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Series Numéricas y Series de Potencias

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Series Numéricas y Series de Potencias. Eduardo Tellechea Armenta UNISON. Hermosillo, Sonora 25/Marzo/2011. Series Numéricas. Con el concepto de SERIE NUMÉRICA, queremos darle sentido a la SUMA de una infinidad de números reales. . = .

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series num ricas y series de potencias

Series Numéricas y Series de Potencias

Eduardo Tellechea Armenta UNISON

Hermosillo, Sonora 25/Marzo/2011

slide2

Series Numéricas

Con el concepto de SERIE NUMÉRICA, queremos darle sentido a la SUMA de una infinidad de números reales.

=

Pero… ¿Qué situaciones nos llevan a esto?

¿Es que acaso alguna vez hemos tenido que sumar una infinidad de números?

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Aunque no tengamos una definición matemáticamente precisa de cómo realizar estas sumas, no tenemos ninguna duda en que …

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + …

… tendrá un valor infinito, es decir NO se pueden sumar, en el sentido de que la suma sea un número real.

En este caso diremos que la SERIE ES DIVERGENTE.

También, sin lugar a dudas podremos decir que las siguientes sumas, si pueden efectuarse.

0 + 0 + 0 + 0 + 0 + … = 0

1 + 0 + 0 + 0 + 0 + … =1

… y diremos que estas SERIES SON CONVERGENTES

slide4

… Pero, ¿qué podemos decir de la siguiente suma infinita?

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

¿Podríamos decir que es cero, agrupando de la siguiente manera?

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 0

Si así fuera, también podríamos decir que toma el valor uno …

1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - ... = 1 - 0 - 0 - 0 - 0 - ... =1

Es razonable pedir que, si los términos de una serie se pueden sumar, el valor de la suma sea único y, en este caso, tendríamos dos posibles valores para la suma, lo cual nos lleva a concluir que esta serie no es posible sumarla. Otra conclusión inmediata es que, para

sumas infinitas, no es válida la propiedad asociativa.

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Volvamos a una de las preguntas iniciales:

¿Es que acaso alguna vez hemos tenido que sumar una infinidad de números?

Desde la educación primaria, aprendimos que al dividir 1 entre 3, utilizando el algoritmo de la división:

0. 3 3 3 …

3 1

1 0

1 0

1

slide6

Podemos expresar a 1/3 como un decimal infinito (periódico)

O bien atendiendo la notación decimal

Podemos expresar a 1/3 como una SERIE

Es decir, desde nuestros primeros contactos con la aritmética ha estado presente, aunque de manera implícita, el concepto de suma infinita.

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Definición: Sea una sucesión de números reales.

La expresión

se llama SERIE NUMÉRICA.

A partir de la sucesión formamos una nueva sucesión de sumas parciales

, , , …  

y diremos que la serie es CONVERGENTE (sus términos se pueden sumar) si existe.

En este caso el valor de la serie es:

De lo contrario diremos que la serie es DIVERGENTE (sus términos

no se pueden sumar).

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Utilizando la notación SUMATORIA

El valor de la serie es el valor al que se aproximan las sumas parciales finitas

Observe que la serie

= 1-1+1-1+1-1+1-1 +…

es divergente

slide9

Observe que para que una serie converja, es necesario que su término n-ésimo sea cada vez más pequeño y cercano a cero, es decir,

converge,

Sin embargo, la condición no es suficiente como se ve en el siguiente ejemplo:

En esta serie, él término n-ésimo tiende a cero y la serie claramente es divergente.

slide12

1 + r + r2 + r3 + r4 … =

Si 0<r<1

1-r

r(1-r)

1

r

r2(1-r)

r2

r3

r4

r3

r

r2

r4

. . .

1

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La Serie Geométrica

1 + r + r2 + r3 + r4 …

Si partimos de la suma de una progresión geométrica de razón r

El valor de la serie geométrica será:

1 + r + r 2+ r 3 + r 4 … =

Este límite existe cuando -1<r<1, es decir,

Así pues:

si |r|<1

1 + r + r2 + r3 + r4 … =

si |r|<1

slide15

La Serie Armónica:

Si consideramos la siguiente sucesión de sumas parciales (finitas)

Y por lo tanto la Serie Armónica es DIVERGENTE

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El Criterio de Comparación

Sea con para toda n,

Si converge y para toda n, entonces converge

b) Si y para toda n, entonces

Ejemplos:

Converge, pues y converge.

Diverge, pues y la serie diverge.

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Calculando, numéricamente el valor de una Serie

La Serie Geométrica

La Serie Armónica

La Serie del recíproco de los cuadrados de los naturales

Una serie Alternante

slide18

Series de Potencias

Cuando analizamos la Serie Geométrica

Encontramos que esta converge a 1/(1-x) en el intervalo (-1, 1), es decir, si consideramos a la función

Su dominio será precisamente el intervalo (-1, 1) ya que ahí es donde la serie converge y por lo tanto f (x) está definida.

Diremos entonces que la serie de potencias representa a la función 1/(1-x) en el intervalo (-1, 1)

slide19

A partir de la Serie Geométrica podemos generar otras series de potencias y series numéricas importantes: Ver Applet

Cambiamos x por -x

Antiderivando en ambos lados

Ver Applet

Sustituyendo x =1, obtenemos:

Ver Applet

slide20

Procedamos ahora de la siguiente manera:

Cambiamos x por -x

Cambiamos x por

Antiderivando en ambos lados

Sustituyendo x =1,

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slide21

El Teorema de Taylor con residuo, también nos proporciona interesantes series de potencias. Por ejemplo del desarrollo de Taylor para la función exponencial:

0

Tendremos una representación en serie de potencias

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Análogamente podemos representar en serie de potencias a la función seno

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slide22

En los cursos de Cálculo Integral se menciona que la función

no tiene una antiderivada representable por medio de un número finito de funciones “conocidas”

En nuestros términos, podemos preguntarnos por la solución de:

Ver Applet

Con y(0) = 0

Antiderivando en ambos términos, obtenemos:

Así pues la solución de la ecuación planteada se representa por medio de una serie de potencias.

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