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Filtrage de Kalman

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Filtrage de Kalman. Application au suivi des paramètres de problèmes de vision. 1/90. Cadre de l’étude. Un système physique. Distinction entre paramètres: qui modélisent le système que l’on peut mesurer. Estimer les premiers à partir des seconds. Cadre de l’étude.

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filtrage de kalman

Filtrage de Kalman

Application au suivi des paramètres de problèmes de vision

1/90

cadre de l tude
Cadre de l’étude
  • Un système physique.
  • Distinction entre paramètres:
    • qui modélisent le système
    • que l’on peut mesurer.
  • Estimer les premiers à partir des seconds.
cadre de l tude1
Cadre de l’étude

Les paramètres mesurables observation xi

Les paramètres internes (décrivant le modèle) vecteur d’état si

prise en compte des incertitudes
Prise en compte des incertitudes
  • Les mesures sont imprécises/incertaines
  • Le modèle est simpliste
  • On veut savoir la fiabilité d’une estimation si de l’état courant si.

ce que le filtre de Kalman permet.

formalisation mesure et vecteur d tat
Formalisation: mesure et vecteur d’état
  • On a accès a:
  • bruit blanc additif et:
  • Evolution du modèle:
  • Modèle « lâche »:
formalisation mesure et vecteur d tat1
Formalisation: mesure et vecteur d’état
  • Filtrage de Kalman: processus itératif d’estimation du vecteur
  • Estimation à l’instant i:
  • traduit la confiance que l’on a en l’estimation
  • Si on connaît , la meilleure estimation possible de est:
formalisation les quations de mesures
Formalisation: les équations de mesures
  • Liens entre les observations et le vecteur d’état:
  • Cas linéaire:
formalisation les quations de mesures1
Formalisation: les équations de mesures
  • Dans le cas non-linéaire, on s’y ramène: développement de Taylor à l’ordre 1 de
  • on a bien:
l algorithme
L’algorithme
  • 3 étapes, propagation des incertitudes.
  • Initialisation:
  • Prédiction:
  • Calcul du gain de Kalman:
  • Mise à jour:
  • Un pas du filtre.
algorithme interpr tation
Algorithme: interprétation
  • Compromis entre la contribution de la prédiction et de la mesure:
  • On peut réécrire:
  • Grande incertitude sur le vecteur d’état « grande » « grand » innovation favorisée.
  • Grande incertitude sur la mesure « grande » « petit » prédiction privilégiée.
algorithme am liorations possibles
Algorithme: améliorations possibles
  • Filtres de Kalman itérés
    • Globalement
    • Localement
  • Objectif: limiter l’influence des linéarisations
utilisation pour l estimation robuste
Utilisation pour l’estimation robuste
  • Réjection des mesures aberrantes:

v.a. gaussienne de moyenne nul, de covariance

  • Distance de Mahalanobis associée:
  • Seuil de réjection tel que:
applications
Applications
  • Suivi de la trajectoire d’une particule dans le plan
  • Estimation des paramètres d’une ellipse à partir d’un nuage de points
  • Suivi des paramètres externes d’une caméra en trou d’épingle.
suivi de la trajectoire d une particule dans le plan
Suivi de la trajectoire d’une particule dans le plan
  • Le système: mouvement à accélération constante
  • Equation de mesures:
  • Incertitude: Meyer a montré que
suivi de la trajectoire d une particule dans le plan1
Suivi de la trajectoire d’une particule dans le plan
  • Résultats:
  • influence des incertitudes
  • influence des incertitudes
  • Réjection des valeurs aberrantes
estimation des param tres d une ellipse partir d un nuage de points
Estimation des paramètres d’une ellipse à partir d’un nuage de points
  • Vecteur d’état:
  • Mesures:

(points du nuage)

  • Equations de mesures:
estimation des param tres d une ellipse partir d un nuage de points1
Estimation des paramètres d’une ellipse à partir d’un nuage de points
  • résultats
  • comparaison filtre classique / itéré localement 1
  • comparaison filtre classique / itéré localement 2
  • Mais des fois…
suivi des param tres externes d une cam ra en trou d pingle
Suivi des paramètres externes d’une caméra en trou d’épingle.
  • Rappel - modèle de caméra:
  • Calibrage…
suivi des param tres externes d une cam ra en trou d pingle1
Suivi des paramètres externes d’une caméra en trou d’épingle.
  • Une caméra en mouvement autour d’un cube.

exemple

  • 2 possibilités:
    • suivi sur les points 2D, puis estimation de P (svd) grâce aux 8 correspondances 2D 3D
          • Résultats 1 | 2
    • Suivi sur les paramètres (R,t):
      • rotation 3 angles
      • translation 3 composantes
          • Résultats 1 | 2
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