1 / 23

Límites e continuidade

Límites e continuidade. Limites de sucesións. Limite dunha sucesión. A idea que hai detrás do concepto de límite é a seguinte: en determinadas situacións, os termos da sucesión tenden a un valor determinado:. Valores de n. Valores dos termos da sucesión. Exemplo:.

jaser
Download Presentation

Límites e continuidade

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Límites e continuidade Limites de sucesións

  2. Limite dunha sucesión A idea que hai detrás do concepto de límite é a seguinte: en determinadas situacións, os termos da sucesión tenden a un valor determinado: Valores de n Valores dos termos da sucesión Exemplo: Vemos claramente que cando n se fai moi grande, os termos da sucesión aproxímanse cada vez máis a cero. Describimos esta situación dicindo que o límite da sucesión é cero e escribimos:

  3. Analogamente, estudando os termos de A definición formal de límite é: • Que significa: • L é límite dunha sucesión an se podemos achegarnos ao valor de L con termos da sucesión tanto como queiramos . • Ou • L é o limite dunha sucesión an se podemos facer a diferenza entre algúns termos da sucesión e o valor do límite tan pequena como se queira. vemos que cada vez se achegan máis a dous, e que nunca van pasar de aí: Cando unha sucesión ten límite dicimos que converxe, ou que é unha sucesión converxente O límite é o número ao que se dirixen os termos dunha sucesión sen chegar a acadalo nunca.

  4. SUCESIÓN DIVERXENTE: O  Para a sucesión Diremos que unha sucesión diverxe cando o seu límite non existe porque os valores da sucesión fanse cada vez maiores: A táboa representa os valores de algúns termos da sucesión: Os valores tenden a números moi grandes pero negativos: Formalmente: Pode comprobarse que se fan cada vez máis grandes sen deterse na proximidade de ningún valor: neste caso escribiremos: Unha sucesión An dise que diverxe cando o seu límite é infinito: cando a sucesión de termos non se detén en ningún valor A sucesión diverxe

  5. LÍMITES DE FUNCIÓNS Límites de funcións

  6. Límites de funcións Para a función f(x) = x2- 4, A principal diferenza entre os límites de sucesións e os límites de funcións é que nas funcións non so estudamos os límites cando x se fai infinito, senón que faremos “estudios locais”: estudaremos a que valores tende a función nun entorno dun punto determinado. Vexamos algúns exemplos do que acontece nos arredores de x=2 para varias funcións. Aproximándonos a 2 desde valores superiores (maiores que 2, que se encontran no eixe á dereita do dous) observamos que os valores da función achéganse paulatinamente cada vez máis a 0, ate facerse infinitamente próximos. Aproximándonos a 2 desde valores inferiores (menores que 2, que se encontran no eixe á esquerda do dous) observamos que os valores da función achéganse paulatinamente cada vez máis a 0, ate facerse infinitamente próximos.

  7. Cando os límites a ambos lados coinciden, dicimos que existe o límite da función, que é igual a ese valor común Defínese o límite dunha función como: A función da gráfica non ten límite: pola dereita vaise a -, e pola dereita o límite é -1. Ao non coincidir os límites laterais non existe límite

  8. Cando x Tamén se estuda o límite das funcións cando o argumento (a variable dependente) tende a infinito: Cando x→-∞, a función toma valores cada vez máis próximos a 1, de maneira que: Na gráfica vemos que cando x→∞, a función toma valores cada vez máis próximos a 1, de maneira que: Defínense os límites dunha función cando a variable independente se fai infinita como: Como podemos comprobar se facemos unha táboa de valores: TEOREMA: O límite dunha función é único

  9. LIMITES E OPERACIÓNS LÍMITES E OPERACIÓNS

  10. Límites e operacións As propiedades aritméticas realizadas con sucesións e funcións permiten simplificar o cálculo de límites ao permitir descompoñelos en límites de cálculo máis sinxelo. no caso das inversas e dos cocientes, estas igualdades cumpriranse se nin as sucesións nin o límite se anulan nos denominadores, e identicamente para as funcións.

  11. A principal aplicación das propiedades dos límites é o método de cálculo destes: Indeterminacións As posibles indeterminacións que poden aparecer no cálculo dos límites son: Cocientes finitos: Cocientes infinitos: Sen tanta formalidade, para calcular un límite dunha función, substitúese na expresión da función a indeterminada polo valor ao que tende: Potencias: e ademais Que facer coas indeterminacións? Cando no cálculo dun límite obtemos como resultado unha indeterminación intentaremos eliminala simplificando a expresión, mediante métodos apropiados a cada caso. Ímolos ver con detalle. Non sempre a cousa é tan simple. En moitas ocasións aparecen operacións irresolubles que reciben o nome de indeterminacións:

  12. INDETERMINACIÓNS No caso: Exemplo: 1.- Factorízanse numerador e denominador e simplifícase a expresión: 1.- Miramos os límites laterais facendo as táboas de valores próximos a 2: 2.-Calcúlase o límite da expresión simplificada: Se iso permite calcular o límite: problema resolto. Se non, teremos que calcular os límites laterais para ver se existen, e de existir, se coinciden. En consecuencia: De onde: NON EXISTE

  13. LÍMITES INFINITOS. O infinito e as indeterminacións Límites infinitos

  14. O INFINITO E OS LÍMITES O infinito aparece no cálculo de límites: Decimos que o límite dunha función –pola dereita ou pola esquerda- cando o argumento se achega a un valor é infinito se canto máis nos achegamos ao valor do argumento máis medra o valor da función: Ou no de asíntotas: Asíntota horizontal: y = b / No exemplo: y=0 Asíntota vertical: x = a / Neste caso: No exemplo: x=1

  15. A definición na linguaxe matemática: Non ten sentido falar de Os límites laterais, aínda que ambos tomen o mesmo valor, nunca van coincidir en punto ningún. Diseentón que a función diverxe en x=a. OPERACIÓNS CO  “a” é un número real positivo. As regras para operar co infinito resúmense nos cadrosseguintes, e de forma xeral, teñenunhacertalóxica, aínda que, por veces, semellencontraditorias, en especial no caso das indeterminacións.

  16. Indeterminacións con  1.- A indeterminación Para resolver esta indeterminación sácase factor común a menor potencia nos pares consecutivos: Operamos : 2.- A indeterminación I.- Para resolver dividimos polamaior potencia do denominador, podendo darse tres casos: 1.-Grao do denominador >grao do numerador Neste caso o resultado do límite é sempre cero 2.- 2.-Grao do denominador <grao do numerador Neste caso o resultado do límite é sempre infinito:

  17. 3.-Grao do denominador =grao do numerador Cando os graos coinciden o límite é o cociente dos termos coa maior potencia: Indeterminación 1∞. Esta indeterminación aparece no cálculo de límites da forma: Os valores da sucesión tenden a estabilizar as cifras decimais. Diversos razoamentos matemáticos confirman a idea de que a sucesión anterior ten que ter un límite: este número que sería o límite desa sucesión é o número “e”. E normalmente está asociada a un número real chamado “e”, chamado “número de Euler”,ou”Constante de Neper” que xurde do cálculo de : como pode verse natáboa: A efectos de cálculo aproximaremos : e=2,72

  18. Outrassucesións que converxenao número e son: TEOREMA: Este teorema emprégase para resolver a indeterminación DEMOSTRACIÓN:

  19. Continuidade Funcións continuas e descontinuas, tipos de descontinuidades.

  20. Continuidade Función continua Unha función dise que é continua nun punto cando: 1.- Existe f(x0) 2.- Existen os limites laterais no punto e coinciden. Existindo entón límite da función, L 3.- O límite e o valor da función coinciden L= f(x0) A idea básica que queremos expresar co concepto de continuidade é a de que a serie de valores non se interrompe en x0. De forma gráfica, unha función é continua un punto se a representamos sen ter que levanta o lápis do papel. Nas gráficas podemos ver unha función continua e outra función Función descontinua en x=3

  21. DESCONTINUIDADES NAS FUNCIÓNS Unha función é descontinuanun punto se non é continua: se non se cumprealgunha das tres condicións da definición. 1.- Non se cumpre a primeira: Se a imaxe non existe é porque x0Df. Os casos máis frecuentes son: puntos nos que se anula un denominador, intervalos da recta real nos que un radicando é negativo. non existe f(0), xa que f(0)=1/0 operación que non ten ningún resultado: o cero non é un número do dominio da función: 0Df , e polo tanto esa función é discontinua no cero. A función non toma valores para os números negativos: non teñen raíz

  22. 2.-Non se cumpre a segunda que algún, ou ningún dos límites laterais exista : (que o límite lateral sexa +∞ ou -∞): A función pode non ter limite debido a: Que os límites laterais non coincidan Exemplo: Diremos entón que temos unha descontinuidade de salto infinito ou esencial Diremos que temosunhadescontinuidade de salto finito. O salto é a diferenza entre os valores dos límites laterais.

  23. 3.- Non se cumpre a 3ª: Cando os límites laterais coinciden pero o valor na función é distinto temosunha Exemplo: descontinuidade evitable. Podémola evitar redefinindo a función no punto problemático co valor dos límites laterais: sería continua en x=0.

More Related