Fundamentos de Mecânica Ondulatória

1. Fundamentos de Mecânica Ondulatória Ondas propagantes

2. Ondas • Ondas mecânicas • precisam de um meio de propagação • Ondas Eletromagnéticas • não precisam de um meio de propagação (podem se propagar no vácuo). • Ondas Transversais • Ondas Longitudinais • Ondas uni-dimensionais • Ondas bi-dimensionais • Ondas tri-dimensionais • Ondas progressivas • Ondas estacionárias

3. Ondas transversais e longitudinais Direção do movimento

4. Ondas transversais e longitudinais Timbre: composição harmônica e decaimento Forma da frente de onda: esférica (esq.) e plana (dir.)

5. Ondas Progressivas:transversais e longitudinais Propagação de um pulso transversal e um pulso longitudinal - applet Angel Garcia – applet “ondas-descripcion” Propagação de uma onda transversal e uma onda longitudinal - applet Angel Garcia – applet “ondas-armonicas” Ondas Progressivas e MCU Geração de uma onda transversal e sua relação com o movimento circular: Norimari – applet ewave1

6. Ondas Progressivastransversais e longitudinais Qualquer ponto da corda oscila com MHS de amplitude ym ; Onda se desloca por distância igual ao comprimento de onda l (= vT) durante um período T; Ou seja v = lf = l/T = ln; Os pontos que diferem por Dx = nl oscilam em fase.

7. Ondas Transversais: Função de Onda y(x,t)=f(x,t) y’(x’, t)=f(x’,t) Sendo x’=x – vt para pulso da esquerda p/ direita y(x,t)=y’(x’,t)=f(x’) y(x,t)=f(x-vt) Se x-vt=cte vfase=dx/dt

8. Representação de uma onda transversalAmplitude x deslocamento e Amplitude x tempo Como y(x) = y(x+nl,t) a função de onda senoidal fica: y(x,t) = ym sen [(2p/l)(x -vt)] = ym sen [k(x –vt)] y(x,t) = ym sen (k x - wt +f) onde v = lf = w/k

9. Velocidade em uma onda

10. Equação de Onda Dada a função de onda y(x,t) = ym sen (k x - wt +f) Concavidade Aceleraçao ²y= -k2 ym sen(kx-wt) ²y= -w2 ym sen(kx-wt) x²t² Concavidade Positiva  Aceleraçao Positiva Concavidade Nula  Aceleraçao Nula Concavidade Negativa  Aceleraçao Negativa Temos a Equação de Onda: ²y = v2²y onde v = lf = w/k t² x²

11. Equação de Onda F1y /F = - (dy/dx)x F2y /F = (dy/dx)x+dx Fy = F1y + F2y

12. Equação de Onda ²y=²y x² F t² ²y= v²²y x² t² v² = F  v = ( F/ )1/2  Ou seja, a velocidade depende das prop. do meio. Na mudança de meio f1 = f2 V1=V2 l1 l2 Fy = F[(y/x)] (x + x) – F[(y/x)] (x) Fy = Fx[ y (x + x) – y (x ) ] 1 x x x Fy = Fx ²y x² Como Fres = mares Temos Fy = Fx ²y = x ²y x² t² ²y=F ²y t² x²

13. Energia em uma onda transversal Para propagar energia é preciso esticar a corda!!! Ou seja, é preciso realizar trabalho sobre os elementos da corda!

14. Energia Potencial W = F. L onde L = [dl – dx] L = { [(dy)2 + (dx)2]1/2 - dx } L = {dx[1 + (dy/dx)2]1/2 - dx} Em primeira aproximação (1+z)n = 1 + nz quando z << 1 L = { dx[1 + 1/2(dy/dx)2]- dx } L = { dx + [1/2(dy/dx)2]dx- dx } L = { [1/2(dy/dx)2]dx } U = -F L = -F/2 (y/x)2 dx

15. Energia Cinética e Potência K = m (y/t)2 dx P(x,t) = Fy vy = - F (y/x) (y/t) P(x,t) = m w2 y2m v cos2[kx –wt] Mostrando que a potência é um número positivo e portanto a energia está fluindo o tempo todo pela corda. Na média cos2[kx –wt] = ½ tal que Pmed = (½) m w2 y2m v QUESTÃO: Quanto vale K e U para um elemento de corda que se encontra em y(x,t) = ym?

16. Representação de uma Onda Longitudinal onda de deslocamentos = smcos(kx - t)onda de variação de pressãoΔp = Δpmsen(kx - t) onda de variação de densidade Δ r = Δ rmsen(kx - t) Propagação de uma onda transversal e uma onda longitudinal - applet Angel Garcia – applet “ondas-armonicas”

17. Ondas longitudinais Lembrando que a densidade é: r= m/V dr = - (m/V2)dV  dr = - r (dV/V) dr/r = - dV/V Sabendo que o módulo de compressibilidade volumétrica é: B = -V p/V onde B expressa a variação relativa de volume de um elemento de fluido submetido à uma variação de pressão temos: Dp = -B (dV/V) = B dr/r

18. Suponha um elemento de fluido de área A e espessura dx. Seu volume é dado por: dV = A dx Quando uma onda de variação de pressão passa pelo elemento de fluido temos que a espessura varia de dx para dx’ = dx(1+ds/dx) Tal que a densidade seja dada por: r’ = dm/A dx’ r’ = dm/[A dx(1+ds/dx)] r’ = (dm/A dx) 1/[1+ds/dx] r’ = ro 1/[1+ds/dx] Em 1a. Aprox.: (1+z)-1 = 1 –z +… r’ = ro(1-ds/dx)  Ondas longitudinais dx’ = [x + dx + s(x+dx)] – (x+s(x,t)] dx’ = dx + s(x+dx) - s(x,t) dx’ = dx [ 1+ds/dx] Dr = - ro ds/dx  Dp = -B ds/dx

19. Onda longitudinal B = -V p/V Logo a velocidade v = (B/0 )1/2 v = (gRT/M)1/2 Var << Vsólido VT=0C < VT=20C