Ejercitación Cálculo I

1. EjercitaciónCálculo I Carola Muñoz R.

2. Ejercicios • Utilice axiomas de cuerpo para demostrar que: • Si a + b = 0  a + c = 0  b = c • Demostración: Asociatividad ---------- > b + ( a + c ) = ( b + a ) + c • Conmutatividad ---------- > b + ( a + c ) = ( a + b ) + c • utilizando las hipótesis dadas: • Neutro aditivo ---------- > b + 0 = 0 + c  b = c

3. Ejercicios • Utilice axiomas de cuerpo para demostrar que: •  ( x ) = x • Demostración: Se tiene que x + ( x) = 0, esta ecuación dice que x es el inverso aditivo de  x. • x =  ( x )

4. Ejercicios • Utilice axiomas de cuerpo para demostrar que: • ( x ) y =  ( x y ) = x ( y ) • Demostración: Previamente se demostrará que ( 1) a = ( a) a + ( 1) a = 1 a + ( 1) a = ( 1 + ( 1)) a ---------- > Distributividad = 0 a ---------- > Inverso aditivo a + (  a) = 0 ---------- > Inverso aditivo

5. a + (  a) + (  a) = a + ( 1) a + (  a)--> Inverso aditivo de ( a ) entonces: a + (  a) = a + ( 1) a 0 + (  a) = 0 + ( 1) a (  a) = ( 1) a Teniendo en cuenta lo demostrado anteriormente se tiene que: (  x ) y = [ ( 1 ) x ] y = x [ ( 1 ) y ] --> Conmutatividad =x ( y ) (  x ) y = ( xy ) = x ( y ) = ( 1 ) x y --> Conmutatividad = ( x y )

6. Ejercicios • Si a2 + b2 = 1,  c2 + d2 = 1, demostrar que a c + b d  1 • Demostración: ( a  c )2  0 -------> a2 2ac + c2 0 ( b  d )2  0 -------> b2 2bd + d2  0 a2 + b22ac 2bd + c2 + d2  0 1 2ac 2bd + 1  0 2 2ac 2bd  0 1  ac +bd 2 ( 1 ac bd )  0 /  2 ------------->

7. Ejercicios • Si a b c, a, b, c,  + . Demostrar que

8. Ejercicios • Si a b c, a, b, c,  + . Demostrar que ( a  c )2 > 0 -------> a2 + c2 > 2ac ( a  b )2 > 0 -------> a2 + b2 > 2ab ( b  c )2 > 0 -------> b2 + c2 > 2bc a2 + c2 > 2ac /  b -------> b (a2 + c2)> 2abc a2 + b2 > 2ab /  c -------> c (a2 + b2)> 2abc b2 + c2 > 2bc /  a -------> a (b2 + c2)> 2abc b (a2 + c2)+ c (a2 + b2) + a (b2 + c2) > 6abc

9. Ejercicios • Si a > b > 0, demostrar que: a > (a + b ) > > > b • Demostración: ( a  b )2 > 0 a2 2ab + b2 > 0 / + 2ab a > b / + a a > b / + a a2 2ab + 2ab+ b2 > 0 + 2ab a + a > b + a a2+ b2 > 2ab / + 2ab a + a > b + a 2 a > a + b /  (a+b) a2+ 2ab + b2 > 2ab + 2ab / + 2ab 2 a > a + b /  2 ( a + b)2 > 4ab /  a > ( a + b ) a + b > 2 / 1/2 ( a + b ) >

10. Ejercicios • Demostración: • Si a > b > 0, demostrar que: a > (a + b ) > > > b a > ( a + b ) ( a + b)2 > 4ab /  (ab)2 ( a + b ) > TRANSITIVIDAD • a > (a + b ) > > > b

11. Ejercicios • Demostración: • Si a, b, c  , demostrar que: b2c2 + c2a2+a2b2 abc ( a + b + c ) Como ( a  b )2  0 -------> a2 + b2  2ab Como ( b  c )2  0 -------> b2 + c2  2bc Como ( c  a )2  0 -------> c2 + a2  2ca a2 + b2  2ab /  c2 b2 + c2  2bc /  a2 c2 + a2  2ca /  b2 ( a2 + b2 ) c2  2abc2 ( b2 + c2 ) a2  2bca2 ( c2 + a2 ) b2  2cab2 b2a2 + c2a2  2bca2 c2b2 + a2b2  2cab2 a2c2 + b2c2  2abc2 a2c2 + b2c2 + b2a2 + c2a2 + c2b2 + a2b2  2abc2 + 2bca2 + 2cab2 2 a2c2 + 2b2c2 + 2c2a2  2abc2 + 2bca2+ 2cab2 2 (b2c2 + c2a2 + a2b2 ) 2bca ( a+ b+ c ) b2c2 + c2a2 + a2b2  abc ( a+ b+ c )

12. Ejercicios Demuestre que : Se busca el mínimo común denominador que es el mínimo común múltiplo bc ( b + c ) + ac (a + c ) + ab ( a + b ) + 2abc Se desarrolla el numerador b2c + bc2 + a2c + ac2 + a2b + ab2 + 2abc Se desarrolla el denominador b2 c + bc2 + a2 c + ac2 + a2b + ab2 + 2abc