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ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur

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ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur. la méthode des moindres carrés Le point de vue numérique (factorisation QR). Approximation/interpollation: moindres carrés. f ( x ). y i. x i. Posons le problème matriciellement. Posons le problème matriciellement. Xa = f. =.

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Presentation Transcript
asi 3 m thodes num riques pour l ing nieur

ASI 3Méthodes numériquespour l’ingénieur

la méthode des moindres carrés

Le point de vue numérique (factorisation QR)

approximation au sens des moindres carr s
Approximation au sens des moindres carrés

Système linéaire de k équations et k inconnues

approximation version matricielle
Approximation : version matricielle

Erreur

d’approximation

Système linéaire de k équations et k inconnues

approximation version matricielle7
Approximation : version matricielle

Erreur

d’approximation

Matrice de Vandermonde

(1735-1796)

Système linéaire de k équations et k inconnues

forme quadratique
Forme quadratique

Équations normales

point de vue alg brique g om trique
Point de vue algèbrique (géométrique)

X représente une application linéaire de Rp sur Rn

Projection de y (les résultats des expériences)

sur le sous espace vectoriel engendré par X (les données)

y

0

comment r soudre le probl me des moindres carr es
Comment résoudre le problème des moindres carrées ?

Rang(X’X) = Rang(X) = 3

cond(X’X) = cond(X)*cond(X)

Il faut mieux travailler sur X que sur X’X … si possible !

un principe deux id es
Un principe, deux idées

Matrice

orthogonale

Orthogonalisation de Schmidt

Orthogonalisation de Householder

X

1p

Car H orthogonale

R

0

1

n

1

n

X

G

H

R

0

base orthogonale schmidt

R

Base orthogonale (Schmidt)

0

G

X

Fonction x = mmc(A,b)

G,R = decompose(A)

x = triang(R,G’b)

d compose x gr

R

Décompose : X=GR

0

Théorème :

dans tout espace vectoriel

de dimension finie,

il existe des bases orthogonales

G

X

{

d compose x gr14
Décompose : X=GR

Fonction G,R = décompose(A)

Problème d’accumulation d’erreurs d’arrondi

la m thode qr
La méthode QR

Il est si facile le résoudre un système « triangulaire » !

Q « facilement »  inversible et R triangulaire

Définition : on appelle matrice de Householder du vecteur normé u

une matrice H de la forme suivante

Propriété : une matrice de Householder est symétrique et orthogonale

HTH=I

Les transformations orthogonales « conservent » la norme

orthogonalisation x qr

R

Orthogonalisation : X = QR

0

Q

X

Transformation de Householder

Définir H

transformation de householder19
Transformation de Householder

Théorème : pour tout vecteur normé x, pour le vecteur unitaire e1

il existeune matrice H telle que : Hx=e1

Démonstration : posons

qr algorithme de householder
QR : algorithme de Householder

k premières

lignes de R

Diag(R)

  • Rangement des variables
  • produit des H : (si besoin)
  • à la fin en commençant par le plus simple
  • formules à l’étape k

Partie

non encore

factorisée

n

p

l algorithme qr
L’algorithme QR

Fonction Q,R = décomposeQR(X)

retour des moindres carr es la m thode qr
Retour des moindres carréesla méthode QR

Mise en œuvre : on calcule directement Q’b

pendant la décomposition

remarques
Remarques

MMC sans Q

R=chol(A’A)

Si on ajoute ou on enlève une variable Q et R changent « peu »

matlab
Matlab

ATTENTION : cette semaine il faut un compte rendu par binôme

unCR est une page recto verso : recto ce que vous avez fait, verso : ce que vous en pensez !