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DÍA 05 * 1º BAD CT SUCESIONES Y LÍMITES

DÍA 05 * 1º BAD CT SUCESIONES Y LÍMITES. Progresiones aritméticas. Es una sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior más una constante, d, llamada DIFERENCIA a =  a , a , a , a , .... , a , ... , a , a 

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DÍA 05 * 1º BAD CT SUCESIONES Y LÍMITES

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  1. DÍA 05 * 1º BAD CTSUCESIONES Y LÍMITES

  2. Progresiones aritméticas • Es una sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior más una constante, d, llamada DIFERENCIA • a =  a , a , a , a , .... , a , ... , a , a  • n 1 2 3 4 k n‑1 n • Deducimos la fórmula principal: • a = a • 1 1 • a = a + d • 2 1 • a = a + d = a + 2.d • 3 2 1 • a = a + d = a + 3.d • 4 3 1

  3. …………………..………. • a = a + d = a + (n ‑1).d • n n‑1 1 • O sea: • a = a + ( n ‑ 1 ).d • n 1 • De ella se despeja en caso necesario a , d o n. • 1 • a = a - (n – 1 ).d ,, d = (a - a ) / (n – 1 ) • 1 n n 1 • n = [ (a - a ) / d ] + 1 • n 1 • En la resolución de sistemas un método muy práctico es poner cualquier término en función del primero y de la diferencia.

  4. EJEMPLO_1 • En una PA el primer término vale 5 y la diferencia es 3. • Hallar el término séptimo y el término duodécimo. • Tenemos: • a = a + ( n ‑ 1 ).d • n 1 • De donde: • a = a + ( 7 – 1 ).3 = 5 + 6.3 = 5 + 18 = 23 • 7 1 • a = a + ( 12 – 1 ).3 = 5 + 11.3 = 5 + 33 = 38 • 12 1 • La PA sería: • {a } = 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, … • n

  5. EJEMPLO_2 • En una PA el primer término vale 5 y la diferencia es - 4. • Hallar el término quinto y el término undécimo. • Tenemos: • a = a + ( n ‑ 1 ).d • n 1 • De donde: • a = a + ( 5 – 1 ).(-4) = 5 + 4.(-4) = 5 - 16 = - 11 • 5 1 • a = a + ( 11 – 1 ).(-4) = 5 + 10.(-4) = 5 - 40 = - 35 • 11 1 • La PA sería: • {a } = 5, 1, -3, -7, -11, -15, -19, -23, - 27, - 31, - 35, … • n

  6. EJEMPLO_3 • En una PA el noveno término vale 5 y la diferencia es 7. • Hallar el primer término. • Tenemos: • a = a + ( n ‑ 1 ).d • n 1 • De donde: • a = a - ( 9 – 1 ).7 = 5 - 8.7 = 5 - 56 = - 51 • 1 9 • La PA sería: • {a } = - 51, - 44, - 37, - 30, - 23, - 16, - 9, - 2, 5, … • n

  7. Suma de términos en P.A. • Sea la P.A. an = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 • Observar que 1+15 = 3+13 = 5+11 = 7+9 , es siempre 16 • En toda P.A. la suma del primero y del último es igual a la suma del segundo con el penúltimo, e igual a la suma del tercero con el antepenúltimo, ... • O sea que la suma (a1 + an) se repite n / 2 veces, quedando: • (a1 + an) • S = (a1 + an). (n/2) , o lo que igual: S = ‑--------‑‑‑‑ . n • 2

  8. Ejemplo_1 • Hallar la suma de los 35 primeros múltiplos de 7. • La P.A. sería: an = 7, 14, 21, 28, … • Donde a1 = 7 , d = 7 y n = 35 • Hallamos a35 = a1 + ( 35 – 1).7 = 7 + 34.7 = 7 +238 = 245 • Y aplicando la suma S = (a1 + an) . (n/2) , queda: • S = (7 + 245) . (35/2) = 252.17,5 = 4410

  9. Ejemplo_2 • Los alumnos de una clase se colocan en filas, pero de forma que en la1ª fila hay 1 alumno, en la 2ª fila hay 2 alumnos, en la 3ª fila hay 3 alumnos y así sucesivamente hasta completar 11 filas. ¿Cuántos alumnos hay en esa clase? • La sucesión de alumos por cada fila sería: an = 1, 2, 3, 4, …, 11 • Sería una PA donde a1 = 1 , d = 1 y n = 11 • Hallamos a11 = a1 + ( n – 1).d = 1 + 10.1 = 11 • (En este caso sobraría, pero en la mayoría de las circunstancias hay que hallarlo al desconocerse su valor) • Y aplicando la suma S = (a1 + an) . (n/2) , queda: • S = (1 + 11) . (11/2) = 12.5,5 = 66 • En la clase habría 66 alumnos en total.

  10. Ejemplo_3 • En una PA el primer término vale 3, la diferencia vale 0,25 y la suma de todos los términos de la progresión vale 28. Hallar el número de términos. • Nos dicen que es una PA donde a1 = 3 , d = 0,25 y S = 28 • Hallamos el último término: an = a1 + ( n – 1).d = 3 + (n – 1).0,25 • Y aplicando la suma S = (a1 + an) . (n/2) , queda: • 28 = (3 + 3 + (n – 1).0,25) . (n/2) • Operando: 28 = (6 + 0,25.n – 0,25).(n/2) • 28 = 3.n + 0,125.n2 – 0,125.n • Ordenando queda: 0,125.n2 + 2,875.n – 28 = 0 • Multiplicando por 1000 queda: 125.n2 + 2875.n – 28000 = 0 • Dividiendo entre 125 queda: n2 + 23.n – 224 = 0 • Resolviendo la ecuación: n = 101 términos • La otra posible solución de n no vale al ser negativa.

  11. 11.6 Progresiones geométricas • Es una sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior multiplicado por una constante, r , llamada RAZÓN . • a = a , a , a , a , .... , a , ..., a , a • n 1 2 3 4 k n‑1 n • Deducimos la fórmula principal: • a = a • 1 1 • a = a . r • 2 1 • 2 • a = a . r = a . r • 3 2 1 • 3 • a = a . r = a . r • 4 3 1

  12. ……………... • n-1 • a = a . r = a . r • n n‑1 1 • O sea: • n‑1 • a = a . r • n 1 • De ella se despeja en caso necesario a , d o n. • 1 • n-1 n-1 • a = a / r ,, r = √ (a / a ) • 1 n n 1 • n = Aplicando logaritmos ( 4º ESO)

  13. EJEMPLO_1 • En una PG el primer término vale 5 y la razón 2. • Hallar el término séptimo y el término duodécimo. • Tenemos: • n-1 • a = a . r • n 1 • De donde: • 7-1 6 • a = a . 2 = 5 . 2 = 5 . 64 = 320 • 7 1 • 12-1 11 • a = a . 2 = 5 . 2 • 12 1 • La PG sería: • {a } = 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, … • n

  14. EJEMPLO_2 • En una PG el primer término vale 5 y el quinto vale 125. • Hallar la razón. • Tenemos: • n-1 • a = a . r • n 1 • De donde: • 5-1 4 4 4 • a = a . r ,, 125 = 5 . r ,, 25 = r ,, r = √ 25 = √ 5 • 5 1 • La PG sería: • {a } = 5, 5 √ 5, 25, 25 √ 5 , 125, … • n

  15. EJEMPLO_3 • En una PG el noveno término vale 10 y la razón vale 5. • Hallar el primer término. • Tenemos: • n-1 • a = a . r • n 1 • De donde: • 9 -1 8 7 -7 • a = a / 5 = 10 / 5 = 2 / 5 = 2. 5 • 1 9 • La PG sería: • -7 - 6 -5 • {a } = 2. 5 , 2.5 , 2.5 , … • n

  16. Suma de términos en P.G. • Demostramos la fórmula de la suma: • S = a + a + a + a + ... + a + .... + a + a • 1 2 3 4 k n‑1 n • Si multiplico todo por la razón r, queda : • S.r = a .r + a . r + a . r + ... + a .r + a .r • 1 2 3 n‑1 n • Restando una de otra expresión : • S ‑ S.r = a ‑ a . r • 1 n • a1 - an • S.(1 ‑ r ) = a ‑ a . r  S = ------------ • 1 n 1 - r

  17. AMPLIACIÓN: • La fórmula anterior en muchas ocasiones hay que combinarla con la fórmula principal, quedando una nueva fórmula de la suma: • n • a . ( 1‑ r ) • 1 • S = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--‑ • 1 ‑ r

  18. Ejemplo_1 • En un tablero de ajedrez se pone 1 € en la primera casilla, 2 € en la segunda, 4 € en la tercera y así sucesivamente hasta la 64ª casilla. Hallar la suma de todos los euros colocados. • La P.G. sería: an = 1, 2, 4, 8, 16, … • Donde a1 = 1 , r = 2 y n = 64 • 64-1 63 • Hallamos a64 = a1 . 2 = 2 • Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda: • 63 64 19 • S = (1 - 2 . 2) / ( 1 – 2 ) = 2 - 1 = 1,8 . 10

  19. Ejemplo_2 • En una población un vecino se entera de una noticia importante y en una hora se la comunica a cuatro vecinos, cada uno de los cuales, también en una hora, la transmite a su vez a otros cuatro, y así sucesivamente. ¿Cuántos vecinos conocerán la noticia al cabo de 12 horas?. • La sucesión de vecinos informados hora a hora sería: • an = 1, 4, 16, … • Está claro que es una P.G. donde a1 = 1 , r = 4 y n = 12 • 12-1 11 • Hallamos a12 = a1 . 4 = 4 • Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda: • 11 12 • S = (1 - 4 . 4) / ( 1 – 4 ) = ( 4 - 1 ) / 3 = 5.592.405

  20. Límite de una sucesión • Una sucesión es una función real cuyo dominio es el conjunto de los números naturales N. • Una sucesión de números reales tiene por límite el número real a cuando, dado un número real r positivo, por pequeño que sea, existe un término de la sucesión tal que todos los siguientes a él verifican: • |an – a| < r • El límite se representa por la notación. • Lím an = a • noo • Si una sucesión tiene por límite un número real se llama convergente. • En caso contrario se llama divergente. Aparece el +oo o el - oo

  21. Ejemplo 1 • 2n - 1 • Sea la sucesión an = -------- • n • Hallar su límite. • Calcular la distancia entre el término a10 y el límite. • Hallar el término a partir del cual esa distancia es menor que una milésima. • Hallamos el valor de algunos términos: • a1 = 1, a10 = 1’9, a100 = 1’99 • Lím an = 2 • noo • Hallamos la distancia de a10 al límite • | a10 - a | = |1,9 – 2| = |-0’1| = 0’1 • Hallamos el término pedido: • | an - a | < r  | an - 2 | < 0,001 • 2n – 1 2n – 1 – 2n • | -------- - 2 | < 0,001  | ----------------- | < 0,001 • n n • 1/n < 0,001  1 < 0,001.n  1/0,001 < n  n > 1000  n=1001

  22. Ejemplo 2 • 2 – 3n • Sea la sucesión bn = --------- • n + 1 • Hallar su límite. • Calcular la distancia entre el término b20 y el límite. • Hallar el término a partir del cual esa distancia es menor que una diezmilésima. • Hallamos el valor de algunos términos: • b1 = -0’5, b20 = -2’7619, b2000 = -2’9975 • Lím bn = - 3 • noo • Hallamos la distancia de a20 al límite • | b20 - b | = |- 2’7619 – (-3)| = |3 – 2’7619 | = 0’2381 • Hallamos el término pedido: • | bn - b | < r  | bn – (-3) | < 0,0001 • 2 – 3n 2 – 3n + 3n + 3 • | ----------- - (-3) | < 0,0001  | --------------------- | < 0,0001 • n + 1 n +1 • 5/(n+1) < 0,0001  5 < 0,0001.n + 0,0001  5 – 0’0001 < 0’0001n • 4’9999 < 0,0001n  4’9999 /0’0001 < n  n > 49999  n=50000

  23. Sucesión creciente y decreciente • Sucesión creciente es aquella en que el valor de los términos crece respecto a los términos anteriores. • Se deberá cumpliran+1 – an≥ 0 • Sucesión decreciente es aquella en que el valor de los términos decrece respecto a los términos anteriores. • Se deberá cumpliran+1 – an≤ 0 • Si una sucesión es creciente y está acotada superiormente, entonces es convergente. • Si una sucesión es decreciente y está acotada inferiormente, entonces es convergente. • Si no se produce alguno de los casos anteriores entonces es divergente.

  24. Ejemplo 1 • 3n - 1 • Sea la sucesión an = -------- • 2n • Hallar su límite. • Ver si es creciente o decreciente. • Hallamos el valor de algunos términos: • a1 = 1, a10 = 1’45, a100 = 1’495 • Lím an = 1,5 • noo • Crecimiento • 3(n+1) – 1 3n + 1 n(3n+2) – (n+1)(3n+1) • an+1 - an = -------------- – ----------- = ------------------------------- = • 2(n+1) 2n 2n(n+1) • 3n2 +2n – (3n2 +4n+1) – 2n – 1 – • = ------------------------------- = -------------- = ---- = –  Decreciente • 2n(n+1) 2n(n+1) +

  25. Ejemplo 2 • 2 – n • Sea la sucesión an = -------- • n + 1 • Hallar su límite. • Ver si es creciente o decreciente. • Hallamos el valor de algunos términos: • a1 = 0,5 a10 = -0,7272 a100 = -0,9703 • Lím an = - 1 • noo • Crecimiento • 2 – (n+1) 2 – n (n+1)(1 – n) – (n+2)(2 – n) • an+1 - an = -------------- – ----------- = ----------------------------------- = • (n+1) + 1 n + 1 (n+2)(n+1) • 1 – n2 – (4 – n2) – 3 – • = ----------------------- = ---------------- = ---- = –  Decreciente • (n+2)(n+1) (n+2)(n+1) +

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