Download
1 / 120
1.25k likes | 1.97k Views
จากแนวคิดในการปริพันธ์จำกัดเขตของฟังก์ชัน f จาก a ถึง b. ถ้าฟังก์ชัน f นิยามเมื่อ และเราสามารถแบ่งช่วง [ a , b ] ได้เป็น n ช่วงด้วยความกว้าง . กำหนดให้ . เป็นจุดปลายของช่วงย่อยดังกล่าวและ . เป็นจุดซึ่ง. ถ้า. หาค่าได้ เราจะกล่าวว่าฟังก์ชัน f หาปริพันธ์ได้.
E N D
จากแนวคิดในการปริพันธ์จำกัดเขตของฟังก์ชัน fจาก aถึง b ถ้าฟังก์ชัน fนิยามเมื่อ และเราสามารถแบ่งช่วง [a,b] ได้เป็น n ช่วงด้วยความกว้าง กำหนดให้ เป็นจุดปลายของช่วงย่อยดังกล่าวและ เป็นจุดซึ่ง ถ้า หาค่าได้ เราจะกล่าวว่าฟังก์ชัน fหาปริพันธ์ได้ บนช่วง [a,b]และเรียกสัญกรณ์ ว่าปริพันธ์จำกัดของของฟังก์ชัน fจาก aถึง b
ซึ่งแนวคิดดังกล่าวทำให้สามารถหาพื้นที่ใต้กราฟซึ่งแนวคิดดังกล่าวทำให้สามารถหาพื้นที่ใต้กราฟ ของเส้นโค้ง y=f(x) ระหว่าง x=aและ x=b ได้ ในทำนองเดียวกันเราขยายแนวคิดไปสู่ฟังก์ชัน f ของ สองตัวแปร นิยามบนเซต ถ้าสมมติให้ เราสามารถร่างกราฟผิวโค้ง ได้ดังนี้
ถ้ากำหนดให้ Sเป็นทรงตันที่อยู่เหนือบริเวณ และอยู่ใต้ผิวโค้ง นั่นคือ เราจะสามารถหาปริมาตรของทรงตันดังกล่าวได้โดย พิจารณาจาก
เราจะแบ่งช่วง [a,b] ได้เป็น m ช่วงด้วยความกว้าง โดยช่วงย่อย m ช่วงดังกล่าวคือ ในทำนองเดียวกัน เราจะแบ่งช่วง [c,d] ได้เป็น n ช่วงด้วยความกว้าง โดยช่วงย่อย n ช่วงดังกล่าวคือ
ดังนั้นบริเวณ Rจะถูกแบ่งเป็นบริเวณย่อยจำนวน mnบริเวณ ได้แก่
บริเวณ Rijจะมีพื้นที่เท่ากับ พบว่าปริมาตรของทรงตันเล็กรูปกล่อง ถ้าให้ คือ
เราสามารถประมาณค่าปริมาตรของทรงตัน Sดังกล่าวได้โดย มีค่าเท่ากับผลรวมของปริมาตรของทรงตันรูปกล่องเล็กทั้งหมด หรือก็คือ
ถ้า m และnมีค่ามากขึ้น จะทำให้ประมาณของปริมาตร ดังกล่าวได้ถูกต้องมากขึ้น ดังนั้น
ดังนั้นเราสามารถนิยามการหาปริพันธ์สองชั้นบนดังนั้นเราสามารถนิยามการหาปริพันธ์สองชั้นบน บริเวณ Rได้ดังนี้ บทนิยาม เราจะนิยามปริพันธ์สองชั้น (double integral)ของฟังก์ชัน f บนบริเวณ R ได้โดย ถ้าลิมิตหาค่าได้
จากแนวคิดที่กล่าวมาข้างต้น ทำให้ได้สมบัติของ ปริพันธ์สองชั้นที่น่าสนใจดังนี้ สมบัติของปริพันธ์สองชั้น ถ้าปริพันธ์ และ หาค่าได้แล้ว 1. 2. เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใด ๆ 3.
เราอาจเขียนรวมสมบัติทั้ง 3 ข้อที่กล่าวมาในรูป เมื่อ และ เป็นค่าคงตัวใด ๆ และสมบัติของปริพันธ์สองชั้นนี้ว่า สมบัติความเป็นเชิงเส้นของปริพันธ์สองชั้น (linearity of double integral)
สมบัติของปริพันธ์สองชั้นสมบัติของปริพันธ์สองชั้น ถ้า ทุก ๆ แล้ว 4. ถ้า ทุก ๆ แล้ว 5.
สมบัติของปริพันธ์สองชั้นสมบัติของปริพันธ์สองชั้น กำหนดให้ และ 6. แล้ว
สมบัติของปริพันธ์สองชั้นที่น่าสนใจสมบัติของปริพันธ์สองชั้นที่น่าสนใจ กำหนดให้ และ 7. แล้ว
การหาค่าปริพันธ์สองชั้นการหาค่าปริพันธ์สองชั้น (Evaluation of the Double Integral)
ในการหาค่าปริพันธ์ เมื่อ สามารถทำได้ 2 กรณีดังนี้ กรณีที่ 1 กรณีที่ 2
กรณีที่ 1 ก่อน สำหรับกรณีนี้จะเริ่มต้นหาปริพันธ์ สำหรับการหาปริพันธ์ นี้ จะกำหนดให้ตัวแปร xเป็นเสมือนค่าคงตัว แล้วทำการหาปริพันธ์ของ เทียบกับตัวแปรy จาก y=cถึงy=dเรียกขั้นตอนดังกล่าวนี้ว่า การหาปริพันธ์ย่อยเทียบกับตัวแปร y (partial integration with respect toy)
ที่คำนวณได้ จะเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นกับ ปริพันธ์ ตัวแปรx
ขั้นตอนถัดไป ให้หาปริพันธ์ของฟังก์ชัน A(x) เทียบกับตัวแปรx จาก x=aถึง x=b เราเรียกกระบวนการในการหาปริพันธ์ดังกล่าวนี้ว่า การหาปริพันธ์ซ้อน (iterated integration)
กรณีที่ 2 ก่อน สำหรับกรณีนี้จะเริ่มต้นหาปริพันธ์ โดยหลักการคล้ายกันกรณีแรก ในการหาปริพันธ์ yเป็นเสมือนค่าคงตัว แล้วทำการ จะกำหนดให้ตัวแปร หาปริพันธ์ เทียบกับตัวแปรx จาก x=aถึงx=b เรียกขั้นตอนดังกล่าวนี้ว่า การหาปริพันธ์ย่อยเทียบกับตัวแปร x (partial integration with respect tox)
ที่คำนวณได้ จะเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นกับ ปริพันธ์ ตัวแปรy
ขั้นตอนถัดไป ให้หาปริพันธ์ของฟังก์ชัน B(y) เทียบกับตัวแปรy จาก y=cถึง y=d สังเกตได้ว่าการหาปริพันธ์ทั้งสองกรณีที่กล่าวมาเป็นการหา ปริพันธ์จากภายในก่อนแล้วหาปริพันธ์ภายนอก
ตัวอย่างการหาปริพันธ์ซ้อนตัวอย่างการหาปริพันธ์ซ้อน ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า
ทฤษฎีบทของฟุบินิอ่อน (Weak Fubini Theorem) ถ้าฟังก์ชัน fต่อเนื่องบนบริเวณ แล้ว
ค่าของ คือ
ค่าของ คือ
การหาปริมาตรของทรงตันเหนือบริเวณรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าการหาปริมาตรของทรงตันเหนือบริเวณรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยปริพันธ์สองชั้น (Volumes of the Solids over the Rectangles by Double Integrals)
จากแนวคิดในการนิยามปริพันธ์สองชั้นจากแนวคิดในการนิยามปริพันธ์สองชั้น สร้างรูปให้เอียงในมุมเดียวกันนะครับ
และบทนิยามปริพันธ์สองชั้นบนบริเวณ R ทำให้เราสามารถหาปริมาตรของทรงตัน Sที่อยู่เหนือบริเวณ และอยู่ใต้ผิวโค้ง ได้โดย
