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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE. 4ª Semana Matemática Introdução a Programação no MATLAB. Currículo Resumido. 2003.1 - Graduando em Engenharia Elétrica; 2004.1 a 2006.2 - Monitor de Cálculo 1 pelo DME; 2007 – Membro do Projeto Olhos Digitais;

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
universidade federal de campina grande

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE

4ª Semana Matemática

Introdução a Programação no MATLAB

Galdino, J.F

curr culo resumido
Currículo Resumido

2003.1 - Graduando em Engenharia Elétrica;

2004.1 a 2006.2 - Monitor de Cálculo 1 pelo DME;

2007 – Membro do Projeto Olhos Digitais;

2007 – Participação no IV Encontro de Extensão da UFCG

(Atual) - Monitor Voluntário do Laboratório de Princípios de Comunicações;

(Atual) – Professor Voluntário de Matemática do

PVS (Pré Vestibular Solidário) 2007.

E-mail: josenildofg@gmail.com

sum rio
Sumário
  • Introdução ao MATLAB
  • Estruturas de Controle
  • Arquivos de Comando M-File
  • Funções de Entrada e Saída
  • Introdução a Funções MATLAB
  • Toolboxes
  • Toolbox de Matemática Simbólica
  • Programas em MATLAB
introdu o ao matlab
Introdução ao MATLAB
  • MATLAB(MATrix LABoratory): Programa de computador especializado e otimizado para cálculos científicos e de engenharia.
  • Surgiu em 1970 com o intuito de auxiliar os cursos de Teoria Matricial, Álgebra Linear e Analise Numérica.
introdu o ao matlab1
Introdução ao MATLAB
  • Vantagens
    • Facilidade de Uso
    • Independência de Plataforma
    • Funções Predefinidas
    • Interface Gráfica de Usuário
    • Compilador MATLAB
  • Desvantagens
    • Linguagem Interpretada
    • Custo
slide7

Navegador de Ajuda

Espaço de Lançamento

Janela de Comandos MATLAB

Navegador de Diretório Corrente

Janela de Histórico de Comandos

introdu o ao matlab2
Introdução ao Matlab
  • Informação do Sistema:

>>computer

>>version

>>ver

>>license

introdu o ao matlab5
Introdução ao Matlab
  • Comandos básicos:

>>who -- Lista as variáveis.

>>whos -- Lista e especifica as variáveis.

>>clc -- Limpa a Janela de Comandos.

>>clf -- Limpa figura atual

>>clear -- Deleta variáveis do workspace MATLAB.

>>help -- Ajuda do Matlab, documentação.

>>help elfun – Lista funções do MATLAB

operadores aritm ticos
Operadores Aritméticos

Forma Geral: A op B

+ Soma Estrutural e Matricial

- Subtração Estrutural e Matricial

* Multiplicação Matricial

/ Divisão Matricial à Direita

\ Divisão Matricial à Esquerda

^ Expoente Matricial

‘ Operador de Transposição

operadores aritm ticos2
Operadores Aritméticos
  • A + B

0 2

2 2

  • A – B

2 -2

2 0

  • A + C

Operação ilegal

  • A + D

6 5

7 6

operadores aritm ticos3
Operadores Aritméticos
  • A * B

-1 2

2 5

  • A * C

3

8

  • A .* B

-1 0

0 1

  • A .* C

Operação ilegal

operadores aritm ticos4
Operadores Aritméticos
  • A / B

-1 2

-2 5

  • A \ B

-1 2

2 -3

  • A ./ B

-1 0

Inf 1

  • A .\ B

-1 Inf

0 1

operadores relacionais
Operadores Relacionais
  • Forma geral

A op B

A e B: Operandos.

Pode ser uma matriz,

um escalar ou uma

cadeia de caracteres.

Op: Operador

operadores relacionais1
Operadores Relacionais
  • Os operadores <, <=, > e >= são usados para comparar a parte real dos operandos.
  • Os operadores == e ~= são usados para comparar a partereale imaginária dos operandos.
operadores relacionais2
Operadores Relacionais

ExpressãoResultado

5 > 3 1

´AC’ > ‘BA´ 0 1

a > b 1 0

1 + j <= 2 + 3*j 1

x >= [3 8] 1 0

a > c 0 1

2 + j == 1+ j 0

5 + j ~= 2 + j 1

a = [2 1] b = [ 1 1 ] c = [ 0 2 ] x = [ 4 2]

operadores l gicos
Operadores Lógicos

Operação Lógica Binária Operação Lógica Unária

A op B opA

operadores l gicos1
Operadores Lógicos
  • O MATLAB utiliza a lógica positiva, ou seja, assume-se o valor verdadeiro se ele for diferente de zero e falso se ele for igual a zero.
operadores l gicos2
Operadores Lógicos
  • Tabela da Verdade para Operadores Lógicos
preced ncia dos operadores
Precedência dos operadores
  • Os operadores aritméticos são avaliados primeiro.
  • Os operadores relacionais são avaliados da esquerda para a direita.
  • Todos os operadores ~ são avaliados.
  • Todos os operadores & são avaliados.
  • Todos os operadores I são avaliados.

OBS: Sempre use parênteses para indicar a ordem correta desejada de avaliação de uma expressão.

operadores l gicos3
Operadores Lógicos

Expressão Resultado

~A 0

A l B 1

B l C 1

3 > 4 & 1 0

3 > (4 & 1) 1

~C 0

A l B & C 1

A & C 1

B & C 0

A = 1, B = 0 e C = -10

operadores l gicos exerc cios
Operadores Lógicos -Exercícios

Expressão

~A

A l B

B l C

3 > 4 & 1

3 > (4 & 1)

~C

A l B & C

A & C

B & C

Resultado

0

1

1

0

1

0

1

1

0

estruturas de controle
Estruturas de Controle
  • Controle de Fluxo

O controle de fluxo é um recurso que permite que resultados

anteriores influenciem operações futuras. Como em outras

linguagens, o MatLab possui recursos que permitem o controle

de fluxo de execução de comandos, com base em estruturas

de tomada de decisões.

Será apresentado as seguintes estruturas de controle:

    • if
    • if-else
    • switch
    • while
    • for
estruturas de controle1
Estruturas de Controle
  • Simbologia

Inicio e fim de uma estrutura de uma controle

Símbolo de decisão

Indica que ações serão executadas

estruturas de controle2
Estruturas de Controle
  • Algoritmo

Série de ações executadas em uma ordem especifica.

  • Pseudocódigo
    • Linguagem artificial e informal de representar o código de um programa.
    • Útil para desenvolver algoritmos que serão convertidos em programas estruturados no Matlab.
estruturas de controle3
Estruturas de Controle

if

Estrutura de seleção para escolha de cursos

de ação específicos.

A estrutura de seleção if executa uma ação

indicada só quando a condição é true

(Verdadeira); caso contrário, a ação é saltada.

estruturas de controle4
Estruturas de Controle

if

Testa a condição

Verdadeira

Condição

Executa uma ação

Falsa

estruturas de controle5
Estruturas de Controle
  • Pseudocódigo

Se a nota do estudante for maior ou igual que 7.0

Imprima “Aprovado”

  • Código no Matlab

ifnota >= 7

fprintf(‘Aprovado’);

end

estruturas de controle6
Estruturas de Controle

If-else

Testa a condição

Verdadeira

Falsa

Condição

Executa uma ação

Executa uma ação

estruturas de controle7
Estruturas de Controle
  • Pseudocódigo

Se a nota do estudante for maior ou igual que 7.0

Imprima “Aprovado”

senão

Imprima “Reprovado”

  • Código no Matlab

ifnota >= 7

fprintf(‘Aprovado’);

else

fprintf(‘Reprovado’);

end

estruturas de controle8
Estruturas de controle

Laços são construções MATLAB que nos permitem executar uma sequência de declarações mais de uma vez.

Existem dois tipos de laços:

  • while
  • for
estruturas de controle9
Estruturas de controle

while: é um bloco de declarações que se repete indefinidamente, enquanto uma condição for satisfeita.

A forma geral do while é:

while expressão

...

... Bloco de código

...

end

estruturas de controle10
Estruturas de Controle

while

Testa a condição

Verdadeira

Condição

Executa uma ação

Falsa

estruturas de controle11
Estruturas de Controle
  • switch
    • Estrutura de seleção múltipla.
    • Consiste de uma série de rótulos case e um

otherwise.

estrutura de controle
Estrutura de Controle

Verdadeiro

Ação(ões) do case a

Case (‘a’)

Falso

Case (‘b’)

Verdadeiro

Ação(ões) do case b

Falso

.

.

Falso

Otherwise

estruturas de controle12
Estruturas de Controle
  • Laço for : Executa um bloco de declarações durante um número especificado de vezes.

for indice = expressão

Declaração 1

.... Corpo

Declaração n

end

estrutura de controle1
Estrutura de Controle

n: número de iterações do laço for

cont: variável de controle

cont = 1

Inicialização da variável de controle

cont = 2

cont = 3

Verdadeiro

cont <= n

Corpo do laço

cont = cont + 1

Falso

estruturas de controle13
Estruturas de Controle
  • Exemplo: Calcular a soma dos 10 primeiros inteiros.

soma = 0; % Inicializa a variável soma com zero

for k = 1:10

soma = soma + k;

end

fprintf('A soma dos dez primeiros inteiros eh: %.2f', soma);

estruturas de controle14
Estruturas de Controle
  • Exemplo: Calcular o fatorial de um número n.

n = 5;

fatorial = 1; % Inicializa a variável soma com zero

for k = 1:n % Laço de repetição: n vezes

fatorial = fatorial*k; % Cálculo do fatorial

end

fprintf(‘O fatorial de %.2f eh %.2f', n, fatorial);

estruturas de controle15
Estruturas de Controle
  • Exemplo: Calcular a soma dos 5 primeiros inteiros impares.

soma = 0; % Inicializa a variável soma com zero

for k = 1:2:9

soma = soma + k;

end

fprintf('A soma dos 5 primeiros inteiros impares eh: %.2f', soma);

estruturas de controle16
Estruturas de Controle

for X while

  • while: utilizado para repetir um trecho de código quando não é desconhecido o número de iterações do laço.
  • for: utilizado para repetir um trecho de código quando é conhecido o número de iterações do laço.
estruturas de controle17
Estruturas de Controle
  • Break
    • Usada para controlar a operação dos laços for e while
    • Encerra a execução do laço e passa o controle para a próxima declaração logo após o fim do laço.
estruturas de controle18
Estruturas de Controle

% Uso do break

for k = 1:5

if k == 3;

break;

end

fprintf(‘k = %d\n’, k);

end

disp(‘Fim do laço!’);

estruturas de controle19
Estruturas de Controle

k = 1

k = 2

Fim do laço!

estruturas de controle20
Estruturas de Controle
  • Continue
    • Usada para controlar a operação dos laços for e while
    • Termina a passagem corrente pelo laço e retorna o controle para o inicio do laço.
estruturas de controle21
Estruturas de Controle

% Uso do continue

for k = 1:5

if k == 3;

continue;

end

fprintf(‘k = %d\n’, k);

end

disp(‘Fim do laço!’);

estruturas de controle22
Estruturas de Controle

k = 1

k = 2

k = 4

k = 5

Fim do laço!

arquivos de comando m file
Arquivos de Comando M-File

Geralmente, utiliza-se o prompt do MATLAB para introduzir os comandos. Entretanto este procedimento simples para execução de comandos no prompt se torna altamente ineficiente quando a complexidade do problema aumenta. Em suma, podemos dizer que para problemas simples podemos usar o prompt do MATLAB e para os mais difíceis deve-se utilizar o script-file ou M-file, que é também conhecido como arquivo de comando ou arquivo M.

arquivos de comando m file1
Arquivos de Comando M-File

Erro comum de Programação: Os nomes dos arquivos de comando precisam sempre terminar com a extensão ‘.m’.

Exemplos:

programa1.m, exemplo1.m, etc.

arquivos de comando m file2
Arquivos de Comando M-File
  • Como Criar um Arquivo M (M-file)
    • Para criar um arquivo M-file, siga os seguintes passos:
    • Inicialmente, você deve abrir o programa MATLAB, dando um duplo click no ícone do MATLAB que está na área de trabalho.
    • Selecione o menu File (dê um click).
    • Selecione o item New e em seguida aponte para M-file e dê um click.
arquivos de comando m file3
Arquivos de Comando M-File

Exenplo de script-file.

% script-file: circulo.m

% Este programa calcula a área de um circulo

raio = 2.5;

area = pi*raio^2;

fprintf(‘Area do circulo = %.3f ', area);

arquivos de comando m file4
Arquivos de Comando M-File
  • Como Executar um Arquivo M (M-file)
    • Para executar um arquivo M-file no MATLAB é preciso gravar o arquivo correspondente. Para isto, selecione o item Save Workspace As do menu File. Dê preferência salvar o arquivo no diretório corrente do MATLAB, ou seja, na pasta work. Para executar o arquivo M, digite no prompt do MATLAB o nome do arquivo salvado anteriormente, sem a extensão ‘.m’. Feito isso o MATLAB gera o executável do programa.
arquivos de comando m file5
Arquivos de Comando M-File

Para exemplificar, considere o arquivo circulo.m. Digite no prompt do MATLAB o nome do arquivo circulo. Será apresentado o executável do programa.

>> circulo

Area do circulo = 19.635

arquivos de comando m file6
Arquivos de Comando M-File

Resumindo, pode-se dizer que um programa em MATLAB consiste na criação do arquivo M-file utilizando-se o editor de texto e sua respectiva chamada por linha de comando no prompt do MATLAB.

introdu o a fun es matlab
Introdução a Funções MATLAB
  • Funções Predefinidas MATLAB
    • Fornece uma enorme variedade de funções prontas para uso.
    • Funções trigonométricas, logarítmicas, raízes.
    • Funções hiperbólicas, funções de Bessel, etc.

As funções MATLAB podem devolver mais de

um resultado para o programa que as ativa.

introdu o a fun es matlab1
Introdução a Funções MATLAB
  • Uso da função max

Retorna o valor máximo de um vetor de entrada, podendo retornar a localização de onde ocorreu o máximo.

maxval = max([1 2 -4 5])

maxval = 5

[maxval index] = max([1 2 -4 5])

maxval = 5

index = 4

introdu o a fun es matlab2
Introdução a Funções MATLAB
  • Funções MATLAB com Matrizes como entrada.

x = [ 0 pi/2 pi 3*pi/2 2*pi] %Entrada

y = sin(x) %Saída

y = [ 0 1 0 -1 0] %Resultado

introdu o a fun es matlab3
Introdução a Funções MATLAB

Agora é com você!!!

x = [ 0 pi/2 pi 3*pi/2 2*pi]

y = cos(x)

introdu o a fun es matlab4
Introdução a Funções MATLAB

Agora é com você!!!

Calcule os valores de sin x, cos x e tan x, para x = 30º, 45º e 60º.

introdu o a fun es matlab5
Introdução a Funções MATLAB
  • Funções Elementares
introdu o a fun es matlab6
Introdução a Funções MATLAB
  • Funções Definidas pelo usuário.

function [outarg1, outarg2, ...] = fname(inarg1, inarg2, ...)

% H1 comentário

% Mais um comentário

...

(Código executável)

...

(return)

introdu o a fun es matlab7
Introdução a Funções MATLAB

y

B

yb

d

A

C

ya

x

xa

xb

D: distancia entre os pontos A e B

introdu o a fun es matlab8
Introdução a Funções MATLAB

function [resultado] = distancia2(xa,ya,xb,yb)

% DISTANCIA2 Calcula a distancia entre dois pontos

% Function DISTANCIA2 calcula a distancia entre dois pontos

% A(xa,ya) e B(xb,yb) no sistema de coordenadas cartesiano.

%

% Chamada a função

%

% res = distancia2(xa, ya, xb, yb)

%

% Definiçao das variaveis

% xa: abscissa do ponto A

% ya: ordenada do ponto A

% xb: abscissa do ponto B

% yb: ordenada do ponto B

% resultado: Distancia entre os pontos A e B.

introdu o a fun es matlab9
Introdução a Funções MATLAB

% OBSERVAÇOES

% Data Programador Descriçao

% 05/10/07 Josenildo F. Galdino Codigo Original

% Calculo da distancia

resultado = sqrt((xb - xa).^2 + (yb - ya).^2)

introdu o a fun es matlab10
Introdução a Funções MATLAB

Uso da função distancia2.

% Script file: teste_distancia2.m

% Este programa testa a funçao distancia2

% Data Programador Descriçao

% 05/10/07 Josenildo F. Galdino Codigo Original

% Definiçao das variaveis:

% xa: abscissa do ponto A

% ya: ordenada do ponto A

% xb: abscissa do ponto B

% yb: ordenada do ponto B

% resultado: distancia entre os dois pontos A e B.

introdu o a fun es matlab11
Introdução a Funções MATLAB

% Dados fornecidos pelo usuario

disp('Calcule a distancia entre os pontos A e B');

xa = input('Forneca a abscissa do ponto A: ');

ya = input('Forneca a ordenada do ponto A: ');

xb = input('Forneca a abscissa do ponto B: ');

yb = input('Forneca a ordenada do ponto B: ');

% Uso da funçao definida pelo programador

resultado = distancia2(xa, ya, xb, yb); % Chamada a funçao.

% Exibiçao do resultado

fprintf('A distancia entre os pontos A e B e %f\n', resultado);

introdu o a fun es matlab12
Introdução a Funções MATLAB

>> teste_distancia2

Calcule a distancia entre os pontos A e B

Forneca a abscissa do ponto A: 1

Forneca a ordenada do ponto A: 1

Forneca a abscissa do ponto B: 2

Forneca a ordenada do ponto B: 2

resultado =

1.4142

A distancia entre os pontos A e B e 1.414214

>>

toolboxes
Toolboxes
  • Statistics Toolbox
  • Symbolic Math Toolbox
  • Partial Diferrential Equation Toolbox
  • Curve Fitting Toolbox
  • Signal Processing Toolbox
  • Control System Toolbox
  • Communication Toolbox
symbolic math toolbox
Symbolic Math Toolbox
  • O Toolbox de Matemática Simbólica disponibiliza uma coleção de diversas funções do MATLAB utilizadas para calcular operações básicas, tais como: derivadas, limites, integrais, expansão da serie de Taylor, e outras operações. A manipulação simbólica no MATLAB pode ser vista como uma evolução do modo como você utiliza o MATLAB para processar números.
symbolic math toolbox1
Symbolic Math Toolbox
  • A grande vantagem de se utilizar tal processo é que podemos obter resultados mais exatos, eliminando-se assim a imprecisão introduzida pelos valores numéricos. Podemos resolver derivadas, integrais, equações diferenciais e algébricas utilizando-se esta poderosa ferramenta.
symbolic math toolbox2
Symbolic Math Toolbox

EXPRESSÕES SIMBÓLICAS

Deve-se entender por Expressão simbólica as expressões que contêm objetos simbólicos que podem representar números, funções e operações e variáveis.

Dica: As variáveis simbólicas não precisam de um valor numérico. Esta variável simbólica representa apenas um símbolo de uma expressão simbólica.

symbolic math toolbox3
Symbolic Math Toolbox

EXPRESSÕES SIMBÓLICAS

Exemplos:

symbolic math toolbox4
Symbolic Math Toolbox

O MATLAB disponibiliza várias funções que trabalham com funções polinomiais e que podem ser utilizadas para representar funções polinomiais. Dentre elas, encontram-se as seguintes funções:

  • collect
  • expand
  • factor
  • simplify
  • simple
symbolic math toolbox5
Symbolic Math Toolbox

collect

Organiza os coeficientes

  • Sintaxe

collect( f )

mostra um polinômio f em sua variável simbólica, seja x, e

organiza todos os coeficientes com a mesma potência de x.

Um segundo argumento pode especificar a variável que se deve

organizar se houver mais de uma variável simbólica possível.

symbolic math toolbox6
Symbolic Math Toolbox

collect(f)

1) Escreva a função y = (x+1)^3 na forma polinomial

>> clear %Limpa a Janela de Comandos

>> x = sym('x'); %Define a variavel simbolica “x”

>> y = (x + 1)^3; %Define a função y = f(x)

>> collect(y); %Organiza os coeficientes

>> pretty(ans) %Exibe o resultado

x3 + 3x2 + 3x + 1

symbolic math toolbox7
Symbolic Math Toolbox

Agora é com você!!!

Escreva a função y = (x + 1)(x + 2) na forma

polinomial.

symbolic math toolbox8
Symbolic Math Toolbox
  • collect( f, nome da variável simbólica)

A função collect neste caso aceita um segundo argumento que especifica que variável simbólica deve ser utilizada para organizar o polinômio.

symbolic math toolbox9
Symbolic Math Toolbox

collect(f, nome da variável simbólica)

2) Escreva a função f(x,z) = (x + 1)^3 + z na forma polinomial.

>> x = sym('x'); %Define a variável simbólica x

>> z = sym(‘z’); %Define a variável simbólica z

>> y = (x +1)^3 + z; %Define a função y = f(x,z)

>> collect(y,x); %Organiza os coeficientes em x

>> pretty(ans) %Exibe o resultado

x3 + 3 x2 + 3 x + 1 + z

symbolic math toolbox10
Symbolic Math Toolbox

Agora é com você!!!

Escreva a função y = (x + 1)^3 + (z + 1)^2

na forma polinomial, em termos de z.

symbolic math toolbox11
Symbolic Math Toolbox
  • expand

realiza a distribuição de produtos para polinômios

e aplica outras identidades que envolvem funções

de somas, identidades trigonométricas, exponenciais

e logaritmos.

Sintaxe

  • expand( f )
symbolic math toolbox12
Symbolic Math Toolbox

expand(f)

3) Escreva a função y = (x+1)^3 na forma polinomial

>> clear %Limpa a Janela de Comandos

>> x = sym('x'); %Define a variavel simbolica “x”

>> y = (x + 1)^3; %Define a função y = f(x)

>> expand(y); %Realiza o produto polinomial

>> pretty(ans) %Exibe o resultado

x3 + 3x2 + 3x + 1

symbolic math toolbox13
Symbolic Math Toolbox

expand X collect

Além de representar funções polinomiais a função é bastante útil na manipulação de expressões simbólicas trigonométricas, exponenciais, hiperbólicas, entre outras funções. Esta é uma das características marcantes que diferenciam a função expand da collect. A função expand é bem mais robusta, porque trabalha com muitos tipos de funções, enquanto a função collect é restrita apenas a funções polinomiais. Podemos, dizer que a função expand é uma evolução da função collect, agregando-se novas funcionalidades.

symbolic math toolbox14
Symbolic Math Toolbox

expand

4) Obtenha a forma expandida da função trigonométrica cos(x + y).

x = sym(‘x’); %Cria a variável simbólica x.

y = sym(‘y’); %Cria a variável simbólica y.

expand(cos(x+y)) %Realiza a operação

ans = %Variável padrão do matlab

cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y) %Resultado

symbolic math toolbox15
Symbolic Math Toolbox

Agora é com você!!!

Obtenha a forma expandida da função exponencial exp(x + y).

symbolic math toolbox16
Symbolic Math Toolbox

Factor

Fatoração

  • Sintaxe

factor(X)

Esta função obtém a forma fatorada de um polinômio. Na sintaxe da função X, pode ser apenas a expressão simbólica. Ou um array simbólico contendo vários expressões simbólicas. No caso de utilizar um array, a função factor retorna um array com as expressões simbólicas correspondentes.

symbolic math toolbox17
Symbolic Math Toolbox
  • Uso da Função factor
    • Calcular os fatores primos de um número inteiro.
    • Obter a forma polinomial fatorada.
    • Simplificar expressões simbólicas.
symbolic math toolbox18
Symbolic Math Toolbox

Factor(x)

5) Calcule os fatores dos seguintes números 15 e 50.

>> factor(15)

ans =

3 5

>> factor(50)

ans =

2 5 5

symbolic math toolbox19
Symbolic Math Toolbox

Factor

  • Observação:

O maior valor inteiro que a função factor aceita é um numero inteiro de até 16 dígitos, se o número tiver uma quantidade de dígitos superior a 16. Devemos usar o sym para criar um elemento.

symbolic math toolbox20
Symbolic Math Toolbox

Factor(x)

5) Calcule os fatores do número

>> factor(15)

ans =

3 5

>> factor(50)

ans =

2 5 5

symbolic math toolbox21
Symbolic Math Toolbox

Factor(x)

5) Calcule os fatores do número 12345678901234567890

>> factor(sym('12345678901234567890'))

ans =

(2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)

symbolic math toolbox22
Symbolic Math Toolbox

6) Obtenha a forma fatorada da equação

y = x^3 +3*x^2 + 3*x + 1

>> x = sym('x'); %Cria a variável simbólica x.

>> y = x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1 %Define a função y = f(x)

>> factor(y); %Fatoração

>> pretty(ans) %Exibe o resultado

(x + 1)^3

symbolic math toolbox23
Symbolic Math Toolbox

Agora é com você!!!

Obtenha a forma fatorada da equação

y = x^2 + 3*x + 2

symbolic math toolbox24
Symbolic Math Toolbox

Simplify

Simplificação simbólica.

  • Sintaxe:

R = simplify(S)

A função simplify é uma ferramenta poderosa, que em geral aplica várias identidades algébricas que envolvem somas, potência inteira, raízes quadradas e potência fracionária, como também vários identidades que envolvem funções trigonométricas, exponencial e funções de Bessel, função gama, etc.

symbolic math toolbox25
Symbolic Math Toolbox

7) Simplifique a seguinte expressão:

>> x = sym('x'); %Cria a variável simbólica x.

>> y = (x^3 + 8)/(x^4 - 16); %Define a função y = f(x)

>> simplify(y); %Simplificação simbólica

>> pretty(ans) %Exibe o resultado

x^2 - 2x + 4

-------------------

x^3 - 2x^2 + 4x - 8

symbolic math toolbox26
Symbolic Math Toolbox

Agora é com você!!!

Simplifique a seguinte expressão:

symbolic math toolbox27
Symbolic Math Toolbox

8) Simplifique a seguinte expressão

>> x = sym(‘x’); %Cria a variável simbólica x.

>> y = cos(x)^2 + sin(x)^2; %Define a função y = f(x)

>> simplify(y); %Simplificação simbólica

>> pretty(ans) %Exibe o resultado

1

symbolic math toolbox28
Symbolic Math Toolbox

9) Simplifique a seguinte expressão:

>> syms x y positive %Cria as variáveis simbólicas x e y, ambas positivas.

>> simplify(log(x*y)); %Simplificação simbólica

>> pretty(ans) %Exibe o resultado

log(x) + log(y)

symbolic math toolbox29
Symbolic Math Toolbox

Simple

Busca a forma mais simplificada para a expressão simbólica.

  • Sintaxe:

r = simple( S )

[r,how] = simple( S )

A função simple(S) tenta várias simplificações algébricas diferentes na expressão simbólica S, exibe a representação de menor comprimento para S. S é um sym. Se S for uma matriz, o resultado indica a representação mais curta da matriz inteira que necessariamente não é a representação mais curta de cada elemento individual.

symbolic math toolbox30
Symbolic Math Toolbox

10 ) Simplifique a expressão y = (x + 1)(x + 2)

>> x = sym(‘x’); %Cria a variável simbólica x.

>> simple((x+1)(x+2)) %Simplificação

ans =

x^2+3*x+2

symbolic math toolbox31
Symbolic Math Toolbox

Agora é com você!!!

Simplifique a expressão

symbolic math toolbox32
Symbolic Math Toolbox

pretty

Esta função imprime uma expressão simbólica.

  • Pretty(expressão simbólica).

A grande vantagem do uso da função pretty quando trabalha-se com matemática simbólica é que a exibição da expressão simbólica é a mais clara possível.

Dica: Ao trabalhar com matemática simbólica, sempre use a função pretty, para tornar mais legível a expressão simbólica mostrada na tela.

symbolic math toolbox34
Symbolic Math Toolbox

Limites

% ----------------------------------------------------------------------------------------

% Scripte file: limites.m

% Este programa calcula o limite de algumas funções.

% ---------------------------------------------------------------------------------------

% DESCRIÇAO

% ---------------------------------------------------------------------------------------

% DATA PROGRAMADOR DESCRIÇAO DO CODIGO

% 10/10/07 Josenildo F. Galdino Código Original

%---------------------------------------------------------------------------------------

symbolic math toolbox35
Symbolic Math Toolbox

syms x a; % Cria as variáveis simbólicas x e a.

f = 1/(x^2); % Definição da função f(x)

pretty(f); % Exibição da função

limit(f,2) % Calcula o limite quando x tende a 2.

f1 = (25*x^3 + 2)/(75*x^7 -2); % Definição da função f1(x)

pretty(f1) % Exibição da função.

limit(f1) % Calcula o limite quando x tende a 0.

symbolic math toolbox36
Symbolic Math Toolbox

f2 = (25*x^3 + 2)/(75*x^7 -2); % Definição da função f2(x)

pretty(f2) % Exibição da função

limit(f2) % Calcula o limite quando x tende a 0.

f3 = (x^2 - 2)/(x - 2); % Definição da função f3(x)

pretty(f3) % Exibição da função

limit(f3,2) % Calcula o limite quando x tende a 2.

f4 = (x^2 - a^2)/(x^2 + 2*a*x + a^2); % Definição da função f3(x)

pretty(f4) % Exibição da função

limit(f4,a) % Calcula o limite quando x tende a a.

symbolic math toolbox37
Symbolic Math Toolbox

g = sin(2*x)/x; % Definição da função g(x)

pretty(g) % Exibição da função

limit(g) % Calcula o limite quando x tende a 0.

g1 = sin(5*x)/x; % Definição da função g1(x)

pretty(g1) % Exibição da função

limit(g1) % Calcula o limite quando x tende a 0.

symbolic math toolbox38
Symbolic Math Toolbox

g2 = (sin(5*x) - sin(3*x))/x; % Definição da função g2(x)

pretty(g2) % Exibição da função

limit(g2) % Calcula o limite quando x tende a 0.

g3 = (1 - sqrt(1 - x^2))/(x^2); % Definição da função g3(x)

pretty(g3) % Exibição da função

limit(g3) % Calcula o limite quando x tende a 0.

symbolic math toolbox40
Symbolic Math Toolbox

DERIVADAS

>> syms x n; % Cria a variável simbólica x.

>> p = x^3 + 4*x^2 -7*x -10; % Define a função f(x).

>> d = diff(p) % Calcula a derivada de f(x).

d =

3*x^2+8*x-7

>> e = diff(p,2) %Calcula a 2ª derivada de f(x).

e =

6*x+8

>> f = diff(p,3) % Calcula a 3ª derivada de f(x).

f =

6

symbolic math toolbox41
Symbolic Math Toolbox

DERIVADAS

syms x n % Cria as variaveis simbólicas x e n.

>> g = x^n; % Define a função g(x).

>> h = diff(g) % Calcula a derivada de g(x).

h =

x^n*n/x

>> h = simplify(h) % Simplifica o resultado.

h =

x^(n-1)*n

symbolic math toolbox42
Symbolic Math Toolbox

DERIVADAS DE FUNÇÕESTRANSCENDENTAIS

>> syms x % Cria as variaveis simbólicas x e n.

>> f1 = log(x); % Define a função f1(x).

>> df1 = diff(f1) % Calcula a derivada de f1(x).

df1 =

1/x

>> f2 = (cos(x))^2; % Define a função f2(x).

>> df2 = diff(f2) % Calcula a derivada de f2(x).

df2 =

-2*cos(x)*sin(x)

symbolic math toolbox43
Symbolic Math Toolbox

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRANSCENDENTAIS

>> f4 = cos(2*x);

>> df4 = diff(f4)

df4 =

-2*sin(2*x)

>> f5 = exp(-(x^2)/2);

>> df5 = diff(f5)

df5 =

-x*exp(-1/2*x^2)

symbolic math toolbox44
Symbolic Math Toolbox
  • Calcule a derivada de

>> syms x; % Cria a variável simbólica x.

>> p = x/(x-1); % Define a função f(x).

>> diff(p) % Calcula a derivada de f(x).

ans =

1/(x-1)-x/(x-1)^2

>> simplify(ans) % Simplifica a expressão da derivada.

ans =

-1/(x-1)^2

>> pretty(ans) % Exibe a resposta no formato mais visivel.

1

- --------

2

(x - 1)

symbolic math toolbox45
Symbolic Math Toolbox
  • Calcule a derivada de

em x = 1, ou seja,

symbolic math toolbox46
Symbolic Math Toolbox

% Cálculo da derivada

syms x; % Cria a variável simbólica x.

p = 2 + x + x^2; % Define a função f(x).

d = diff(p); % Calcula a derivada de f(x).

pretty(d); % Exibe o resultado da derivada

% Calculo da derivada em um ponto (x = 1)

g = [2 1]; % Define o polinômio da derivada

polyval(g,1) % Calcula a derivada em x = 1

subs(d,1) % Valor da função em x = 1

symbolic math toolbox47
Symbolic Math Toolbox
  • INTEGRAIS

>> syms x n t % Cria as variáveis simbólicas x n t

>> int(x^n) % Calcula a integral de x^n

ans =

x^(n+1)/(n+1)

>> int(x^3 +4*x^2 + 7*x + 10) % Calcula da integral x^3 + 4x^2 + 7x + 10

ans =

1/4*x^4+4/3*x^3+7/2*x^2+10*x

>> int(x,1,t) % Calculo da integral de x, no intervalo [ 1, t ].

ans =

1/2*t^2-1/2

symbolic math toolbox48
Symbolic Math Toolbox

INTEGRAIS DE FUNÇÕES TRANSCENDENTAIS

>> syms x % Cria a variável simbólica x

>> int(1/x) % Calcula a integral de f(x) = 1/x.

ans =

log(x)

>> int(cos(x)) % Calcula a integral de f(x) = cos (x)

ans =

sin(x)

>> int(1/(1+x^2)) % Calcula a integral de f(x) = 1/(1 + x^2)

ans =

atan(x)

>> int(exp(-x^2)) % Calcula a integral de f(x) = exp(-x^2)

ans =

1/2*pi^(1/2)*erf(x)

programas em matlab
Programas em MATLAB
  • Resolver a equação quadrática
programas em matlab1
Programas em MATLAB

% -----------------------------------------------------------------------------------------

% Scripte file: quadratica.m

% Este programa calcula as raizes da equaçao quadratica, sendo

% fornecidos pelo usuario os coeficientes a, b e c da equaçao

% a*x^2 + b*x + c = 0

% ---------------------------------------------------------------------------------------

% DESCRIÇAO

% ---------------------------------------------------------------------------------------

% DATA PROGRAMADOR DESCRIÇAO DO CODIGO

% 10/10/07 Josenildo F. Galdino Código Original

%---------------------------------------------------------------------------------------

programas em matlab2
Programas em MATLAB

% DEFINIÇAO DAS VARIAVEIS

% a - coeficiente do termo x^2

% b - coeficiente do termo x

% c - coeficiente do termo x^0 ou termo independente.

% x1 - raiz da equação quadrática

% x2 - raiz da equação quadrática

% m - variável intermediaria

% n - variável intermediaria

programas em matlab3
Programas em MATLAB

clc; % Limpa a area de trabalho.

% Obtenção dos parâmetros

disp('Forneca os coeficientes da equaçao quadratica');

a = input('\nForneca o coeficiente a: ');

b = input('Forneça o coeficiente b: ');

c = input('Forneca o coeficiente c: ');

x = linspace(-12,12,300); % Gera 300 pontos entre -12 e 12.

y = a*x.^2 + b*x + c; % Definição da função y = f(x)

programas em matlab4
Programas em MATLAB

% Cálculo das raízes

m = -b/(2*a);

n = sqrt(b^2 - 4*a*c)/(2*a);

fprintf('\nAs raizes da equacao quadratica sao:')

x1 = m + n

x2 = m - n

fprintf('\n');

programas em matlab5
Programas em MATLAB

% Exibição do gráfico

plot(x,y); % Gráfico em 2-D.

title('\bf\itEquaçao Quadratica'); % Titulo do gráfico

xlabel('\bf\itx'); % Eixo horizontal

ylabel('\bf\ity'); % Eixo vertical

programas em matlab6
Programas em MATLAB

Forneca os coeficientes da equaçao quadratica

Forneca o coeficiente a: 2

Forneça o coeficiente b: 10

Forneca o coeficiente c: 12

As raizes da equaçao quadratica sao:

x1 =

-2

x2 =

-3

anima o
ANIMAÇÃO
  • Demonstração

Script-file: animacao.m

anima o1
ANIMAÇÃO
  • Demonstração

Script-file: animacao1.m

anima o2
ANIMAÇÃO
  • Demonstração

Script-file: animacao2.m