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Mais algumas propriedades:

Mais algumas propriedades:. 3.4.9. Teorema da convolução no Domínio Z. 3.4.10. Teorema de Parseval. Forma Geral:. P/ x 1 [n]=x 2 [n] sinal real. Energia do sinal pode ser calculada tanto no domínio n quanto no domínio Z. 3.4.11. Teorema do Valor Final. Seja: x[n]=0, n<0.

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Presentation Transcript

  1. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Mais algumas propriedades: 3.4.9. Teorema da convolução no Domínio Z

  2. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 3.4.10. Teorema de Parseval Forma Geral: P/ x1[n]=x2[n] sinal real Energia do sinal pode ser calculada tanto no domínio n quanto no domínio Z

  3. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 3.4.11. Teorema do Valor Final Seja: x[n]=0, n<0 3.4.12. Somatório Ex.: [n] 3.4.13. Sinais Periódicos

  4. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR x[n] h[n] y[n] Y(z)=X(z).H(z) X(z) H(z) 5. Análise de Sistemas LTIAtravés da Transformada Z Seja um sistema discreto LTI: h[n]: Resposta ao impulso do sistema H(z): Resposta em frequência do sistema p/ z=ej Função de Transferência

  5. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 5.1. Resposta em Frequênciade Sistemas LTI Transformada de Fourier p/ Sinais Discretos (DTFT)  Resposta em Frequência Função complexa:

  6. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 5.1.1. Filtros Seletivos Ideais Passa-Baixas ideal: Vimos que: Passa-Altas ideal:

  7. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Observações: • Filtros Não-Causais: • Logo irrealizáveis computacionalmente • Fase nula!

  8. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 5.1.2. Distorção de Fase e Atraso Considere o sistema de atraso ideal: c/ resposta em frequência: Notação polar: Visto que esta distorção linear de fase causa apenas um atraso do sinal, podemos considera-la como ideal, isto é, o sinal não é distorcido, mas sim apenas atrasado.

  9. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Logo podemos considerar o Passa-baixas ideal como: E sua resposta ao impulso: O mesmo pode ser feito para outros filtros ideais. Note: Por maior que seja nd será sempre um filtro não-causal.

  10. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Medida conveniente da linearidade da fase é o Atraso de Grupo. Definido por: Isto é: o atraso de grupo pode ser visto como – derivada da fase de uma H(). Fase contínua. Atraso de grupo ideal: Constante

  11. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.: Dado o Sistema:

  12. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR E o sinal de entrada:

  13. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR

  14. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 5.2. Função de Transferência para sistemas Caracterizados por EDCC Dado o sistema LTI caracterizado pela EDCC: Calculando a Transformada Z de ambos os lados:

  15. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR

  16. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR E a ROC??? Depende da causalidade do sistema

  17. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex:

  18. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 5.2.1. Estabilidade e Causalidade • Se o sistema é Estável a ROC de H(z) deve conter • a circunferência unitária, p/ que exista a H() e • por conseguinte, h[n] seja absolutamente somável. • Se o sistema é Causal a ROC deve ser a região • fora do circulo definido pelo maior pólo.

  19. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Im{z} Im{z} z z Im{z} Im{z} z z -1 -1 1 1 Re{z} Re{z} 1 -1 1 -1 Re{z}

  20. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR y[n] h[n] hi[n] x[n] x[n] 5.2.2. Sistema Inverso Hi(z) é inverso de H(z) se: Logo: Pólos de H(z) são zeros de Hi(z) Zeros de H(z) são polos de Hi(z)

  21. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Conclusões: Um sistema Estável Causal H(z) terá um sistema Inverso Hi(z) Estável e Causal se e somente se os pólos E zeros de H(z) estiverem no interior do circulo unitário. Chamados SISTEMAS DE FASE MÍNIMA

  22. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 5.2.3. Resposta ao Impulso para Funções de Transferência Racionais Dado: H(z) racional: Podemos expandi-la em frações parciais em z-1 p/ pólos simples e H(z) causal:

  23. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Primeiro caso: Se existir pelo menos um dk com coeficiente Ak não nulo Teremos que h[n] terá duração infinita. Logo o sistema será do tipo IIR (Infinite Impulse Response) Isto é, se H(z) tiver pelo menos um pólo fora da origem (z=0) o sistema será IIR.

  24. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Segundo caso: Se todos os pólos da H(z) estiverem na origem, Isto é, h[n] será na forma: h[n] terá duração finita M. Logo o Sistema será do tipo FIR (Finite Impulse Response) Saída y[n] pode ser calculada como: Convolução com os coeficientes da H(z)

  25. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 5.3. Resposta em Frequência de funções de Transferências Racionais Se um sistema LTI estável tem uma função H(z) racional, Então sua resposta em frequência pode ser calculada como:

  26. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Observações: Módulo: Módulo em dB: Diagrama de Bode Fase: Cuidar que geralmente a função arctan(x) retorna Apenas o valor principal, isto é, entre [-,], fica parecendo que a fase possui descontinuidades.

  27. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 5.3.1. Resposta em Frequência de um Pólo e Zero Simples Revisão: Soma de Vetores: Subtração de Vetores

  28. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.1: Método Analítico: Assim:

  29. Matlab: Funções bodez.m e tf.m TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR

  30. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Método Gráfico: Z  -1 1 Neste caso: 0.5

  31. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Fase: Z  Neste caso: -1 1 0.5

  32. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Z  -1 1 -0.5 Ex.2:

  33. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Generalizando:

  34. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Z  -1 1 Ex.3: Zeros: -1 e 1 Polos: 0.8/3 60°

  35. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.5.10: IIR 3ª ordem

  36. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 5.5. Sistemas Passa-tudo

  37. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 5.6. Sistemas de Fase Mínima 5.6.1. Qualquer função H(z) racional pode ser decomposta em: Isto é, uma função fase mínima cascateada com um sistema all-pass para ajuste da fase. 5.6.2. Uso de filtros all-pass em compensação da resposta em frequência de sistemas fase não-mínima (sistema inverso é instável). Hd(z) Hc(z)

  38. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 5.7. Sistemas com Fase Linear Considere o sistema atraso ideal com  Real, não necessariamente inteiro Logo: A transformada inversa é a resposta ao impulso:

  39. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Se: =nd inteiro então voltamos a: Ex.: Passa-Baixas ideal com fase linear

  40. Se  é um inteiro nd , a resposta ao impulso é simétrica em n=nd TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Porém, se 2 for um inteiro teremos simetria em relação à n=  Caso contrário o filtro terá fase Linear porém h[n] não será simétrica

  41. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 5.7.2. Fase Linear Generalizada: Condição suficiente para que um sistema tenha Fase linear: Onde 2 é um número inteiro.

  42. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 5.7.3. Sistemas c/ fase linear causais Se um sistema é causal: h[n]=0 n<0 Considerando também as condições anteriores p/ fase linear, Temos que h[n]=0 n>M Logo, o sistema é do tipo FIR com resposta ao Impulso com comprimento M+1 amostras E: Ae() Função real, par e periódica

  43. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR OU: E: Ao() Função real, impar e periódica Lembrando: Estas são condições suficientes p/ ter sistemas com fase linear. Existem sistemas com H(z) não racional que possuem fase linear e não obedecem a estas condições.

  44. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.5.17: Tipo I

  45. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.5.18: Tipo II

  46. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.5.19: Tipo III

  47. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.5.20: Tipo IV

  48. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Localização dos Zeros em sistemas FIR c/ Fase Linear Tipo I Tipo II Tipo III Tipo IV Zeros: Sobre circulo unitário Fora do circulo unitário aos pares simétricos

  49. TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Exercícios: 1) Calcule a H(z) do sistema: 2) Desenhe o diagrama de pólos e zeros da H(z) e Classifique os sistemas em FIR ou IIR

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