slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
จากแนวคิดในการปริพันธ์จำกัดเขตของฟังก์ชั PowerPoint Presentation
Download Presentation
จากแนวคิดในการปริพันธ์จำกัดเขตของฟังก์ชั

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 120

จากแนวคิดในการปริพันธ์จำกัดเขตของฟังก์ชั - PowerPoint PPT Presentation


  • 274 Views
  • Uploaded on

จากแนวคิดในการปริพันธ์จำกัดเขตของฟังก์ชัน f จาก a ถึง b. ถ้าฟังก์ชัน f นิยามเมื่อ และเราสามารถแบ่งช่วง [ a , b ] ได้เป็น n ช่วงด้วยความกว้าง . กำหนดให้ . เป็นจุดปลายของช่วงย่อยดังกล่าวและ . เป็นจุดซึ่ง. ถ้า. หาค่าได้ เราจะกล่าวว่าฟังก์ชัน f หาปริพันธ์ได้.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'จากแนวคิดในการปริพันธ์จำกัดเขตของฟังก์ชั' - janet


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide11

จากแนวคิดในการปริพันธ์จำกัดเขตของฟังก์ชัน fจาก aถึง b

ถ้าฟังก์ชัน fนิยามเมื่อ และเราสามารถแบ่งช่วง [a,b] ได้เป็น n ช่วงด้วยความกว้าง

กำหนดให้

เป็นจุดปลายของช่วงย่อยดังกล่าวและ

เป็นจุดซึ่ง

ถ้า

หาค่าได้ เราจะกล่าวว่าฟังก์ชัน fหาปริพันธ์ได้

บนช่วง [a,b]และเรียกสัญกรณ์

ว่าปริพันธ์จำกัดของของฟังก์ชัน fจาก aถึง b

slide13

ซึ่งแนวคิดดังกล่าวทำให้สามารถหาพื้นที่ใต้กราฟซึ่งแนวคิดดังกล่าวทำให้สามารถหาพื้นที่ใต้กราฟ

ของเส้นโค้ง y=f(x) ระหว่าง x=aและ x=b ได้

ในทำนองเดียวกันเราขยายแนวคิดไปสู่ฟังก์ชัน f ของ

สองตัวแปร นิยามบนเซต

ถ้าสมมติให้ เราสามารถร่างกราฟผิวโค้ง

ได้ดังนี้

slide15

ถ้ากำหนดให้ Sเป็นทรงตันที่อยู่เหนือบริเวณ

และอยู่ใต้ผิวโค้ง

นั่นคือ

เราจะสามารถหาปริมาตรของทรงตันดังกล่าวได้โดย

พิจารณาจาก

slide16

เราจะแบ่งช่วง [a,b] ได้เป็น m ช่วงด้วยความกว้าง

โดยช่วงย่อย m ช่วงดังกล่าวคือ

ในทำนองเดียวกัน

เราจะแบ่งช่วง [c,d] ได้เป็น n ช่วงด้วยความกว้าง

โดยช่วงย่อย n ช่วงดังกล่าวคือ

slide17

ดังนั้นบริเวณ Rจะถูกแบ่งเป็นบริเวณย่อยจำนวน mnบริเวณ ได้แก่

slide18

บริเวณ Rijจะมีพื้นที่เท่ากับ

พบว่าปริมาตรของทรงตันเล็กรูปกล่อง

ถ้าให้

คือ

slide19

เราสามารถประมาณค่าปริมาตรของทรงตัน Sดังกล่าวได้โดย

มีค่าเท่ากับผลรวมของปริมาตรของทรงตันรูปกล่องเล็กทั้งหมด

หรือก็คือ

slide20

ถ้า m และnมีค่ามากขึ้น จะทำให้ประมาณของปริมาตร

ดังกล่าวได้ถูกต้องมากขึ้น ดังนั้น

slide21

ดังนั้นเราสามารถนิยามการหาปริพันธ์สองชั้นบนดังนั้นเราสามารถนิยามการหาปริพันธ์สองชั้นบน

บริเวณ Rได้ดังนี้

บทนิยาม

เราจะนิยามปริพันธ์สองชั้น (double integral)ของฟังก์ชัน f

บนบริเวณ R ได้โดย

ถ้าลิมิตหาค่าได้

slide22

จากแนวคิดที่กล่าวมาข้างต้น ทำให้ได้สมบัติของ

ปริพันธ์สองชั้นที่น่าสนใจดังนี้

สมบัติของปริพันธ์สองชั้น

ถ้าปริพันธ์ และ หาค่าได้แล้ว

1.

2.

เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใด ๆ

3.

slide23

เราอาจเขียนรวมสมบัติทั้ง 3 ข้อที่กล่าวมาในรูป

เมื่อ และ  เป็นค่าคงตัวใด ๆ

และสมบัติของปริพันธ์สองชั้นนี้ว่า

สมบัติความเป็นเชิงเส้นของปริพันธ์สองชั้น

(linearity of double integral)

slide24

สมบัติของปริพันธ์สองชั้นสมบัติของปริพันธ์สองชั้น

ถ้า ทุก ๆ แล้ว

4.

ถ้า ทุก ๆ แล้ว

5.

slide25

สมบัติของปริพันธ์สองชั้นสมบัติของปริพันธ์สองชั้น

กำหนดให้ และ

6.

แล้ว

slide26

สมบัติของปริพันธ์สองชั้นที่น่าสนใจสมบัติของปริพันธ์สองชั้นที่น่าสนใจ

กำหนดให้ และ

7.

แล้ว

slide27

การหาค่าปริพันธ์สองชั้นการหาค่าปริพันธ์สองชั้น

(Evaluation of the Double Integral)

slide28

ในการหาค่าปริพันธ์

เมื่อ

สามารถทำได้ 2 กรณีดังนี้

กรณีที่ 1

กรณีที่ 2

slide29

กรณีที่ 1

ก่อน

สำหรับกรณีนี้จะเริ่มต้นหาปริพันธ์

สำหรับการหาปริพันธ์

นี้ จะกำหนดให้ตัวแปร

xเป็นเสมือนค่าคงตัว แล้วทำการหาปริพันธ์ของ

เทียบกับตัวแปรy จาก y=cถึงy=dเรียกขั้นตอนดังกล่าวนี้ว่า

การหาปริพันธ์ย่อยเทียบกับตัวแปร y

(partial integration with respect toy)

slide30

ที่คำนวณได้ จะเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นกับ

ปริพันธ์

ตัวแปรx

slide31

ขั้นตอนถัดไป ให้หาปริพันธ์ของฟังก์ชัน A(x)

เทียบกับตัวแปรx จาก x=aถึง x=b

เราเรียกกระบวนการในการหาปริพันธ์ดังกล่าวนี้ว่า

การหาปริพันธ์ซ้อน (iterated integration)

slide32

กรณีที่ 2

ก่อน

สำหรับกรณีนี้จะเริ่มต้นหาปริพันธ์

โดยหลักการคล้ายกันกรณีแรก ในการหาปริพันธ์

yเป็นเสมือนค่าคงตัว แล้วทำการ

จะกำหนดให้ตัวแปร

หาปริพันธ์

เทียบกับตัวแปรx จาก x=aถึงx=b

เรียกขั้นตอนดังกล่าวนี้ว่า

การหาปริพันธ์ย่อยเทียบกับตัวแปร x

(partial integration with respect tox)

slide33

ที่คำนวณได้ จะเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นกับ

ปริพันธ์

ตัวแปรy

slide34

ขั้นตอนถัดไป ให้หาปริพันธ์ของฟังก์ชัน B(y)

เทียบกับตัวแปรy จาก y=cถึง y=d

สังเกตได้ว่าการหาปริพันธ์ทั้งสองกรณีที่กล่าวมาเป็นการหา

ปริพันธ์จากภายในก่อนแล้วหาปริพันธ์ภายนอก

slide35

ตัวอย่างการหาปริพันธ์ซ้อนตัวอย่างการหาปริพันธ์ซ้อน

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า

slide37

ทฤษฎีบทของฟุบินิอ่อน (Weak Fubini Theorem)

ถ้าฟังก์ชัน fต่อเนื่องบนบริเวณ

แล้ว

slide48

การหาปริมาตรของทรงตันเหนือบริเวณรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าการหาปริมาตรของทรงตันเหนือบริเวณรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

โดยปริพันธ์สองชั้น

(Volumes of the Solids over the Rectangles by

Double Integrals)

slide49

จากแนวคิดในการนิยามปริพันธ์สองชั้นจากแนวคิดในการนิยามปริพันธ์สองชั้น

สร้างรูปให้เอียงในมุมเดียวกันนะครับ

slide50

และบทนิยามปริพันธ์สองชั้นบนบริเวณ R

ทำให้เราสามารถหาปริมาตรของทรงตัน Sที่อยู่เหนือบริเวณ

และอยู่ใต้ผิวโค้ง

ได้โดย

slide52

จงใช้การหาค่าปริพันธ์สองชั้นหาปริมาตรของรูปทรงที่ถูกจงใช้การหาค่าปริพันธ์สองชั้นหาปริมาตรของรูปทรงที่ถูก

ล้อมรอบด้วย

ระนาบ

และสี่เหลี่ยมผืนผ้า

หมายเหตุ

slide55

จงหาปริมาตรของรูปทรงตัน ซึ่งถูกปิดล้อมด้วยพื้นผิว

slide57

จงหาปริมาตรของรูปทรงตัน ซึ่งถูกปิดล้อมด้วยพื้นผิว

slide59

จงหาปริมาตรของรูปทรงตัน ซึ่งถูกปิดล้อมด้วยพื้นผิว

slide75

ทฤษฎีบทของฟุบินิเข้ม (Strong Fubini Theorem)

ถ้าฟังก์ชัน fต่อเนื่องบนบริเวณ

แล้ว

slide89

จงใช้ทฤษฎีบทของ Fubini หาปริพันธ์ (integrand) ที่เหมือนกัน

แต่มีลำดับการหาปริพันธ์ย่อยที่แตกต่างกัน

slide90

จงใช้ทฤษฎีบทของ Fubini หาปริพันธ์ (integrand) ที่เหมือนกัน

แต่มีลำดับการหาปริพันธ์ย่อยที่แตกต่างกัน

slide96

จงหาพื้นที่ซึ่งถูกปิดล้อมด้วยสมการจงหาพื้นที่ซึ่งถูกปิดล้อมด้วยสมการ

และ

slide97

แบบฝึกหัด

จงวาดรูปบริเวณ R ซึ่งถูกปิดล้อมด้วยสมการ

1.

และหาพื้นที่ดังกล่าว

จงวาดรูปบริเวณ R และหาค่าอินทิกรัลต่อไปนี้

2.

slide98

จงวาดรูปบริเวณ R และหาค่าอินทิกรัลต่อไปนี้

3.

จงวาดรูปบริเวณ R และหาค่าอินทิกรัลต่อไปนี้

4.

slide99

จงวาดรูปบริเวณ R และหาค่าอินทิกรัลต่อไปนี้

5.

slide106

ทฤษฎีบทของฟุบินิอ่อน (Weak Fubini Theorem)

ถ้าฟังก์ชัน fต่อเนื่องบนบริเวณ

แล้ว

slide109

ทฤษฎีบทของฟุบินิเข้ม (Strong Fubini Theorem)

ถ้าฟังก์ชัน fต่อเนื่องบนบริเวณ

แล้ว

slide111

1. การหาค่าอินทิกรัลสองชั้นพบพื้นที่ที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

1.1 หาโดยตรง

,

1.2 ทฤษฎีบทของ Fubini

slide112

2. การหาค่าอินทิกรัลสองชั้นพบพื้นที่ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

2.1 หาโดยตรง

,

2.2 ทฤษฎีบทของ Fubini

slide113

3. การประยุกต์การหาค่าอินทิกรัลสองชั้นเพื่อใช้หาปริมาตร

,

slide114

4. การประยุกต์การหาค่าอินทิกรัลสองชั้นเพื่อใช้หาพื้นที่

,

slide115

จงหาปริมาตรซึ่งถูกปิดล้อมด้วยจงหาปริมาตรซึ่งถูกปิดล้อมด้วย

ทรงกระบอก

ระนาบ

และระนาบ