 55X2 + 50X3

Slik at: 2X1 + 3X2 + 6X3 <= 600 } maskinering

6X1 + 3X2 + 4X3 <= 300 } sliping

5X1 + 6X2 + 2X3 <= 400 } montering

X1 <= 50Y1

X2 <= 67Y2kobling

X3 <= 75Y3

Yi <= 1, i = 1, 2, 3

Yi >= 0, i = 1, 2, 3 binær-restriksjoner Alle Yimå være heltall

Xi >= 0, i = 1, 2, 3 } ikke-negativitet

}

}

LOG350 Operasjonsanalyse

mulige feller
Mulige feller
  • Ikke bruk IF( ) funksjonen til å modellere sammenhengen mellom Xi og Yi.
    • Anta celle A5 representerer X1
    • Anta celle A6 representerer Y1
    • Du ønsker å lage A6 = IF(A5>0;1;0)
    • Dette vil skape store problemer for Solver!
  • La Yi være som en hvilken som helst variabel.
    • Gjør dem til binære beslutningsvariabler.
    • Bruk koblingsrestriksjoner til å skape de nødvendige sammenhengene mellom Xi og Yi.

LOG350 Operasjonsanalyse

implementere modellen
Implementere modellen

LOG350 Operasjonsanalyse

minimum ordre st rrelse
Minimum ordre størrelse

Anta at Remington ikke ønsker å produsere noe av produkt 3 uten at det blir produsert minst 40 enheter ...

Vurder følgende:

X3 <= M3Y3

X3 >= 40 Y3

LOG350 Operasjonsanalyse

kvantumsrabatter
Kvantumsrabatter
  • MAX: 350X1 + 300X2 } dekningsbidrag
  • S.T.: 1X1 + 1X2 <= 200 } pumper
  • 9X1 + 6X2 <= 1520 } arbeid
  • 12X1 + 16X2 <= 2650 } rør
  • X1, X2 >= 0 } ikke-negativitet
  • Kvantumsrabatter:
    • Ved produksjon over 75 X1 oppnås rabatter slik at dekningsbidraget økes til 375$ pr. enhet.
    • Ved produksjon over 50 X2 oppnås rabatter slik at dekningsbidraget økes til 325$ pr. enhet.

LOG350 Operasjonsanalyse

revidert modell
Revidert modell

MAX: 350X11 + 300X21 +} kvanta uten rabatt

375X12 + 325X22 } kvanta med rabatt

S.T.: 1X11 + 1X21 + 1X12 + 1X22 <= 200 } pumper

9X11 + 6X21 + 9X12 + 6X22 <= 1560 } arbeid

12X11 + 16X21 + 12X12 + 16X22 <= 2650 } rør

X12 <= M12Y1 } kan ikke produsere med rabatt

X11 >= 75Y1 } før vi ha produsert 75 uten.

X22 <= M22Y2 } kan ikke produsere med rabatt

X21 >= 50Y2 } før vi ha produsert 50 uten.

Y1, Y2 binærvariabler; Xijikke-negative heltall.

LOG350 Operasjonsanalyse

standard lp modell
Standard LP modell

LOG350 Operasjonsanalyse

alternativ lay out
Alternativ lay-out

LOG350 Operasjonsanalyse

et kontraktstildelingsproblem b g construction
Et kontraktstildelingsproblem:B&G Construction

Kostnad pr levert tonn sement

SelskapProsjekt 1 Prosjekt 2Prosjekt 3Prosjekt 4Kapasitet

1 $120 $115 $130 $125 525 tonn

2 $100 $150 $110 $105 450 tonn

3 $140 $95 $145 $165 550 tonn

Behov 450 tonn 275 tonn 300 tonn 350 tonn

  • Selskap 1 leverer bare ordrer på minst 150 tonn.
  • Selskap 2 kan levere ordrer på over 200 tonn bare for ett prosjekt.
  • Selskap 3 leverer totalt bare i kvanta på 200, 400 eller 550 tonn.

LOG350 Operasjonsanalyse

definere beslutningsvariablene2
Definere beslutningsvariablene

Xij = tonn sement kjøpt fra selskap itil prosjekt j

i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4

LOG350 Operasjonsanalyse

definere m lfunksjonen2
Definere målfunksjonen
  • Minimere totale kostnader.

MIN: 120X11 + 115X12 + 130X13 + 125X14 +

100X21 + 150X22 + 110X23 + 105X24 +

140X31 + 95X32 + 145X33 + 165X34

LOG350 Operasjonsanalyse

definere restriksjonene3
Definere restriksjonene
  • Kapasitetsrestriksjoner

X11 + X12 + X13 + X14 <= 525 } Selskap 1

X21 + X22 + X23 + X24 <= 450 } Selskap 2

X31 + X32 + X33 + X34 <= 550 } Selskap 3

  • Etterspørselsrestriksjoner

X11 + X21 + X31 = 450 } Prosjekt 1

X12 + X22 + X32 = 275 } Prosjekt 2

X13 + X23 + X33 = 300 } Prosjekt 3

X14 + X24 + X34 = 350 } Prosjekt 4

  • Ikke-negativitetsrestriksjoner

Xij >= 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4

LOG350 Operasjonsanalyse

definere restriksjonene forts1
Definere restriksjonene(forts.)
  • Selskap 1 leverer bare ordrer på minst 150 tonn

X1j <= 525Y1jj = 1, 2, 3, 4

X1j >= 150Y1j j = 1, 2, 3, 4

  • Selskap 2 kan levere over 200 tonn bare for ett prosjekt

X2j <= 200 + 250Y2jj = 1, 2, 3, 4

Y21 + Y22 + Y23 + Y24 <= 1

  • Selskap 3 leverer totalt bare 200, 400 eller 550 tonn

X31 + X32 + X33 + X34 = 200Y31 + 400Y32 + 550Y33

Y31 + Y32 + Y33 <= 1

LOG350 Operasjonsanalyse

sammendrag av modellen1
Sammendrag av modellen

MIN: 120X11 + 115X12 + 130X13 + 125X14 +

100X21 + 150X22 + 110X23 + 105X24 +

140X31 + 95X32 + 145X33 + 165X34

slik at: X11 + X12 + X13 + X14 <= 525 } Selskap 1

X21 + X22 + X23 + X24 <= 450 } Selskap 2

X31 + X32 + X33 + X34 <= 550 } Selskap 3

X11 + X21 + X31 = 450 } Prosjekt 1

X12 + X22 + X32 = 275 } Prosjekt 2

X13 + X23 + X33 = 300 } Prosjekt 3

X14 + X24 + X34 = 350 } Prosjekt 4

LOG350 Operasjonsanalyse

sammendrag av modellen forts
Sammendrag av modellen (forts.)

X1j <= 525Y1j j = 1, 2, 3, 4

X1j >= 150Y1j j = 1, 2, 3, 4

X2j <= 200 + 250Y2jj = 1, 2, 3, 4

Y21 + Y22 + Y23 + Y24 <= 1

X31 + X32 + X33 + X34 = 200Y31 + 400Y32 + 550Y33

Y31 + Y32 + Y33 <= 1

Xij >= 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4

Yij =binær-variabel; i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4

LOG350 Operasjonsanalyse

implementere modellen1
Implementere modellen

LOG350 Operasjonsanalyse

branch and bound algoritmen
Branch-And-Bound algoritmen

MAX: 2X1 + 3X2

S.T. X1 + 3X2 <= 8.25

2.5X1 + X2 <= 8.75

X1,X2 >= 0 og heltall

LOG350 Operasjonsanalyse

l sning av lp relaxation
Løsning av LP Relaxation

X2

3

Mulige heltallsløsninger

Optimal Relaxed løsning

X1 = 2.769, X2=1.826

Målfunksjon = 11.019

2

1

0

0

3

4

X1

1

2

LOG350 Operasjonsanalyse

branch and bound algoritmen1
Branch-And-Bound algoritmen

MAX: 2X1 + 3X2

S.T. X1 + 3X2 <= 8.25

2.5X1 + X2 <= 8.75

X1 <= 2

X1,X2 >= 0 og heltall

Problem I

MAX: 2X1 + 3X2

S.T. X1 + 3X2 <= 8.25

2.5X1 + X2 <= 8.75

X1 >= 3

X1,X2 >= 0 og heltall

Problem II

LOG350 Operasjonsanalyse

l sning til lp relaxation
Løsning til LP Relaxation

X2

3

Problem I

X1=2, X2=2.083, Målfunksjon = 10.25

2

Problem II

1

0

0

3

4

X1

1

2

LOG350 Operasjonsanalyse

branch and bound algoritmen2
Branch-And-Bound algoritmen

MAX: 2X1 + 3X2

S.T. X1 + 3X2 <= 8.25

2.5X1 + X2 <= 8.75

X1 <= 2

X2 <= 2

X1,X2 >= 0 og heltall

Problem III

MAX: 2X1 + 3X2

S.T. X1 + 3X2 <= 8.25

2.5X1 + X2 <= 8.75

X1 <= 2

X2 >= 3

X1,X2 >= 0 og heltall

Problem IV

LOG350 Operasjonsanalyse

l sning til lp relaxation1
Løsning til LP Relaxation

X2

3

Problem III

X1=2, X2=2, Målfunksjon = 10

2

Problem II

X1=3, X2=1.25, Målfunksjon = 9.75

1

0

0

3

4

X1

1

2

LOG350 Operasjonsanalyse

b b sammendrag
B&B Sammendrag

Opprinnelig Problem

X1=2.769

X2=1.826

Obj = 11.019

X1>=3

X1<=2

Problem II

Problem I

X1=2

X2=2.083

Obj = 10.25

X1=3

X2=1.25

Obj = 9.75

X2<=2

X2>=3

Problem III

Problem IV

X1=2

X2=2

Obj = 10

infeasible

LOG350 Operasjonsanalyse

end of chapter 6
End of Chapter 6

LOG350 Operasjonsanalyse